Formulaires/BA1 - Physique I/BA1 - Physique I.tex

\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl}

\input{../Base.tex}

\title{Formulaire de Physique I}

\begin{document}

\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| }
\hline

\textbf{Produits vectoriels} \newline
  $ \vec{e}_x \times \vec{e}_y = -\vec{e}_y \times \vec{e}_x = \vec{e}_z $ \newline
  $ \vec{e}_y \times \vec{e}_z = -\vec{e}_z \times \vec{e}_y = \vec{e}_x $ \newline
  $ \vec{e}_z \times \vec{e}_x = -\vec{e}_x \times \vec{e}_z = \vec{e}_y $ \newline
  $ \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{e}_y \times \vec{e}_y = \vec{e}_z \times \vec{e}_z = \vec{0} $
&
\textbf{MRUA} \newline
  $ r = \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 + v_0 \cdot t + r_0  $ \newline
  $ v = a_0 \cdot t + v_0 $ \newline
  $ a = a_0  $
&
\textbf{MCU} \newline
  $ a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r $ \newline
  $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ \newline
  $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ \newline
  $ \omega \cdot T =  2 \cdot \pi $
\\\hline

\textbf{Moments / Centre de masse} \newline
  $ \vec{L}_O = \vec{r} \times \vec{p} = m \cdot \vec{r} \times \vec{v} $ \newline
  $ \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{\dif\vec{L}_O}{\dif t} $ \newline
  $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_{M} \vec{r} \cdot \dif m = \frac{1}{M} \int_{V} \vec{r} \cdot \rho \left( \vec{r} \right) \cdot \dif V $ \newline
  $ I_{cm, \Delta} = \int_{M} r_\bot^2 \cdot \dif m $ \newline
  $ \vec{L}_{cm, \Delta} = I_{cm, \Delta} \cdot \vec{\omega} $ \newline
  $ \vec{M}_{cm, \Delta} = I_{cm, \Delta} \cdot \vec{\alpha} $ \newline
  $ I = I_{cm} + M \cdot r^2 $ \newline
  $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \sum m_i \cdot \vec{r}_i $
&
\textbf{Forces} \newline
  $ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $ \newline
  $ \vec{F} = m \cdot \vec{a} = \frac{\dif\vec{p}}{\dif t} $ \newline
  $ \vec{F}_f = \mu \cdot \vec{N} $ \newline
  $ \vec{F}_f = -K \cdot \eta \cdot \vec{v} $ \newline
  $ W = \int \vec{F} \bullet \dif\vec{r} $ \newline
  $ P_{inst} = \frac{\dif W}{\dif t} = \vec{F} \bullet \vec{v} $ \newline
  $ P_{moy} = \frac{W}{\Delta t} $
&
\textbf{Énergie} \newline
  $ W = \Delta E $ \newline
  $ E_{mec} = E_{cin} + E_{pot} $ \newline
  $ E_{mec, sat} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{2 \cdot r} $ \newline
  $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 $ \newline
  $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot \left( A^2 - x^2 \right) $ \newline
  $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot I_{cm, \Delta} \cdot \omega^2 $ \newline
  $ E_{pot} = m \cdot g \cdot h $ \newline
  $ E_{pot} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot x^2 $ \newline
  $ E_{pot} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r} $
\\\hline

\textbf{Référentiel non-galiléen} \newline
  $ m \cdot \vec{a}' = \sum \vec{F}_{ext} - m \cdot \vec{a}_e - m \cdot \vec{a}_{Cor} $ \newline
  $ - m \cdot \vec{a}_e = - m \cdot \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r} \right) $ \newline
  $ - m \cdot \vec{a}_{Cor} = - 2 \cdot m \cdot \vec{\omega} \times \vec{v}' $
&
\textbf{Balistique} \newline
  $ h_{max} = \frac{\left( v_0 \cdot \sin \left( \alpha \right) \right)^2}{2 \cdot g} $ \newline
  $ p = \frac{v_0^2 \cdot \sin \left( 2 \cdot \alpha \right)}{g} $
&
\textbf{Intégrales volumiques} \newline
  $ V = \iiint\limits_{cube} \dif V = \iiint \dif x \cdot \dif y \cdot \dif z $ \newline
  $ V = \iiint\limits_{cylindre} \dif V = \iiint \rho \cdot \dif\rho \cdot \dif\varphi \cdot \dif z $ \newline
  $ V = \iiint\limits_{boule} \dif V = \iiint r^2 \cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \dif r \cdot \dif\theta \cdot \dif\varphi $
\\\hline

