From 620abf96039d204a301c181f36b79e4941f5c9c1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Nathana=C3=ABl=20Restori?= Date: Tue, 14 Nov 2017 22:26:57 +0100 Subject: [PATCH] New format --- BA1 - Analyse I/BA1 - Analyse I.tex | 109 ++ BA1 - Analyse/BA1 - Analyse I.tex | 107 -- BA1 - Physique I/BA1 - Physique I.tex | 189 ++- BA2 - Chimie/BA2 - Chimie.tex | 174 +-- BA2 - Physique II/BA2 - Physique II.tex | 191 +-- .../BA3 - Analyse numérique - 2 pages.tex | 14 +- .../BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex | 1046 ++++++++++++++++ ...A3 - Analyse numérique - Pour inclusion.tex | 14 + .../BA3 - Analyse numérique.tex | 1060 +---------------- BA3 - Physique III/BA3 - Physique III.tex | 412 ++++--- BA4 - Analyse IV/BA4 - Analyse IV.tex | 174 +++ Base.tex | 94 ++ Common.tex | 43 - Draft.tex | 2 +- Rules.py | 211 ++++ 15 files changed, 2139 insertions(+), 1701 deletions(-) create mode 100644 BA1 - Analyse I/BA1 - Analyse I.tex delete mode 100644 BA1 - Analyse/BA1 - Analyse I.tex create mode 100644 BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex create mode 100644 BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Pour inclusion.tex create mode 100644 BA4 - Analyse IV/BA4 - Analyse IV.tex create mode 100644 Base.tex delete mode 100644 Common.tex create mode 100755 Rules.py diff --git a/BA1 - Analyse I/BA1 - Analyse I.tex b/BA1 - Analyse I/BA1 - Analyse I.tex new file mode 100644 index 0000000..9c2852a --- /dev/null +++ b/BA1 - Analyse I/BA1 - Analyse I.tex @@ -0,0 +1,109 @@ +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} + +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire d'Analyse I} + +\begin{document} + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } +\hline + +\textbf{Polynômes de Taylor} \newline +$ \begin{aligned} + \e^x & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!}, &&x \in \symbb{R} \\ + \sinh \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{\left( 2k+1 \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\ + \cosh \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{x^{2k}}{\left( 2k \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\ + \sin \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^k \cdot \frac{x^{2k+1}}{\left( 2k+1 \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\ + \cos \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^k \cdot \frac{x^{2k}}{\left( 2k \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\ + \ln \left( 1+x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^{k+1} \cdot \frac{x^k}{k}, &&x \in \left] -1, 1 \right[ \\ + \frac{1}{1+x} & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^{k} \cdot x^k, &&x \in \left] -1, 1 \right[ \\ + \arctan \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^k \cdot \frac{x^{2k+1}}{2k+1}, &&x \in \left] -1, 1 \right[ \\ +\end{aligned} $ +& +\textbf{Intégrales} \newline +$ \begin{aligned} + &\int \frac{f' \left( x \right)}{f \left( x \right)} \cdot \dif x && = \ln \abs{f \left( x \right)} + C \\ + &\int \frac{f' \left( x \right)}{1+f^2 \left( x \right)} \cdot \dif x && = \arctan \left[ f \left( x \right) \right] + C \\ + &\int \left[ f \left( x \right) \right]^\alpha \cdot f' \left( x \right) \cdot \dif x && = \frac{\left[ f \left( x \right) \right]^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C, &\forall \alpha \neq -1 \\ + &\int \e^{f \left( x \right)} \cdot f' \left( x \right) \cdot \dif x && = \e^{f \left( x \right)} + C \\ + &\int \frac{f' \left( x \right)}{\sqrt{1-f^2 \left( x \right)}} \cdot \dif x && = \arcsin \left[ f \left( x \right) \right] + C \\ +\end{aligned} $ +\\ +\end{tabu} + +\nointerlineskip + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| } +\hline + +\textbf{Racine carrée complexe} \newline +$ \begin{aligned} + w = u + v \cdot \im, z = a + b \cdot \im, z^2 = w \\ + \begin{cases} + a^2 - b^2 & = u \\ + 2 \cdot a \cdot b & = v \\ + a^2 + b^2 & = \sqrt{u^2 + v^2} \\ + \end{cases} +\end{aligned} $ +& +\textbf{Somme géométrique} \newline +$ \begin{aligned} + \sum\limits_{k = 0}^n q^k & = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\ + \sum\limits_{k = 0}^\infty q^k & = \frac{1}{1-q} \\ +\end{aligned} $ +& +\\\hline + +\textbf{Exponentielle} \newline +$ \begin{aligned} + \cos \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\im \cdot \theta} + \e^{-\im \cdot \theta}}{2} \\ + \sin \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\im \cdot \theta} - \e^{-\im \cdot \theta}}{2 \cdot \im} \\ + \cosh \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\theta} + \e^{-\theta}}{2} \\ + \sinh \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\theta} - \e^{-\theta}}{2} \\ +\end{aligned} $ +& +\textbf{Exponentielle} \newline +$ \begin{aligned} + \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{L}{n} \right)^n & = \e^L \\ + \text{De manière\ générale~:} \\ + \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) & = +\infty \\ + \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) \cdot h \left( x \right) & = L \\ + \lim_{x \to \infty} \left[ 1 + h \left( x \right) \right]^{f \left( x \right)} & = \e^L \\ +\end{aligned} $ +& +\textbf{Trigonométrie} \newline +$ \begin{aligned} + \cosh^2 \left( x \right) - \sinh^2 \left( x \right) = 1 \\ + \cos^2 \left( x \right) + \sin^2 \left( x \right) = 1 \\ + \sin \left( x+y \right) = \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( y \right) + \cos \left( x \right) \cdot \sin \left( y \right) \\ + \cos \left( x+y \right) = \cos \left( x \right) \cdot \cos \left( y \right) + \sin \left( x \right) \cdot \sin \left( y \right) \\ + \sin \left( x \right) + \sin \left( y \right) = 2 \cdot \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ + \sin \left( x \right) - \sin \left( y \right) = 2 \cdot \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \\ + \cos \left( x \right) + \cos \left( y \right) = 2 \cdot \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ + \cos \left( x \right) - \cos \left( y \right) = -2 \cdot \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\ +\end{aligned} $ +\\\hline +\end{tabu} + +\nointerlineskip + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X| } + +\textbf{Angles particuliers} \newline +$ \begin{aligned} + \cos \left( 0 \right) = 1 \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \\ + \sin \left( 0 \right) = 0 \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \\ +\end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Convergence} \newline +$ \begin{aligned} + &\int_M^\infty x^a \cdot \e^{-bx} \cdot \dif x &\text{ converge pour tout } a \in \symbb{R} \text{ et tout } b > 0 \\ + &\int_a^\infty \frac{1}{x^p} \cdot \dif x &\text{ converge si et seulement si } p > 1 \quad \left( a > 0 \right) \\ + &\int_0^b \frac{1}{x^p} \cdot \dif x &\text{ converge si et seulement si } p < 1 \\ +\end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\end{document} diff --git a/BA1 - Analyse/BA1 - Analyse I.tex b/BA1 - Analyse/BA1 - Analyse I.tex deleted file mode 100644 index 7146253..0000000 --- a/BA1 - Analyse/BA1 - Analyse I.tex +++ /dev/null @@ -1,107 +0,0 @@ -\documentclass[a4paper,10pt]{article} -%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} - -\input{../Common.tex} - -\begin{document} - -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } -\hline - -\textbf{Polynômes de Taylor} \newline -$\begin{aligned} - e^x &= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}, &x \in \mathbb{R} \\ - \sinh(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, &x \in \mathbb{R} \\ - \cosh(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}, &x \in \mathbb{R} \\ - \sin(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, &x \in \mathbb{R} \\ - \cos(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}, &x \in \mathbb{R} \\ - \ln(1+x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}, &x \in {]-1,1[} \\ - \frac{1}{1+x} &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k} x^k, &x \in {]-1,1[} \\ - \arctan(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}, &x \in {]-1,1[} \\ -\end{aligned}$ \newline -& -\textbf{Intégrales} \newline -$\begin{aligned} - &\int \frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x &&= \ln \left|f(x)\right| + C \\ - &\int \frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\mathrm{d}x &&= \arctan \left[f(x)\right] + C \\ - &\int \left[f(x)\right]^\alpha f'(x) \mathrm{d}x &&= \frac{\left[f(x)\right]^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C, &\forall \alpha \neq -1 \\ - &\int e^{f(x)} f'(x) \mathrm{d}x &&= e^{f(x)} + C \\ - &\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}}\mathrm{d}x &&= \arcsin \left[f(x)\right] + C \\ -\end{aligned}$ \newline -\\ -\end{tabularx} -\offinterlineskip - -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| } -\hline - -\textbf{Racine carrée complexe} \newline -$\begin{aligned} - w = u + vi, z = a + bi, z^2 = w \\ - \begin{cases} - a^2 - b^2 &= u \\ - 2ab &= v \\ - a^2 + b^2 &= \sqrt{u^2 + v^2} \\ - \end{cases} -\end{aligned}$ -& -\textbf{Somme géométrique} \newline -$\begin{aligned} - \sum\limits_{k=0}^n q^k &= \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\ - \sum\limits_{k=0}^\infty q^k &= \frac{1}{1-q} \\ -\end{aligned}$ \newline -& -\\ \hline - -\textbf{Exponentielle} \newline -$\begin{aligned} - \cos(\theta) &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ - \sin(\theta) &= \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\ - \cosh(\theta) &= \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2} \\ - \sinh(\theta) &= \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2} \\ -\end{aligned}$ \newline -& -\textbf{Exponentielle} \newline -$\begin{aligned} - \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{L}{n}\right)^n &= e^L \\ - \text{De manière\ générale :} \\ - \lim_{x \to \infty} f(x) &= +\infty \\ - \lim_{x \to \infty} f(x)h(x) &= L \\ - \lim_{x \to \infty} \left[1 + h(x)\right]^{f(x)} &= e^L \\ -\end{aligned}$ \newline -& -\textbf{Trigonométrie} \newline -$\begin{aligned} - \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \\ - \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \\ - \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ - \cos(x+y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \\ - \sin x + \sin y = 2 \sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \\ - \sin x - \sin y = 2 \sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2}) \\ - \cos x + \cos y = 2 \cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \\ - \cos x - \cos y = -2 \sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) \\ -\end{aligned}$ \newline -\\ \hline - -\multicolumn{2}{|X|}{ -\textbf{Angles particuliers} \newline -$\begin{aligned} - \cos(0) = 1 \quad &\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \quad &\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2} \quad &\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \quad &\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \\ - \sin(0) = 0 \quad &\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \quad &\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2} \quad &\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \quad &\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \\ -\end{aligned}$ \newline -} -& -\\ \hline - -\multicolumn{2}{|X|}{ -\textbf{Convergence} \newline -$\begin{aligned} - &\int_M^\infty x^a e^{-bx} \mathrm{d}x &\text{ converge pour tout } a \in \mathbb{R} \text{ et tout } b > 0 \\ - &\int_a^\infty \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x &\text{ converge si et seulement si } p > 1 \quad (a > 0) \\ - &\int_0^b \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x &\text{ converge si et seulement si } p < 1 \\ -\end{aligned}$ \newline -} -& -\\ \hline -\end{tabularx} -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/BA1 - Physique I/BA1 - Physique I.tex b/BA1 - Physique I/BA1 - Physique I.tex index 2d8afa3..2fda47f 100644 --- a/BA1 - Physique I/BA1 - Physique I.tex +++ b/BA1 - Physique I/BA1 - Physique I.tex @@ -1,82 +1,83 @@ -\documentclass[a4paper,10pt]{article} -%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} -\input{../Common.tex} +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire de Physique I} \begin{document} -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| } \hline \textbf{Produits vectoriels} \newline $ \vec{e}_x \times \vec{e}_y = -\vec{e}_y \times \vec{e}_x = \vec{e}_z $ \newline $ \vec{e}_y \times \vec{e}_z = -\vec{e}_z \times \vec{e}_y = \vec{e}_x $ \newline $ \vec{e}_z \times \vec{e}_x = -\vec{e}_x \times \vec{e}_z = \vec{e}_y $ \newline - $ \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{e}_y \times \vec{e}_y = \vec{e}_z \times \vec{e}_z = \vec{0} $ \newline + $ \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{e}_y \times \vec{e}_y = \vec{e}_z \times \vec{e}_z = \vec{0} $ & \textbf{MRUA} \newline $ r = \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 + v_0 \cdot t + r_0 $ \newline $ v = a_0 \cdot t + v_0 $ \newline - $ a = a_0 $ \newline + $ a = a_0 $ & \textbf{MCU} \newline - $ a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$ \newline + $ a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r $ \newline $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ \newline $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ \newline - $ \omega \cdot T = 2 \cdot \pi $ \newline -\\ \hline + $ \omega \cdot T = 2 \cdot \pi $ +\\\hline \textbf{Moments / Centre de masse} \newline $ \vec{L}_O = \vec{r} \times \vec{p} = m \cdot \vec{r} \times \vec{v} $ \newline - $ \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} $ \newline - $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_{M} \vec{r} \cdot \mathrm{d}m = \frac{1}{M} \int_{V} \vec{r} \cdot \rho(\vec{r}) \cdot \mathrm{d}V $ \newline - $ I_{cm,\Delta} = \int_{M} r_\bot^2 \cdot \mathrm{d}m $ \newline - $ \vec{L}_{cm,\Delta} = I_{cm,\Delta} \cdot \vec{\omega} $ \newline - $ \vec{M}_{cm,\Delta} = I_{cm,\Delta} \cdot \vec{\alpha} $ \newline + $ \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{\dif\vec{L}_O}{\dif t} $ \newline + $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_{M} \vec{r} \cdot \dif m = \frac{1}{M} \int_{V} \vec{r} \cdot \rho \left( \vec{r} \right) \cdot \dif V $ \newline + $ I_{cm, \Delta} = \int_{M} r_\bot^2 \cdot \dif m $ \newline + $ \vec{L}_{cm, \Delta} = I_{cm, \Delta} \cdot \vec{\omega} $ \newline + $ \vec{M}_{cm, \Delta} = I_{cm, \Delta} \cdot \vec{\alpha} $ \newline $ I = I_{cm} + M \cdot r^2 $ \newline - $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \sum m_i \cdot \vec{r}_i $ \newline + $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \sum m_i \cdot \vec{r}_i $ & \textbf{Forces} \newline $ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $ \newline - $ \vec{F} = m \cdot \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} $ \newline + $ \vec{F} = m \cdot \vec{a} = \frac{\dif\vec{p}}{\dif t} $ \newline $ \vec{F}_f = \mu \cdot \vec{N} $ \newline $ \vec{F}_f = -K \cdot \eta \cdot \vec{v} $ \newline - $ W = \int \vec{F} \bullet \mathrm{d}\vec{r} $ \newline - $ P_{inst} = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \vec{F} \bullet \vec{v} $ \newline - $ P_{moy} = \frac{W}{\Delta t} $ \newline + $ W = \int \vec{F} \bullet \dif\vec{r} $ \newline + $ P_{inst} = \frac{\dif W}{\dif t} = \vec{F} \bullet \vec{v} $ \newline + $ P_{moy} = \frac{W}{\Delta t} $ & \textbf{Énergie} \newline $ W = \Delta E $ \newline $ E_{mec} = E_{cin} + E_{pot} $ \newline - $ E_{mec,sat} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{2 \cdot r} $ \newline + $ E_{mec, sat} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{2 \cdot r} $ \newline $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 $ \newline - $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot (A^2 - x^2) $ \newline - $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot I_{cm,\Delta} \cdot \omega^2 $ \newline + $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot \left( A^2 - x^2 \right) $ \newline + $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot I_{cm, \Delta} \cdot \omega^2 $ \newline $ E_{pot} = m \cdot g \cdot h $ \newline $ E_{pot} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot x^2 $ \newline - $ E_{pot} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r} $ \newline -\\ \hline + $ E_{pot} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r} $ +\\\hline \textbf{Référentiel non-galiléen} \newline $ m \cdot \vec{a}' = \sum \vec{F}_{ext} - m \cdot \vec{a}_e - m \cdot \vec{a}_{Cor} $ \newline - $ - m \cdot \vec{a}_e = - m \cdot \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$ \newline - $ - m \cdot \vec{a}_{Cor} = - 2 \cdot m \cdot \vec{\omega} \times \vec{v}' $ \newline + $ - m \cdot \vec{a}_e = - m \cdot \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r} \right) $ \newline + $ - m \cdot \vec{a}_{Cor} = - 2 \cdot m \cdot \vec{\omega} \times \vec{v}' $ & \textbf{Balistique} \newline - $ h_{max} = \frac{(v_0 \cdot \sin(\alpha))^2}{2 \cdot g} $ \newline - $ p = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2 \cdot \alpha)}{g} $ \newline + $ h_{max} = \frac{\left( v_0 \cdot \sin \left( \alpha \right) \right)^2}{2 \cdot g} $ \newline + $ p = \frac{v_0^2 \cdot \sin \left( 2 \cdot \alpha \right)}{g} $ & \textbf{Intégrales volumiques} \newline - $ V = \iiint\limits_{cube} \mathrm{d}V = \iiint \mathrm{d}x \cdot \mathrm{d}y \cdot \mathrm{d}z $ \newline - $ V = \iiint\limits_{cylindre} \mathrm{d}V = \iiint \rho \cdot \mathrm{d}\rho \cdot \mathrm{d}\varphi \cdot \mathrm{d}z $ \newline - $ V = \iiint\limits_{boule} \mathrm{d}V = \iiint r^2 \cdot \sin(\theta) \cdot \mathrm{d}r \cdot \mathrm{d}\theta \cdot \mathrm{d}\varphi $ \newline -\\ \hline + $ V = \iiint\limits_{cube} \dif V = \iiint \dif x \cdot \dif y \cdot \dif z $ \newline + $ V = \iiint\limits_{cylindre} \dif V = \iiint \rho \cdot \dif\rho \cdot \dif\varphi \cdot \dif z $ \newline + $ V = \iiint\limits_{boule} \dif V = \iiint r^2 \cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \dif r \cdot \dif\theta \cdot \dif\varphi $ +\\\hline \textbf{Kepler} \newline $ \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \cdot \pi^2} $ \hfill 1\textsuperscript{ère} loi \newline - $ \frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} \cdot \vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}_O}{2 \cdot m} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} loi \newline + $ \frac{\dif\vec{A}}{\dif t} = \frac{1}{2} \cdot \vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}_O}{2 \cdot m} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} loi \newline $ \vec{F} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \cdot \vec{u_r} $ \hfill 3\textsuperscript{ème} loi \newline - $ T = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}} $ \newline + $ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}} $ & \textbf{Dérivées usuelles} \newline $ v = \dot{r} $ \newline @@ -85,99 +86,85 @@ $ \alpha = \dot{\omega} = \ddot{\varphi} $ \newline $ F = \dot{p} $ \newline $ P = \dot{W} $ \newline - $ M = \dot{L} $ \newline + $ M = \dot{L} $ & -\textbf{} \newline - \includegraphics[width=0.25\textwidth,keepaspectratio=true]{./Systèmes de coordonnées.png} \newline -\\ \hline +\textbf{Systèmes de coordonnées} \newline + \includegraphics[width=0.25\textwidth, keepaspectratio=true]{./Systèmes de coordonnées.png} +\\\hline \textbf{Ressort / Pendule} \newline - $ \vec{F} = -k \cdot \vec{r} = -k \cdot (\vec{l} - \vec{l}_0) $ \hfill (ressort) \newline + $ \vec{F} = -k \cdot \vec{r} = -k \cdot \left( \vec{l} - \vec{l}_0 \right) $ \hfill (ressort) \newline $ T_0 = \frac{2 \cdot \pi}{\omega_0} $ \newline $ f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{\omega_0}{2 \cdot \pi} $ \newline $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ ou } \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} $ \newline $ \ddot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 $ \newline - $ x(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \Phi) $ \newline + $ x \left( t \right) = A_1 \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t + \Phi \right) $ & \textbf{Oscillateurs} \newline - $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 \mid x = C \cdot e^{\gamma \cdot t} $ \newline + $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 \mid x = C \cdot \e^{\gamma \cdot t} $ \newline $ \gamma = - \lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} $ \newline - $ \omega = \sqrt{| \omega_0^2 - \lambda^2 |} $ \newline - $ x(t) = A \cdot e^{- \lambda \cdot t} \cdot \cos(\omega \cdot t + \Phi), $ \hfill $ \lambda^2 < \omega_0^2 $ \newline - $ x(t) = e^{- \lambda \cdot t} \cdot (A_1 \cdot e^{\omega \cdot t} + A_2 \cdot e^{-\omega \cdot t}), $ \hfill $ \lambda^2 > \omega_0^2 $ \newline - $ x(t) = (A + B \cdot t) \cdot e^{- \lambda \cdot t}, $ \hfill $ \lambda^2 = \omega_0^2 $ \newline + $ \omega = \sqrt{\abs{\omega_0^2 - \lambda^2}} $ \newline + $ x \left( t \right) = A \cdot \e^{- \lambda \cdot t} \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \Phi \right), $ \hfill $ \lambda^2 < \omega_0^2 $ \newline + $ x \left( t \right) = \e^{- \lambda \cdot t} \cdot \left( A_1 \cdot \e^{\omega \cdot t} + A_2 \cdot \e^{-\omega \cdot t} \right), $ \hfill $ \lambda^2 > \omega_0^2 $ \newline + $ x \left( t \right) = \left( A + B \cdot t \right) \cdot \e^{- \lambda \cdot t}, $ \hfill $ \lambda^2 = \omega_0^2 $ & \textbf{Oscillateurs forcés} \newline - $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = f \cdot \cos(\Omega \cdot t) $ \newline - $ x = A(\Omega) \cdot \cos(\Omega \cdot t + \psi) $ \newline - $ \underline{x} = A(\Omega) \cdot e^{i \cdot \psi(\Omega)} \cdot e^{i \cdot \Omega \cdot t} = x_0 \cdot e^{i \cdot \Omega \cdot t} $ \newline + $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = f \cdot \cos \left( \Omega \cdot t \right) $ \newline + $ x = A \left( \Omega \right) \cdot \cos \left( \Omega \cdot t + \psi \right) $ \newline + $ \underline{x} = A \left( \Omega \right) \cdot \e^{\im \cdot \psi \left( \Omega \right)} \cdot \e^{\im \cdot \Omega \cdot t} = x_0 \cdot \e^{\im \cdot \Omega \cdot t} $ \newline $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \lambda = \frac{\chi}{2 \cdot m}, f = \frac{F_e}{m} $ \newline - $ \omega = \sqrt{w_0^2 - \lambda^2}$ \newline - $ x_0 = A(\Omega) \cdot e^{i \cdot \psi(\Omega)} = \frac{f}{\omega_0^2 - \Omega^2 + i \cdot 2 \cdot \lambda \cdot \Omega} $ \newline - $ A(\Omega) = \|x_0\| = \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2 \cdot \lambda \cdot \Omega)^2}} $ \newline - $ \psi(\Omega) = \arctan(\frac{\Im(x_0)}{\Re(x_0)}) = \arctan(\frac{-2 \cdot \lambda \cdot \Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}) $ \newline - $ \Omega_r = \sqrt{w_0^2 - 2 \cdot \lambda^2} $ \hfill $ \frac{\mathrm{d}A(\Omega)}{\mathrm{d}\Omega} = 0 $ \newline - $ Q = \frac{\Omega_r}{\Delta \Omega} = \frac{\Omega_r^2}{2 \cdot \lambda \cdot \omega} $ \newline -\\ \hline + $ \omega = \sqrt{w_0^2 - \lambda^2} $ \newline + $ x_0 = A \left( \Omega \right) \cdot \e^{\im \cdot \psi \left( \Omega \right)} = \frac{f}{\omega_0^2 - \Omega^2 + \im \cdot 2 \cdot \lambda \cdot \Omega} $ \newline + $ A \left( \Omega \right) = \abs{x_0} = \frac{f}{\sqrt{\left( \omega_0^2 - \Omega^2 \right)^2 + \left( 2 \cdot \lambda \cdot \Omega \right)^2}} $ \newline + $ \psi \left( \Omega \right) = \arctan \left( \frac{\Im \left( x_0 \right)}{\Re \left( x_0 \right)} \right) = \arctan \left( \frac{-2 \cdot \lambda \cdot \Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2} \right) $ \newline + $ \Omega_r = \sqrt{w_0^2 - 2 \cdot \lambda^2} $ \hfill $ \frac{\dif A \left( \Omega \right)}{\dif\Omega} = 0 $ \newline + $ Q = \frac{\Omega_r}{\Delta \Omega} = \frac{\Omega_r^2}{2 \cdot \lambda \cdot \omega} $ +\\\hline -\textbf{Coordonnées polaires $ (O,\vec{e_r},\vec{e}_{\varphi}) $} \newline - $ \vec{r} = r \cdotbis \vec{e_r} $ \newline - $ \vec{v} = \dot{r} \cdotbis \vec{e_r} + r \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline - $ \vec{a} = (\ddot{r} - r \cdotbis \dot{\varphi}^2) \cdotbis \vec{e_r} + (r \cdotbis \ddot{\varphi} + 2 \cdotbis \dot{r} \cdotbis \dot{\varphi}) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e_r} = \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \cdotbis \vec{e_r} $ \newline +\textbf{Coordonnées polaires $ \symbf{\left( O, \vec{e_r}, \vec{e}_{\varphi} \right)} $} \newline + $ \vec{r} = r \nocdot \vec{e_r} $ \newline + $ \vec{v} = \dot{r} \nocdot \vec{e_r} + r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline + $ \vec{a} = \left( \ddot{r} - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \right) \nocdot \vec{e_r} + \left( r \nocdot \ddot{\varphi} + 2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\varphi} \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e_r} = \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \vec{e_r} $ & -\textbf{Coord. cylindriques $ (O,\vec{e}_{\rho},\vec{e}_{\varphi},\vec{e}_z) $} \newline - $ \vec{r} = \rho \cdotbis \vec{e}_{\rho} + z \cdotbis \vec{e}_z $ \newline - $ \vec{v} = \dot{\rho} \cdotbis \vec{e}_{\rho} + \rho \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} + \dot{z} \cdotbis \vec{e}_z $ \newline - $ \vec{a} = (\ddot{\rho} - \rho \cdotbis \dot{\varphi}^2) \cdotbis \vec{e}_{\rho} + (\rho \cdotbis \ddot{\varphi} + 2 \cdotbis \dot{\rho} \cdotbis \dot{\varphi}) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z} \cdotbis \vec{e}_z $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\rho} = \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\rho} $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_z = 0 $ \newline +\textbf{Coord. cylindriques $ \symbf{\left( O, \vec{e}_{\rho}, \vec{e}_{\varphi}, \vec{e}_z \right)} $} \newline + $ \vec{r} = \rho \nocdot \vec{e}_{\rho} + z \nocdot \vec{e}_z $ \newline + $ \vec{v} = \dot{\rho} \nocdot \vec{e}_{\rho} + \rho \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} + \dot{z} \nocdot \vec{e}_z $ \newline + $ \vec{a} = \left( \ddot{\rho} - \rho \nocdot \dot{\varphi}^2 \right) \nocdot \vec{e}_{\rho} + \left( \rho \nocdot \ddot{\varphi} + 2 \nocdot \dot{\rho} \nocdot \dot{\varphi} \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z} \nocdot \vec{e}_z $ \newline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\rho} = \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\rho} $ \newline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_z = 0 $ & -\textbf{Coord. sphériques $ (O,\vec{e}_{r},\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\varphi}) $} \newline - $ \vec{r} = r \cdotbis \vec{e_r}$ \newline - $ \vec{v} = \dot{r} \cdotbis \vec{e_r} + r \cdotbis \dot{\theta} \cdotbis \vec{e}_{\theta} + r \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline +\textbf{Coord. sphériques $ \symbf{\left( O, \vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta}, \vec{e}_{\varphi} \right)} $} \newline + $ \vec{r} = r \nocdot \vec{e_r} $ \newline + $ \vec{v} = \dot{r} \nocdot \vec{e_r} + r \nocdot \dot{\theta} \nocdot \vec{e}_{\theta} + r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \vec{a} = \begin{pmatrix} - \ddot{r} - \dot{r} \cdotbis \dot{\theta}^2 - r \cdotbis \dot{\varphi}^2 \cdotbis \sin^2(\theta) \\ - 2 \cdotbis \dot{r} \cdotbis \dot{\theta} + r \cdotbis \ddot{\theta} - r \cdotbis \dot{\varphi}^2 \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \cos(\theta) \\ - 2 \cdotbis \dot{r} \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) + r \cdotbis \ddot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) + 2 \cdotbis r \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \dot{\theta} \cdotbis \cos(\theta) \\ + \ddot{r} - \dot{r} \nocdot \dot{\theta}^2 - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right) \\ + 2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\theta} + r \nocdot \ddot{\theta} - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \cos \left( \theta \right) \\ + 2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) + r \nocdot \ddot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) + 2 \nocdot r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \dot{\theta} \nocdot \cos \left( \theta \right) \\ \end{pmatrix} $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e_r} = \dot{\theta} \cdotbis \vec{e}_{\theta} + \dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\theta} = -\dot{\theta} \cdotbis \vec{e_r} + \dot{\varphi} \cdotbis \cos(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \vec{e_r} - \dot{\varphi} \cdotbis \cos(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\theta} $ \newline -\\ \hline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e_r} = \dot{\theta} \nocdot \vec{e}_{\theta} + \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\theta} = -\dot{\theta} \nocdot \vec{e_r} + \dot{\varphi} \nocdot \cos \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline + $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e_r} - \dot{\varphi} \nocdot \cos \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\theta} $ +\\\hline \textbf{Équations de base} \newline $ \sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} $ \newline - $ \sum \vec{M}_O = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{L}_O $ \newline - $ \sum \vec{p} = cte $ \newline - $ E_i - E_f = 0 $ \newline + $ \sum \vec{M}_O = \frac{\dif}{\dif t} \vec{L}_O $ \newline + $ \sum \vec{p} = \cte $ \newline + $ E_i - E_f = 0 $ & \textbf{} \newline % \textbf{Signes} \newline % $ r, v, a, \omega, \alpha, F $ \hfill avec \newline -% $ M, L, p $ \hfill sans \newline +% $ M, L, p $ \hfill sans & \textbf{Angles} \newline - $ \cos(\pi \pm \alpha) = - \cos(\alpha) $ \newline - $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = - \sin(\alpha) $ \newline - $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $ \newline - - $ \sin(\pi + \alpha) = - \sin(\alpha) $ \newline - $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $ \newline - $ \sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \cos(\alpha) $ \newline -\\ \hline -% & -% \textbf{Configurabilité} \newline -% $ a \oldcdot b $ ou $ a b$ \newline -% $ \frac{a}{b} $ ou $ a/b$ \newline -% $ \vec{a} \oldbullet \vec{b} $ ou $ \vec{a} \circ \vec{b} $ \newline -% $ \oldvec{a} $ ou $ \overrightarrow{a} $ ou $ \mathbf{a} $ ou $ \oldvec{\mathbf{a}} $ \newline -% $ \dot{x} $ ou $ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} $ \newline -% $ \ddot{x} $ ou $ \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2} $ \newline -% & -% \\ \hline -\end{tabularx} + $ \cos \left( \pi \pm \alpha \right) = - \cos \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \pi + \alpha \right) = - \sin \left( \alpha \right) $ \newline + $ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \left( \alpha \right) $ \newline + $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \right) = \cos \left( \alpha \right) $ +\\\hline +\end{tabu} \end{document} diff --git a/BA2 - Chimie/BA2 - Chimie.tex b/BA2 - Chimie/BA2 - Chimie.tex index e724095..82b3fd1 100644 --- a/BA2 - Chimie/BA2 - Chimie.tex +++ b/BA2 - Chimie/BA2 - Chimie.tex @@ -1,18 +1,19 @@ -\documentclass[a4paper,10pt]{article} -%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} -\input{../Common.tex} +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire de Chimie} \begin{document} -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } \hline \textbf{Bohr / Hydrogène} \newline $ E_{photon} = h \cdot \nu $ \newline $ E_{n} = \frac{-B}{n^2} $ \newline $ \Delta E = E_f - E_i = B \cdot \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right) $ \newline - $ \lambda = \frac{h}{m \cdot v} = \frac{c}{\nu} $ \newline + $ \lambda = \frac{h}{m \cdot v} = \frac{c}{\nu} $ & \textbf{Thermodynamique} \newline $ \Delta_r H^0 = \sum n_P \cdot \Delta_f H^0_P - \sum n_R \cdot \Delta_f H^0_R $ \newline @@ -20,69 +21,68 @@ $ \Delta_r G^0 = \sum n_P \cdot \Delta_f G^0_P - \sum n_R \cdot \Delta_f G^0_R $ \newline $ \Delta_r G^0 = \Delta_r H^0 - T \cdot \Delta_r S^0 $ \hfill Spont. si $ \Delta_r G^0 < 0 $ \newline $ \Delta S_{univers} = \Delta_r S^0 - \frac{\Delta_r H^0}{T} $ \newline - $ \Delta_r H^0 = \Delta_r U^0 + P \cdot \Delta V = \Delta_r U^0 + R \cdot T \cdot \Delta n $ \newline -\\ \hline + $ \Delta_r H^0 = \Delta_r U^0 + P \cdot \Delta V = \Delta_r U^0 + R \cdot T \cdot \Delta n $ +\\\hline \textbf{Équilibres} \newline - $ K_c = \frac{\prod [P]^{n_P}}{\prod [R]^{n_R}} $ \newline + $ K_c = \frac{\prod \left[ P \right]^{n_P}}{\prod \left[ R \right]^{n_R}} $ \newline $ K_p = \frac{\prod P_P^{n_P}}{\prod P_R^{n_R}} $ \newline - $ K_c = K_p \cdot ( R \cdot T)^{-\Delta n} $ \newline + $ K_c = K_p \cdot \left( R \cdot T \right)^{-\Delta n} $ & \textbf{Activités} \newline $ a_i = \frac{P_i}{P_0} $ \hfill Gaz \newline $ a_i = \frac{c_i}{c_0} $ \hfill Solutés \newline $ a_i = 1 $ \hfill Liquides et solides \newline - $ K = \frac{\prod a_P^{n_P}}{\prod a_R^{n_R}} $ \newline -\\ \hline + $ K = \frac{\prod a_P^{n_P}}{\prod a_R^{n_R}} $ +\\\hline \textbf{Équilibres II} \newline - $ \Delta_r G = \Delta_r G^0 + R \cdot T \cdot \ln(Q) $ \newline - $ \Delta_r G^0 = -R \cdot T \cdot \ln(K) $ \newline - $ \ln\left(\frac{K_{T_2}}{K_{T_1}}\right) = \frac{\Delta_r H^0}{R} \cdot \frac{T_2 - T_1}{T_2 \cdot T_1} $ \newline - $ \Delta n = \sum n_P - \sum n_R $ \newline + $ \Delta_r G = \Delta_r G^0 + R \cdot T \cdot \ln \left( Q \right) $ \newline + $ \Delta_r G^0 = -R \cdot T \cdot \ln \left( K \right) $ \newline + $ \ln \left( \frac{K_{T_2}}{K_{T_1}} \right) = \frac{\Delta_r H^0}{R} \cdot \frac{T_2 - T_1}{T_2 \cdot T_1} $ \newline + $ \Delta n = \sum n_P - \sum n_R $ & \textbf{Acide-Base} \newline - $ K_a = \frac{[A^-][H_3O^+]}{[HA]} $ \newline - $ K_b = \frac{[HA][OH^-]}{[A^-]} $ \newline - $ pX = -\log([X]) $ \newline + $ K_a = \frac{\left[ A^- \right] \left[ H_3O^+ \right]}{\left[ HA \right]} $ \newline + $ K_b = \frac{\left[ HA \right] \left[ OH^- \right]}{\left[ A^- \right]} $ \newline + $ pX = -\log \left( \left[ X \right] \right) $ \newline $ pK_e = pK_a + pK_b = pH + pOH = 14 $ \hfill Eau \newline $ \alpha = \sqrt{\frac{K_a}{M}} $ \hfill $ \alpha \leqslant 0.05 $ si faiblement dissocié \newline - $ pH = pK_a + \log\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right) $ \hfill Solution tampon \newline -\\ \hline + $ pH = pK_a + \log \left( \frac{\left[ A^- \right]}{\left[ HA \right]} \right) $ \hfill Solution tampon +\\\hline \textbf{Électrochimie} \newline $ n = \frac{I \cdot t}{z \cdot F} $ \newline $ \eta = \frac{\Delta_r G^0}{\Delta_r H^0} $ \newline $ \Delta E^0 = E^0_+ - E^0_- $ \hfill Spont. si $ \Delta E^0 > 0 $ \newline $ \Delta_r G^0 = -z \cdot F \cdot \Delta E^0 $ \newline - $ \ln(K) = -\frac{\Delta_r G^0}{R \cdot T} = \frac{z \cdot F \cdot \Delta E^0}{R \cdot T} $ \newline - $ E_{Ox/Red} = E^0_{Ox/Red} + 2.3 \cdot \frac{R \cdot T}{z \cdot F} \cdot \log\left(\frac{[Ox]^{n_{Ox}}}{[Red]^{n_{Red}}}\right) $ \newline + $ \ln \left( K \right) = -\frac{\Delta_r G^0}{R \cdot T} = \frac{z \cdot F \cdot \Delta E^0}{R \cdot T} $ \newline + $ E_{Ox/Red} = E^0_{Ox/Red} + 2.3 \cdot \frac{R \cdot T}{z \cdot F} \cdot \log \left( \frac{\left[ Ox \right]^{n_{Ox}}}{\left[ Red \right]^{n_{Red}}} \right) $ & \textbf{Cinétique} \newline - $ v = -\frac{1}{n_R} \cdot \frac{\mathrm{d}[R]}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{n_P} \cdot \frac{\mathrm{d}[P]}{\mathrm{d}t} $ \newline - $ \tau_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} $ \hfill Ordre 1 \newline - $ \tau_{1/2} = \frac{1}{k \cdot [A]_0} $ \hfill Ordre 2 \newline - $ k = A_f \cdot e^{-\frac{E_a}{R \cdot T}} $ \newline - $ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \cdot \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) $ \newline - $ \Delta_r H^0 = E_a^\rightarrow - E_a^\leftarrow $ \newline -\\ \hline + $ v = -\frac{1}{n_R} \cdot \frac{\dif \left[ R \right]}{\dif t} = \frac{1}{n_P} \cdot \frac{\dif \left[ P \right]}{\dif t} $ \newline + $ \tau_{1/2} = \frac{\ln \left( 2 \right)}{k} $ \hfill Ordre 1 \newline + $ \tau_{1/2} = \frac{1}{k \cdot \left[ A \right]_0} $ \hfill Ordre 2 \newline + $ k = A_f \cdot \e^{-\frac{E_a}{R \cdot T}} $ \newline + $ \ln \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{R} \cdot \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) $ \newline + $ \Delta_r H^0 = E_a^ \rightarrow - E_a^ \leftarrow $ +\\\hline -\end{tabularx} +\end{tabu} -\offinterlineskip +\nointerlineskip -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| } \textbf{Loi de vitesse} & \textbf{Loi intégrée} & \textbf{Forme linéaire} \\ - $ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t} = k $ \hfill Ordre 0 & $ [A]_t = [A]_0 - k \cdot t $ & $ [A]_t = [A]_0 - k \cdot t $ \\ - $ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t} = k \cdot [A] $ \hfill Ordre 1 & $ [A]_t = [A]_0 \cdot e^{-k \cdot t} $ & $ \ln([A]_t) = \ln([A]_0) - k \cdot t $ \\ - $ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t} = k \cdot [A]^2 $ \hfill Ordre 2 & $ [A]_t = \frac{[A]_0}{1 + k \cdot t \cdot [A]_0} $ & $ \frac{1}{[A]_t} = \frac{1}{[A]_0} + k \cdot t $ \newline \\ + $ -\frac{\dif \left[ A \right]}{\dif t} = k $ \hfill Ordre 0 & $ \left[ A \right]_t = \left[ A \right]_0 - k \cdot t $ & $ \left[ A \right]_t = \left[ A \right]_0 - k \cdot t $ \\ + $ -\frac{\dif \left[ A \right]}{\dif t} = k \cdot \left[ A \right] $ \hfill Ordre 1 & $ \left[ A \right]_t = \left[ A \right]_0 \cdot \e^{-k \cdot t} $ & $ \ln \left( \left[ A \right]_t \right) = \ln \left( \left[ A \right]_0 \right) - k \cdot t $ \\ + $ -\frac{\dif \left[ A \right]}{\dif t} = k \cdot \left[ A \right]^2 $ \hfill Ordre 2 & $ \left[ A \right]_t = \frac{\left[ A \right]_0}{1 + k \cdot t \cdot \left[ A \right]_0} $ & $ \frac{1}{\left[ A \right]_t} = \frac{1}{\left[ A \right]_0} + k \cdot t $ \newline \\ \hline -\end{tabularx} +\end{tabu} +\nointerlineskip -\offinterlineskip - -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } \textbf{Constantes} \newline $ N_A = \SI{6.02e23}{mol^{-1}} $ \newline @@ -90,18 +90,19 @@ $ B = \SI{2.179e-18}{J} $ \newline $ F = \SI{96487}{C.mol^{-1}} $ \newline $ R = \SI{0.0821}{L.atm.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline - $ R = \SI{0.0831}{L.bar.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline + $ R = \SI{0.0831}{L.bar.K^{-1}.mol^{-1}} $ & \textbf{Conditions} \newline - Conditions normales : \SI{101.3}{kPa} et \SI{0}{°C} \newline - Conditions standards : \SI{1}{bar} et \SI{25}{°C} \newline \newline + Conditions normales~: \SI{101.3}{kPa} et \SI{0}{°C} \newline + Conditions standards~: \SI{1}{bar} et \SI{25}{°C} \newline $ R = \SI{8.314}{L.kPa.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline $ R = \SI{8.314}{J.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline - $ R = \SI{8.314}{m^3.Pa.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline -\\ \hline + $ R = \SI{8.314}{m^3.Pa.K^{-1}.mol^{-1}} $ +\\\hline \textbf{Construction d'une molécule} \newline -\begin{itemize} +\vspace{-\baselineskip} +\begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt] \item Dénombrer les électrons de valence de tous les atomes de la molécule ou de l’ion. \item Dessiner le squelette de la molécule en reliant les atomes les un aux autres par une pair d’électrons; l’atome le moins électronégatif occupe la place centrale. \item Compléter les octets des atomes liés à l’atome central. @@ -110,16 +111,18 @@ \end{itemize} & \textbf{Équilibrage d'une réaction} \newline -\begin{itemize} +\vspace{-\baselineskip} +\begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt] \item Repérer les éléments dont le degré d’oxydation (DO) change au cours de la réaction. \item Le nombre d’électrons cédés par le réducteur doit être égal au nombre d’électrons acquis par l’oxydant. Ceci permet de trouver quatre coefficients. \item S’il figure dans l’équation d’autres substances dont le DO n’est pas modifié, le coefficient de ces substances est déterminé par un bilan de masse. \item Si des réactifs et/ou des produits sont des ions, il faut vérifier le calcul par un bilan de charges. \end{itemize} -\\ \hline +\\\hline \textbf{Formes} \newline -\begin{itemize} +\vspace{-\baselineskip} +\begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt] \item Linéaire (sp). \item Coudée (sp²). \item Trigonale plane (sp²). @@ -128,57 +131,58 @@ \end{itemize} & \textbf{Nombres quantiques} \newline -\begin{itemize} - \item Principal : $ n \geqslant 1 $ \hfill Couche - \item Secondaire : $ 0 \leqslant l \leqslant n-1 $ \hfill Forme - \item Magnétique : $ -l \leqslant m_l \leqslant l $ \hfill Orientation - \item Spin : $ m_s = \pm 1/2 $ \hfill Sens de rotation sur lui-même +\vspace{-\baselineskip} +\begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt] + \item Principal~: $ n \geqslant 1 $ \hfill Couche + \item Secondaire~: $ 0 \leqslant l \leqslant n-1 $ \hfill Forme + \item Magnétique~: $ -l \leqslant m_l \leqslant l $ \hfill Orientation + \item Spin~: $ m_s = \pm 1/2 $ \hfill Sens de rotation sur lui-même \end{itemize} -\\ \hline -\end{tabularx} +\\\hline +\end{tabu} -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } \hline -\textbf{Rayon atomique} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Rayon atomique.png} \newline +\textbf{Rayon atomique} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Rayon atomique.png} & -\textbf{Électronégativité} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Électronégativité.png} \newline -\\ \hline +\textbf{Électronégativité} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Électronégativité.png} +\\\hline -\textbf{Pouvoir oxydant} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Pouvoir oxydant.png} \newline +\textbf{Pouvoir oxydant} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Pouvoir oxydant.png} & -\textbf{Énergie