\textbf{Kepler} \newline
  $ \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \cdot \pi^2} $ \hfill 1\textsuperscript{ère} loi \newline
  $ \frac{\dif\vec{A}}{\dif t} = \frac{1}{2} \cdot \vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}_O}{2 \cdot m} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} loi \newline
  $ \vec{F} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \cdot \vec{u_r} $ \hfill 3\textsuperscript{ème} loi \newline
  $ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}} $
&
\textbf{Dérivées usuelles} \newline
  $ v = \dot{r} $ \newline
  $ a = \dot{v} = \ddot{r} $ \newline
  $ \omega = \dot{\varphi} $ \newline
  $ \alpha = \dot{\omega} = \ddot{\varphi} $ \newline
  $ F = \dot{p} $ \newline
  $ P = \dot{W} $ \newline
  $ M = \dot{L} $
&
\textbf{Systèmes de coordonnées} \newline
  \includegraphics[width=0.25\textwidth, keepaspectratio=true]{./Systèmes de coordonnées.png}
\\\hline

\textbf{Ressort / Pendule} \newline
  $ \vec{F} = -k \cdot \vec{r} = -k \cdot \left( \vec{l} - \vec{l}_0 \right) $ \hfill (ressort) \newline
  $ T_0 = \frac{2 \cdot \pi}{\omega_0} $ \newline
  $ f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{\omega_0}{2 \cdot \pi} $ \newline
  $ \omega_0  = \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ ou  } \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} $ \newline
  $ \ddot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0  $ \newline
  $ x \left( t \right) = A_1 \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t + \Phi \right) $
&
\textbf{Oscillateurs} \newline
  $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 \mid x = C \cdot \e^{\gamma \cdot t} $ \newline
  $ \gamma = - \lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} $ \newline
  $ \omega = \sqrt{\abs{\omega_0^2 - \lambda^2}} $ \newline
  $ x \left( t \right) = A \cdot \e^{- \lambda \cdot t} \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \Phi \right), $ \hfill $ \lambda^2 < \omega_0^2 $ \newline
  $ x \left( t \right) = \e^{- \lambda \cdot t} \cdot \left( A_1 \cdot \e^{\omega \cdot t} + A_2 \cdot \e^{-\omega \cdot t} \right), $ \hfill $ \lambda^2 > \omega_0^2 $ \newline
  $ x \left( t \right) = \left( A + B \cdot t \right) \cdot \e^{- \lambda \cdot t}, $ \hfill $ \lambda^2 = \omega_0^2 $
&
\textbf{Oscillateurs forcés} \newline
  $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = f \cdot \cos \left( \Omega \cdot t \right) $ \newline
  $ x = A \left( \Omega \right) \cdot \cos \left( \Omega \cdot t + \psi \right) $ \newline
  $ \underline{x} = A \left( \Omega \right) \cdot \e^{\im \cdot \psi \left( \Omega \right)} \cdot \e^{\im \cdot \Omega \cdot t} = x_0 \cdot \e^{\im \cdot \Omega \cdot t} $ \newline
  $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \lambda = \frac{\chi}{2 \cdot m}, f = \frac{F_e}{m} $ \newline
  $ \omega = \sqrt{w_0^2 - \lambda^2} $ \newline
  $ x_0 = A \left( \Omega \right) \cdot \e^{\im \cdot \psi \left( \Omega \right)} = \frac{f}{\omega_0^2 - \Omega^2 + \im \cdot 2 \cdot \lambda \cdot \Omega} $ \newline
  $ A \left( \Omega \right) = \abs{x_0} = \frac{f}{\sqrt{\left( \omega_0^2 - \Omega^2 \right)^2 + \left( 2 \cdot \lambda \cdot \Omega \right)^2}} $ \newline
  $ \psi \left( \Omega \right) = \arctan \left( \frac{\Im \left( x_0 \right)}{\Re \left( x_0 \right)} \right) = \arctan \left( \frac{-2 \cdot \lambda \cdot \Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2} \right) $ \newline
  $ \Omega_r = \sqrt{w_0^2 - 2 \cdot \lambda^2} $ \hfill $ \frac{\dif A \left( \Omega \right)}{\dif\Omega} = 0 $ \newline
  $ Q = \frac{\Omega_r}{\Delta \Omega} = \frac{\Omega_r^2}{2 \cdot \lambda \cdot \omega} $
\\\hline

\textbf{Coordonnées polaires $ \symbf{\left( O, \vec{e_r}, \vec{e}_{\varphi} \right)} $} \newline
  $ \vec{r} = r \nocdot \vec{e_r} $ \newline
  $ \vec{v} = \dot{r} \nocdot \vec{e_r} + r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
  $ \vec{a} = \left( \ddot{r} - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \right) \nocdot \vec{e_r} + \left( r \nocdot \ddot{\varphi} + 2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\varphi} \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e_r} = \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \vec{e_r} $
&
\textbf{Coord. cylindriques $ \symbf{\left( O, \vec{e}_{\rho}, \vec{e}_{\varphi}, \vec{e}_z \right)} $} \newline
  $ \vec{r} = \rho \nocdot \vec{e}_{\rho} + z \nocdot \vec{e}_z $ \newline
  $ \vec{v} = \dot{\rho} \nocdot \vec{e}_{\rho} + \rho \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} + \dot{z} \nocdot \vec{e}_z $ \newline
  $ \vec{a} = \left( \ddot{\rho} - \rho \nocdot \dot{\varphi}^2 \right) \nocdot \vec{e}_{\rho} + \left( \rho \nocdot \ddot{\varphi} + 2 \nocdot \dot{\rho} \nocdot \dot{\varphi} \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z} \nocdot \vec{e}_z $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\rho} = \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\rho} $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_z = 0 $
&
\textbf{Coord. sphériques $ \symbf{\left( O, \vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta}, \vec{e}_{\varphi} \right)} $} \newline
  $ \vec{r} = r \nocdot \vec{e_r} $ \newline
  $ \vec{v} = \dot{r} \nocdot \vec{e_r} + r \nocdot \dot{\theta} \nocdot \vec{e}_{\theta} + r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
  $ \vec{a} = \begin{pmatrix}
                \ddot{r} - \dot{r} \nocdot \dot{\theta}^2 - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right) \\
                2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\theta} + r \nocdot \ddot{\theta} - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \cos \left( \theta \right) \\
                2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) + r \nocdot \ddot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) + 2 \nocdot r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \dot{\theta} \nocdot \cos \left( \theta \right) \\
              \end{pmatrix} $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e_r} = \dot{\theta} \nocdot \vec{e}_{\theta} + \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\theta} = -\dot{\theta} \nocdot \vec{e_r} + \dot{\varphi} \nocdot \cos \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
  $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e_r} - \dot{\varphi} \nocdot \cos \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\theta} $
\\\hline

\textbf{Équations de base} \newline
  $ \sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} $ \newline
  $ \sum \vec{M}_O = \frac{\dif}{\dif t} \vec{L}_O $ \newline
  $ \sum \vec{p} = \cte $ \newline
  $ E_i - E_f = 0 $
&
\textbf{} \newline
% \textbf{Signes} \newline
%   $ r, v, a, \omega, \alpha, F $ \hfill avec \newline
%   $ M, L, p $ \hfill sans
&
\textbf{Angles} \newline
  $ \cos \left( \pi \pm \alpha \right) = - \cos \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \pi + \alpha \right) = - \sin \left( \alpha \right) $ \newline
  $ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \left( \alpha \right) $ \newline
  $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \right) = \cos \left( \alpha \right) $
\\\hline
\end{tabu}

\end{document}