de ionisation} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Énergie de ionisation.png} \newline -\\ \hline +\textbf{Énergie de ionisation} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Énergie de ionisation.png} +\\\hline -\textbf{Caractère métallique} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Caractère métallique.png} \newline +\textbf{Caractère métallique} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Caractère métallique.png} & -\textbf{Résumé} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Résumé.png} \newline -\\ \hline +\textbf{Résumé} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Résumé.png} +\\\hline -\textbf{Géométrie} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Géométrie.png} \newline +\textbf{Géométrie} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Géométrie.png} & -\textbf{Titrage} \newline\newline +\textbf{Titrage} \newline { - \begin{tabularx}{\textwidth}{cc} - \includegraphics[width=0.2\textwidth,keepaspectratio=true]{./Titrage acide fort.png} \newline & - \includegraphics[width=0.2\textwidth,keepaspectratio=true]{./Titrage acide faible.png} \newline - \end{tabularx} + \begin{tabu}to \textwidth{cc} + \includegraphics[width=0.2\textwidth, keepaspectratio=true]{./Titrage acide fort.png} \newline & + \includegraphics[width=0.2\textwidth, keepaspectratio=true]{./Titrage acide faible.png} \newline + \end{tabu} } -\\ \hline +\\\hline -\textbf{Remplissage} \newline\newline - \includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Remplissage.png} \newline +\textbf{Remplissage} \newline + \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Remplissage.png} & -\textbf{} \newline\newline -\\ \hline +\textbf{} +\\\hline -\end{tabularx} +\end{tabu} -\end{document} \ No newline at end of file +\end{document} diff --git a/BA2 - Physique II/BA2 - Physique II.tex b/BA2 - Physique II/BA2 - Physique II.tex index 0ff0896..8347007 100644 --- a/BA2 - Physique II/BA2 - Physique II.tex +++ b/BA2 - Physique II/BA2 - Physique II.tex @@ -1,236 +1,237 @@ -\documentclass[a4paper,10pt]{article} -%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} -\input{../Common.tex} +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire de Physique II} \begin{document} -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } \hline \textbf{Potentiels} \newline $ F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} $ \newline - $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} $ \newline + $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} $ & \textbf{Lagrange} \newline $ U = \sum m \cdot g \cdot h + \sum \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 $ \newline $ T = \sum \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \sum \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 $ \newline $ L = T -U $ \newline - $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{q_j}} L \right) - \frac{\partial}{\partial q_j} L = 0 $ \newline -\\ \hline + $ \frac{\dif}{\dif t} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{q_j}} L \right) - \frac{\partial}{\partial q_j} L = 0 $ +\\\hline \textbf{Gaz} \newline $ P \cdot V = n \cdot R \cdot T = N \cdot k_B \cdot T $ \hfill Parfait \newline - $ \left( p + \frac{n^2 \cdot a}{V^2} \right) (V -n \cdot b) = n \cdot R \cdot T $ \hfill Van der Waals \newline + $ \left( p + \frac{n^2 \cdot a}{V^2} \right) \left( V -n \cdot b \right) = n \cdot R \cdot T $ \hfill Van der Waals & \textbf{Maxwell-Boltzmann} \newline - $ P_i = Cst \cdot e^{-\frac{E_i}{k_B \cdot T}} $ \newline - $ \sum P_i = 1 $ \newline -\\ \hline + $ P_i = \cte \cdot \e^{-\frac{E_i}{k_B \cdot T}} $ \newline + $ \sum P_i = 1 $ +\\\hline \textbf{Lois thermodynamiques} \newline - $ \mathrm{d} U = \delta W + \delta Q $ \hfill 1\textsuperscript{ère} \newline - $ \mathrm{d} S = \delta S_{ext} + \delta S_{int} = \frac{\delta Q}{T} + \delta S_{int} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} \newline + $ \dif U = \delta W + \delta Q $ \hfill 1\textsuperscript{ère} \newline + $ \dif S = \delta S_{ext} + \delta S_{int} = \frac{\delta Q}{T} + \delta S_{int} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} & \textbf{Énergies} \newline $ U = \frac{f}{2} \cdot n \cdot R \cdot T $ \newline - $ H = U + P \cdot V = \frac{f}{2} \cdot n \cdot R \cdot T + n \cdot R \cdot T $ \newline -\\ \hline + $ H = U + P \cdot V = \frac{f}{2} \cdot n \cdot R \cdot T + n \cdot R \cdot T $ +\\\hline \textbf{Isentropie} \newline - $ P \cdot V^\gamma = cte $ \newline - $ T \cdot V^{\gamma - 1} = cte $ \newline + $ P \cdot V^\gamma = \cte $ \newline + $ T \cdot V^{\gamma - 1} = \cte $ & \textbf{Énergies II} \newline $ U = C_v \cdot \Delta T $ \newline $ Q = C_v \cdot \Delta T $ \hfill Isochore \newline $ Q = C_p \cdot \Delta T $ \hfill Isobare \newline - $ W = - \int p_{ext} \cdot \mathrm{d}V = -W_{ext}$ \newline -\\ \hline + $ W = - \int p_{ext} \cdot \dif V = -W_{ext} $ +\\\hline \textbf{Chaleurs} \newline $ C_p = C_v \cdot \gamma $ \newline $ C_p = C_v + n \cdot R $ \newline $ C_v = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{n \cdot R}{\gamma -1} $ \newline - $ C_p = \frac{\partial H}{\partial T} = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma -1} $ \newline + $ C_p = \frac{\partial H}{\partial T} = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma -1} $ & \textbf{Rendements} \newline $ \eta_{Carnot} = \frac{T_c - T_f}{T_c} $ \newline $ \eta = -\frac{W}{Q_c} $ \hfill Moteur \newline $ \eta = -\frac{Q_c}{W} $ \hfill Récepteur chauffant \newline - $ \eta = \frac{Q_f}{W} $ \hfill Récepteur refroidissant \newline -\\ \hline + $ \eta = \frac{Q_f}{W} $ \hfill Récepteur refroidissant +\\\hline \textbf{Cycle} \newline $ \circlearrowright $ Cycle moteur \newline - $ \circlearrowleft $ Cycle récepteur \newline + $ \circlearrowleft $ Cycle récepteur & \textbf{Cycle II} \newline $ \Delta U = 0 = W + Q_c + Q_f $ \newline - $ \Delta S = 0 = \int \frac{\delta Q_c}{T} + \int \frac{\delta Q_f}{T} + S_{int}$ \newline - $ W = - (Q_c + Q_f) $ \newline -\\ \hline + $ \Delta S = 0 = \int \frac{\delta Q_c}{T} + \int \frac{\delta Q_f}{T} + S_{int} $ \newline + $ W = - \left( Q_c + Q_f \right) $ +\\\hline \textbf{Conductibilité} \newline $ \lambda = \frac{1}{\rho \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \pi \cdot R^2} $ \newline $ \rho = \frac{p}{k_B \cdot T} $ \newline $ J_Q = -k \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \newline $ \frac{\partial Q}{\partial T} = A \cdot \alpha \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \hfill $ \lambda \ll d $ \newline - $ \frac{\partial Q}{\partial T} = \mathrm{d}A \cdot \kappa \cdot \Delta T $ \hfill $ \lambda \gg d $ \newline + $ \frac{\partial Q}{\partial T} = \dif A \cdot \kappa \cdot \Delta T $ \hfill $ \lambda \gg d $ & \textbf{Diffusion} \newline $ \frac{\partial \rho \cdot u}{\partial t} + \frac{\partial J_U}{\partial x} = \sigma_U $ \newline $ J_U = -\lambda \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \newline - $ \frac{\partial \rho \cdot u}{\partial t} - \lambda \cdot \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \sigma_U $ \newline -\\ \hline + $ \frac{\partial \rho \cdot u}{\partial t} - \lambda \cdot \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \sigma_U $ +\\\hline \textbf{Lennard-Jones} \newline $ E = 4 \cdot \varepsilon_0 \cdot \left( \left( \frac{r_1}{r} \right)^{12} - \left( \frac{r_1}{r} \right)^6 \right) $ \newline - $ E = \varepsilon_0 \cdot \left( \left( \frac{r_0}{r} \right)^{12} - 2 \cdot \left( \frac{r_0}{r} \right)^6 \right) $ \newline + $ E = \varepsilon_0 \cdot \left( \left( \frac{r_0}{r} \right)^{12} - 2 \cdot \left( \frac{r_0}{r} \right)^6 \right) $ & \textbf{Lennard-Jones II} \newline - \includegraphics[width=0.2\textwidth,keepaspectratio=true]{./Potentiel de Lennard-Jones.png} \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\offinterlineskip - -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| } -\textbf{Diagramme de phase} \newline\newline - \includegraphics[width=0.3\textwidth,keepaspectratio=true]{./Diagramme de phase.png} \newline -& -\textbf{Diagramme P-V} \newline\newline - \includegraphics[width=0.3\textwidth,keepaspectratio=true]{./Diagramme P-V.png} \newline -& -\textbf{Diagramme P-T} \newline\newline - \includegraphics[width=0.3\textwidth,keepaspectratio=true]{./Diagramme P-T.png} \newline + \includegraphics[width=0.2\textwidth, keepaspectratio=true]{./Potentiel de Lennard-Jones.png} \\\hline -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X|X|X| } +\end{tabu} + +\nointerlineskip + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| } +\textbf{Diagramme de phase} \newline + \includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Diagramme de phase.png} +& +\textbf{Diagramme P-V} \newline + \includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Diagramme P-V.png} +& +\textbf{Diagramme P-T} \newline + \includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Diagramme P-T.png} +\\\hline +\end{tabu} + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X|X|X| } \hline \textit{Résultats uniquement pour le cas réversible} & Isotherme & Isobare & Isochore & Adiabatique \\\hline Constantes & -$\begin{aligned} P \cdot V = cte \end{aligned}$ & -$\begin{aligned} \frac{V}{T} = cte \end{aligned}$ & -$\begin{aligned} \frac{P}{T} = cte \end{aligned}$ & -$\begin{aligned} P \cdot V^\gamma = cte \\ T \cdot V^{\gamma - 1} = cte \end{aligned}$ +$ \begin{aligned} P \cdot V = \cte \end{aligned} $ & +$ \begin{aligned} \frac{V}{T} = \cte \end{aligned} $ & +$ \begin{aligned} \frac{P}{T} = \cte \end{aligned} $ & +$ \begin{aligned} P \cdot V^\gamma = \cte \\ T \cdot V^{\gamma - 1} = \cte \end{aligned} $ \\\hline Énergie interne & $ \begin{aligned} - \Delta U &= 0 + \Delta U & = 0 \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - \Delta U &= C_v \cdot \Delta T \\ - &= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ - &= \frac{p_0}{\gamma - 1} \Delta V \\ - &= C_v \cdot \frac{T_0}{V_0} \cdot \Delta V + \Delta U & = C_v \cdot \Delta T \\ + & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\ + & = \frac{p_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta V \\ + & = C_v \cdot \frac{T_0}{V_0} \cdot \Delta V \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - \Delta U &= C_v \cdot \Delta T \\ - &= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ - &= \frac{V_0}{\gamma - 1} \Delta p \\ - &= C_v \cdot \frac{T_0}{p_0} \cdot \Delta p + \Delta U & = C_v \cdot \Delta T \\ + & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\ + & = \frac{V_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta p \\ + & = C_v \cdot \frac{T_0}{p_0} \cdot \Delta p \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - \Delta U &= C_v \cdot \Delta T \\ - &= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ - &= \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \Delta (V^{1-\gamma}) + \Delta U & = C_v \cdot \Delta T \\ + & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\ + & = \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \cdot \Delta \left( V^{1-\gamma} \right) \end{aligned} $ \\\hline Chaleur & $ \begin{aligned} - Q &= n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ - &= n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ + Q & = n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\ + & = n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\ \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - Q &= C_p \cdot \Delta T \\ - &= \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ - &= \frac{\gamma \cdot p_0}{\gamma - 1} \Delta V \\ + Q & = C_p \cdot \Delta T \\ + & = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\ + & = \frac{\gamma \cdot p_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta V \\ \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - Q &= C_v \cdot \Delta T \\ - &= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ - &= \frac{V_0}{\gamma - 1} \Delta p \\ + Q & = C_v \cdot \Delta T \\ + & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\ + & = \frac{V_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta p \\ \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - Q &= 0 + Q & = 0 \end{aligned} $ \\\hline Travail & $ \begin{aligned} - W &= -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ - &= -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ + W & = -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\ + & = -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\ \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - W &= -p_0 \cdot \Delta V \\ - &= -n \cdot R \cdot \Delta T \\ - &= -p_0 \cdot \frac{V_0}{T_0} \cdot \Delta V \\ + W & = -p_0 \cdot \Delta V \\ + & = -n \cdot R \cdot \Delta T \\ + & = -p_0 \cdot \frac{V_0}{T_0} \cdot \Delta V \\ \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - W &= 0 \\ + W & = 0 \\ \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - W &= C_v \cdot \Delta T \\ - &= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ - &= \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \Delta (V^{1-\gamma}) + W & = C_v \cdot \Delta T \\ + & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\ + & = \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \cdot \Delta \left( V^{1-\gamma} \right) \end{aligned} $ \\\hline Entropie & $ \begin{aligned} - \Delta S &= n \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ - &= n \cdot R \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ + \Delta S & = n \cdot R \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\ + & = n \cdot R \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\ \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - \Delta S &= C_p \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ - &= \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ - &= C_p \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} \\ - &= \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} + \Delta S & = C_p \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\ + & = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\ + & = C_p \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right) \\ + & = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right) \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - \Delta S &= C_v \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ - &= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ - &= C_v \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} \\ - &= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} + \Delta S & = C_v \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\ + & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\ + & = C_v \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right) \\ + & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right) \end{aligned} $ & $ \begin{aligned} - \Delta S &= 0 + \Delta S & = 0 \end{aligned} $ \\\hline -\end{tabularx} +\end{tabu} -\end{document} \ No newline at end of file +\end{document} diff --git a/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - 2 pages.tex b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - 2 pages.tex index 9818a5d..c8ccf0e 100644 --- a/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - 2 pages.tex +++ b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - 2 pages.tex @@ -1,13 +1,13 @@ -\documentclass[a4paper,10pt]{article} -%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} -\input{../Common.tex} +\input{../Base.tex} -\geometry{top=6.5pt, bottom=6pt, left=6.5pt, right=6pt} +\geometry{top=18pt, bottom=18pt, left=6pt, right=6pt, headsep=-5pt, headheight=12pt, footskip=7pt} + +\title{Formulaire d'Analyse numérique} \begin{document} -% \pagestyle{plain} -\includepdf[width=0.5\textwidth,pages={-},nup=2x2]{BA3 - Analyse numérique.pdf} +\includepdf[width=0.5\textwidth, pages={-}, nup=2x2, pagecommand={\thispagestyle{scrheadings}}]{BA3 - Analyse numérique - Pour inclusion.pdf} -\end{document} \ No newline at end of file +\end{document} diff --git a/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex new file mode 100644 index 0000000..8e91e85 --- /dev/null +++ b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex @@ -0,0 +1,1046 @@ +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Définitions}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline +\textbf{Méthodes numériques~:} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &F \left( x, d \right) = 0 \text{ un problème } \\ + &F_n \left( x_n, d_n \right) = 0 \comma n > 1 \text{ une suite de problèmes } \\ + &x = G \left( d \right) \text{ t.q } F \left( G \left( d \right), d \right) = 0 \text{ une application résolvante } \\ + &x_n \rightarrow x \text{ pour } n \rightarrow \infty \\ + &d_n \rightarrow d \text{ pour } n \rightarrow \infty \\ + &F_n \text{ approche } F \text{ pour } n \rightarrow \infty + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Consistance~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{La méthode numérique (} P_n \text{) est consistante si} \\ + &F_n \left( x_n, d_n \right) - F \left( x, d \right) \rightarrow 0 \text{ pour } n \rightarrow \infty \\ + &\text{où } x \text{ est la solution du problème (} P \text{) correspondant à la donnée } d \\ + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Stabilité~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Une méthode numérique est bien posée (ou stable) s’il existe, pour tout } n \text{ une unique} \\ &\text{solution } x_n \text{ correspondant à la donnée } d_n \text{ et si } x_n \text{ dépend continûment des données, i.e.} \\ + &\forall d_n, \exists \eta_0 = \eta_0 \left( d_n \right) > 0 \comma \exists K_0 = K_0 \left( \eta_0, d_n \right) \text{t.q} \\ + &\forall \delta d_n~: \norm{\delta d_n} \leq \eta_0 \rightarrow \norm{\delta x_n} \leq K_0 \cdot \norm{\delta d_n} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si le problème numérique (} P_n \text{) est consistant avec le problème (} P \text{), alors il est} \\ &\text{convergent si, et seulement si, il est stable} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} +\newpage +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Équations non-linéaires}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Dichotomie ou bissection} \newline + \underline{Conditions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &f \left( a \right) \cdot f \left( b \right) < 0 \text{ et } f \left( x \right) \text{ continue sur } \left[ a;b \right] \\ + &k \in \symbb{N} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x^{\left( k \right)} = \frac{a^{\left( k \right)} + b^{\left( k \right)}}{2} \\ + &\text{Si } f \left( x^{\left( k \right)} \right) = 0 \qquad \text{ fin} \\ + &\text{Si } f \left( x^{\left( k \right)} \right) \cdot f \left( a \right) < 0 \comma a^{\left( k+1 \right)} = a^{\left( k \right)} \text{ et } b^{\left( k+1 \right)} = x^{\left( k \right)} \\ + &\text{Si } f \left( x^{\left( k \right)} \right) \cdot f \left( b \right) < 0 \comma a^{\left( k+1 \right)} = x^{\left( k \right)} \text{ et } b^{\left( k+1 \right)} = b^{\left( k \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreur~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \abs{\e^{\left( k \right)}} = \abs{x^{\left( k \right)} - \alpha} \leq \frac{b - a}{2^{k+1}} + \end{aligned} $ +\\\hline +\textbf{Méthode de Newton} \newline + \underline{Conditions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &f \left( x \right) \text{ dérivable } \\ + &k \in \symbb{N} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x^{\left( k+1 \right)} = x^{\left( k \right)} - \frac{f \left( x^{\left( k \right)} \right)}{f' \left( x^{\left( k \right)} \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence locale~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } f \left( x \right) \text{ continue et deux fois dérivable sur } \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } f \left( \alpha \right) = 0 \text{ et } f' \left( \alpha \right) \neq 0 \\ + &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } \abs{x^{\left( 0 \right)} - \alpha} \leq \delta \text{, la méthode converge} \\ + &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{\left( k+1 \right)} - \alpha}{\left( x^{\left( k \right)} - \alpha \right)^2}} = \frac{f'' \left( \alpha \right)}{2 \cdot f' \left( \alpha \right)} \qquad \text{ (ordre 2)} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Point fixe} \newline + \underline{Conditions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\phi \left( \alpha \right) = \alpha \quad \Leftrightarrow \quad f \left( \alpha \right) = 0 \comma x^{\left( k \right)} \rightarrow \alpha \text{ et } \phi \left( x \right) \text{ continue sur } \left[ a;b \right] \\ + &k \in \symbb{N} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x^{\left( k+1 \right)} = \phi \left( x^{\left( k \right)} \right) + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence globale~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } \phi \left( x \right) \text{ continue sur } \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } \phi \left( x \right) \in \left[ a;b \right] &&\forall x \in \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } \exists L < 1 \tq \abs{\phi \left( x_1 \right) - \phi \left( x_2 \right)} \leq L \cdot \abs{x_1 - x_2} &&\forall x_1, x_2 \in \left[ a;b \right] + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence globale (2)~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } \phi \left( x \right) \text{ continue et dérivable sur } \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } \phi \left( x \right) \in \left[ a;b \right] &&\forall x \in \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } \exists K < 1 \tq \abs{\phi' \left( x \right)} \leq K &&\forall x \in \left[ a;b \right] + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence locale~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } \phi \left( x \right) \text{ continue et dérivable sur } \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } \abs{\phi' \left( \alpha \right)} < 1 \\ + &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } \abs{x^{\left( 0 \right)} - \alpha} \leq \delta \text{, la méthode converge} \\ + &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{\left( k+1 \right)} - \alpha}{x^{\left( k \right)} - \alpha}} = \phi' \left( \alpha \right) \qquad \text{ (ordre 1)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence locale (2)~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } \phi \left( x \right) \text{ continue et deux fois dérivable sur } \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } \phi' \left( \alpha \right) = 0 \text{ et } \phi'' \left( \alpha \right) \neq 0 \\ + &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{\left( k+1 \right)} - \alpha}{\left( x^{\left( k \right)} - \alpha \right)^2}} = \frac{\phi'' \left( \alpha \right)}{2} \qquad \text{ (ordre 2)} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ X| } +\hline + +\textbf{Méthode de Newton modifiée} \newline + \underline{Conditions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &f \left( x \right) \text{ dérivable et } \alpha \text{ de multiplicité de } m \\ + &k \in \symbb{N} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x^{\left( k+1 \right)} = x^{\left( k \right)} - m \cdot \frac{f \left( x^{\left( k \right)} \right)}{f' \left( x^{\left( k \right)} \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence locale~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } f \left( x \right) \text{ continue et dérivable sur } \left[ a;b \right] \\ + &\text{Si } f \left( \alpha \right) = 0 \text{ et } f' \left( \alpha \right) = 0 \\ + &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } \abs{x^{\left( 0 \right)} - \alpha} \leq \delta \text{, la méthode converge} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Méthode de la corde} \newline + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x^{\left( k+1 \right)} = x^{\left( k \right)} - \frac{f \left( x^{\left( k \right)} \right)}{q \left( x^{\left( k \right)} \right)} \\ + &q = \frac{f \left( b \right) -f \left( a \right)}{b-a} \qquad \text{ ou } \qquad q = \frac{f \left( b \right) -f \left( x^{\left( k \right)} \right)}{b-x^{\left( k \right)}} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence~:} \newline + $ \begin{aligned} + \abs{1 - \frac{f' \left( \alpha \right)}{q \left( \alpha \right)}} < 1 + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Critères d'arrêt} \newline + \underline{Contrôle de l'incrément~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \abs{x^{\left( k+1 \right)} - x^{\left( k \right)}} < \epsilon + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Contrôle du résidu~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \abs{f \left( x^{\left( k \right)} \right)} < \epsilon + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Cas du point fixe~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Le contrôle de l'incrément est optimal si } \phi' \left( \alpha \right) = 0 \text{, satisfaisant si } -1 < \phi' \left( \alpha \right) < 0 \\ &\text{et n'est pas satisfaisant si } \phi' \left( \alpha \right) \text{ est proche de 1.} \\ + &\text{Le contrôle du résidu est satisfaisant si } \abs{f'} \simeq 1 \text{ au voisinage de la racine } \alpha \text{.} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Multiplicité} \newline + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{On dit qu'un zéro } \alpha \text{ de } f \text{ est de multiplicité } m \in \symbb{N} \text{ si} \\ + &f \left( \alpha \right) = \dots = f^{m-1} \left( \alpha \right) = 0 \qquad \text{ et } \qquad f^m \left( \alpha \right) \neq 0 \\ + &\text{Un zéro de multiplicité } m = 1 \text{ est appelé zéro simple.} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Ordre de convergence} \newline + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{On dit que la convergence est d'ordre } p \geq 1 \text{ s'il existe une constante } C > 0 \\ &\text{ (avec } C < 1 \text{ lorsque } p = 1 \text{) telle que l'inégalité suivante soit satisfaite :} \\ + & \abs{x^{\left( k+1 \right)} - \alpha} \leq C \cdot \abs{x^{\left( k \right)} - \alpha}^p \\ + &\text{Lorsque } p = 1 \text{, la convergence est dite linéaire.} \\ + &\text{Lorsque } p = 2 \text{, la convergence est dite quadratique.} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} +\newpage +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Interpolation}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Polynôme d'interpolation (de degré n)} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Soient } n + 1 \text{ noeuds distincts } x_0, x_1, \dots x_n &\text{et } n + 1 \text{ valeurs } y_0, y_1, \dots, y_n \\ + &p \left( x_j \right) = y_j \comma 0 \leq j \leq n \\ + &p \left( x \right) = \Pi_n \left( x \right) = \Pi_nf \left( x \right) \\ + &I = \left[ a;b \right] \\ + &h = \frac{b-a}{n} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\varphi_k \left( x \right) = \prod_{j = 0, j \neq k}^n \frac{x - x_j}{x_k - x_j} &\text{ (Base de Lagrange)} \\ + &\Pi_n \left( x \right) = \sum_{k = 0}^n y_k \cdot \varphi_k \left( x \right) &\text{ (Polynôme d'interpolation)} \\ + &\Pi_nf \left( x \right) = \sum_{k = 0}^n f \left( x_k \right) \cdot \varphi_k \left( x \right) &\text{ (Interpolant de } f \text{)} \\ + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreur~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\max_{x \in I} \abs{E_n f \left( x \right)} \leq \frac{1}{4 \cdot \left( n+1 \right)} \cdot h^{n+1} \cdot \max_{x \in I} \abs{f^{\left( n+1 \right)} \left( x \right)} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Interpolation par morceaux~:} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &a = x_0 < x_1 < \dots < x_N = b \text{ les points qui divisent } I \text{ en} \\ &\text{réunion d'intervalles } I_i = \left[ x_i, x_{i+1} \right] \\ + &H = \frac{b-a}{N} + \end{aligned} $ \newline + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\Pi_1^Hf \left( x \right) = f \left( x_i \right) + \frac{f \left( x_{i+1} \right) - f \left( x_i \right)}{x_{i+1} - x_i} \cdot \left( x - x_i \right) \text{ pour } x \in I_i + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreurs~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\max_{x \in I} \abs{E_1^H f \left( x \right)} \leq \frac{H^2}{8} \cdot \max_{x \in I} \abs{f'' \left( x \right)} \\ + &\max_{x \in I} \abs{E_r^H f \left( x \right)} \leq \frac{H^{r+1}}{4 \cdot \left( r+1 \right)} \cdot \max_{x \in I} \abs{f^{\left( r+1 \right)} \left( x \right)} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Méthode des moindres carrés (de degré m)} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\sum_{i = 0}^n \abs{y_i - \tilde{f}_m \left( x_i \right)}^2 \leq \sum_{i = 0}^n \abs{y_i - p_m \left( x_i \right)}^2 &\forall p_m \left( x \right) \in \symbb{P}_m \\ + &\sum_{i = 0}^n \abs{f \left( x_i \right) - \tilde{f}_m \left( x_i \right)}^2 \leq \sum_{i = 0}^n \abs{f \left( x_i \right) - p_m \left( x_i \right)}^2 &\forall p_m \left( x \right) \in \symbb{P}_m \\ + &\tilde{f}_m \left( x \right) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \dots + a_m \cdot x^m + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\Phi \left( b_0, b_1, \dots, b_m \right) = \sum_{i = 0}^n \left( y_i - \left( b_0 + b_1 \cdot x_i + b_2 \cdot x_i^2 + \dots + b_m \cdot x_i^m \right) \right)^2 \\ + &\Phi \left( a_0, a_1, \dots, a_m \right) = \min_{b_i, i = 0, \dots, m} \Phi \left( b_0, b_1, \dots, b_m \right) \\ + &\frac{\partial \Phi}{\partial b_i} \left( a_0, a_1, \dots, a_m \right) = 0 \comma 0 \leq i \leq m \qquad \text{ (Système de degré } m+1 \text{)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode (2)~:} \newline + $ \begin{aligned} + &B = \begin{pmatrix} + 1 & x_0 & \ldots & x_0^m \\ + 1 & x_1 & \ldots & x_1^m \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 1 & x_n & \ldots & x_n^m \\ + \end{pmatrix} &&\vec{y} = \begin{pmatrix} + y_0 \\ + y_1 \\ + \vdots \\ + y_n \\ + \end{pmatrix} \\ + &B^T \cdot B \cdot \vec{a} = B^T \cdot \vec{y} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ X| } +\hline + +\textbf{Interpolation par fonctions splines} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &I = \left[ a;b \right] \\ + &a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b \text{ les points qui divisent } I \text{ en réunion} \\ &\text{d'intervalles } I_i = \left[ x_i, x_{i+1} \right] + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Spline~:} \newline + $ \begin{aligned} + &s_{3 \mid I_i} \in \symbb{P}_3 &&\forall i = 0, \dots, n-1 \\ + &s_3 \left( x_i \right) = f \left( x_i \right) &&\forall i = 0, \dots, n \\ + &s_3 \in C^2 \left( I \right) + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Conditions aux bords~:} \newline + $ \begin{aligned} + &s_3 \left( x_i^- \right) = s_3 \left( x_i^+ \right) \\ + &s_3' \left( x_i^- \right) = s_3' \left( x_i^+ \right) \\ + &s_3'' \left( x_i^- \right) = s_3'' \left( x_i^+ \right) + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Spline naturelle~:} \newline + $ \begin{aligned} + &s_3'' \left( x_0^+ \right) = 0 \\ + &s_3'' \left( x_n^- \right) = 0 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Spline not-a-knot~:} \newline + $ \begin{aligned} + &s_3''' \left( x_1^- \right) = s_3''' \left( x_1^+ \right) \\ + &s_3''' \left( x_{n-1}^- \right) = s_3''' \left( x_{n-1}^+ \right) + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} +\newpage +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Intégration}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Formules d'intégration simples} \newline + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &I \left( f \right) = \int_a^b f \left( x \right) \cdot \dif x + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthodes~:} \newline + $ \begin{aligned} + &I_{pm} \left( f \right) = \left( b - a \right) \cdot f \left( \frac{a+b}{2} \right) &\text{ (Point millieu)} \\ + &I_t \left( f \right) = \left( b - a \right) \cdot \frac{f \left( a \right) + f \left( b \right)}{2} &\text{ (Trapèze)} \\ + &I_s \left( f \right) = \frac{b - a}{6} \cdot \left[ f \left( a \right) + 4 \cdot f \left( \frac{a+b}{2} \right) + f \left( b \right) \right] &\text{ (Simpson)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Formule générale~:} \newline + $ \begin{aligned} + &I_{appr} \left( f \right) = \sum_{k = 0}^n \alpha_k \cdot f \left( x_k \right) \\ + &x_k \text{ sont les noeuds et } \alpha_k \text{ sont les poids} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Noeuds et poids~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Point milieu} &&x_0 = \frac{1}{2} \cdot \left( a+b \right) && \alpha_0 = b-a \\ + &\text{Trapèze} &&x_0 = a, x_1 = b && \alpha_0 = \alpha_1 = \frac{1}{2} \cdot \left( b-a \right) \\ + &\text{Simpson} &&\begin{array}{@{}l} x_0 = a \\ x_1 = \frac{1}{2} \cdot \left( a+b \right) \\ x_2 = b \\ \end{array} &&\begin{array}{@{}l} \alpha_0 = \alpha_2 = \frac{1}{6} \cdot \left( b-a \right) \\ \alpha_1 = \frac{2}{3} \cdot \left( b-a \right) \\ \end{array} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreur~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \abs{I \left( f \right) - I_{appr} \left( f \right)} \leq \max_{x \in \left[ a;b \right]} \abs{f \left( x \right) - \Pi_nf \left( x \right)} \cdot \left( b-a \right) + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Degré d'exactitude} \newline + \underline{Défintion~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Une formule de quadrature } I_{appr} \left( f \right) \text{ sur l'intervalle } \left[ a;b \right] \\ &\text{est exacte de degré } r \text{ pour une fonction } f \text{ si} \\ + &I_{appr} \left( f \right) = \int_a^b f \left( x \right) \cdot \dif x \qquad \forall f \in \symbb{P}_r \\ + &\text{mais pas pour } r+1 + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Ordre} \newline + \underline{Défintion~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{On définit l'ordre d'une formule d'intégration par l'ordre de son erreur par rapport à } H + \end{aligned} $ +\\\hline + + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ X| } +\hline + +\textbf{Formules d'intégration composites} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Soient } M \text{ sous-intervalles } I_k = \left[ x_{k-1};x_k \right] \comma \qquad k = 1, \dots, M \\ + &x_k = a + k \cdot H \\ + &H = \frac{b-a}{M} \\ + &I \left( f \right) = \sum_{k = 1}^M \int_{I_k} f \left( x \right) \cdot \dif x \approx \sum_{k = 1}^M \int_{I_k} \Pi_nf \left( x \right) \cdot \dif x \approx \int_a^b \sum_{k = 1}^M \Pi_n^Hf \left( x \right) \cdot \dif x + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthodes~:} \newline + $ \begin{aligned} + &I_{pm}^c \left( f \right) = H \cdot \sum_{k = 1}^M f \left( \frac{x_{k-1} + x_k}{2} \right) \\ + &I_t^c \left( f \right) = \frac{H}{2} \cdot \sum_{k = 1}^M \left[ f \left( x_{k-1} \right) + f \left( x_k \right) \right] = \frac{H}{2} \cdot \left[ f \left( a \right) + f \left( b \right) \right] + H \cdot \sum_{k = 1}^{M-1} f \left( x_k \right) \\ + &I_s^c \left( f \right) = \frac{H}{6} \cdot \sum_{k = 1}^{M} \left[ f \left( x_{k-1} \right) + 4 \cdot f \left( \frac{x_{k-1} + x_k}{2} \right) + f \left( x_k \right) \right] + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreurs~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \abs{I \left( f \right) - I_{pm}^c \left( f \right)} \leq \frac{b-a}{24} \cdot H^2 \cdot \max_{x \in \left[ a;b \right]} \abs{f'' \left( x \right)} \\ + & \abs{I \left( f \right) - I_t^c \left( f \right)} \leq \frac{b-a}{12} \cdot H^2 \cdot \max_{x \in \left[ a;b \right]} \abs{f'' \left( x \right)} \\ + & \abs{I \left( f \right) - I_s^c \left( f \right)} \leq \frac{b-a}{180 \cdot 16} \cdot H^4 \cdot \max_{x \in \left[ a;b \right]} \abs{f'''' \left( x \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Degrés d'exactitude~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Point milieu} &&\text{1} \\ + &\text{Trapèze} &&\text{1} \\ + &\text{Simpson} &&\text{3} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Ordres par rapport à H~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Point milieu} &&\text{2} \\ + &\text{Trapèze} &&\text{2} \\ + &\text{Simpson} &&\text{4} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} +\newpage +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes directes}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X } +\hline + +\textbf{Énoncé du problème} \newline + \underline{Problème~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \cdot \vec{x} = \vec{b} &\text{Système linéaire d'ordre } n \\ + &\sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot x_j = b_i \comma & i = 1, \dots, n + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Régularité~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \text{ est dite régulière (non signulière) } \quad \Leftrightarrow \quad \det \left( A \right) \neq 0 \\ + &\text{Si } A \text{ est régulière, la solution } \vec{x} \text{ du système est unique} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Substitution progressive} \newline + \underline{Condition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &L \text{ matrice triangulaire inférieur} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &y_1 = b_1/l_{11} \\ + &y_i = \frac{1}{l_{ii}} \cdot \left( b_i - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} \cdot y_j \right) \comma i = 2, 3, \dots, n + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Coût~:} \newline + $ \begin{aligned} + &n^2 \text{ opérations} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Substitution rétrograde} \newline + \underline{Condition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &U \text{ matrice triangulaire supérieure} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x_n = y_n/u_{nn} \\ + &x_i = \frac{1}{u_{ii}} \cdot \left( y_i - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} \cdot x_j \right) \comma i = n-1, n-2, \dots, 1 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Coût~:} \newline + $ \begin{aligned} + &n^2 \text{ opérations} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Factorisation LU} \newline + \underline{Condition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \text{ matrice carrée non singulière} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \cdot \vec{x} = \vec{b} \quad \Leftrightarrow \quad L \cdot U \cdot \vec{x} = \vec{b} \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{r c l} L \cdot \vec{y} & = & \vec{b} \\ U \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \end{array} \right. + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Coût~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\frac{2 \cdot n^3}{3} \text{ opérations (pour la factorisation)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Remarque~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\det \left( A \right) = \det \left( L \right) \cdot \det \left( U \right) = \det \left( U \right) = \prod_{k = 1}^n u_{kk} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Changement de pivot} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &P \cdot A \cdot Q = L \cdot U \\ + &P = P_{n-1} \cdot \dots \cdot P_1 \\ + &Q = Q_1 \cdot \dots \cdot Q_{n-1} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \cdot \vec{x} = \vec{b} \quad \Leftrightarrow \quad P \cdot A \cdot Q \cdot Q^{-1} \cdot \vec{x} = P \cdot \vec{b} \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{r c l} L \cdot \vec{y} & = & P \cdot \vec{b} \\ U \cdot \vec{x^{*}} & = & \vec{y} \\ x & = & Q \cdot \vec{x^{*}} \\ \end{array} \right. + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Méthode d'élimination de Gauss} \newline + \underline{Conditions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \text{ matrice carrée non singulière} \\ + &k = 1, \dots, n-1 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &l_{ik} = \frac{a_{ik}^{\left( k \right)}}{a_{kk}^{\left( k \right)}} \comma &&i = k+1, \dots, n \\ + &a_{ij}^{\left( k+1 \right)} = a_{ij}^{\left( k \right)} - l_{ik} \cdot a_{kj}^{\left( k \right)} \comma &&i, j = k+1, \dots, n \\ + &b_{i}^{\left( k+1 \right)} = b_{i}^{\left( k \right)} - l_{ik} \cdot b_{k}^{\left( k \right)} \comma &&i = k+1, \dots, n \\ + &l_{ii} = 1 \comma U = A^{\left( n \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Coût~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\frac{2 \cdot n^3}{3} \text{ opérations} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Existence~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{La factorisation existe et est unique} \\ & \quad \leftrightarrow \quad \text{Les sous-matrices } A_i \left( i = 1, \dots, n-1 \right) \text{ ne sont pas singulières} \\ + &\text{Ou si la matrice A est à diagonale dominante par ligne} \\ & \abs{a_{ii}} \geq \sum_{j = 1, \dots, n;j \neq i} \abs{a_{ij}} \comma \qquad i = 1, \dots, n \\ + &\text{Ou si la matrice A est à diagonale dominante par colonne} \\ & \abs{a_{jj}} \geq \sum_{i = 1, \dots, n;i \neq j} \abs{a_{ij}} \comma \qquad j = 1, \dots, n \\ + &\text{Ou si la matrice A est symétrique définie positive} \\ &A = A^T \text{ et } \lambda_i \left( A \right) > 0 \comma \qquad i = 1, \dots, n \\ + &\text{La factorisation existe et est infinie} \\ & \quad \leftrightarrow \quad \text{Les sous-matrices } A_i \left( i = 1, \dots, n \right) \text{ sont singulières} \\ + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Factorisation de Cholesky} \newline + \underline{Condition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \text{ matrice symétrique définie positive} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A = R^T \cdot R \\ + &i = 2, \dots, n + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &r_{11} = \sqrt{a_{11}} \\ + &r_{ji} = \frac{1}{r_{jj}} \cdot \left( a_{ij} - \sum_{k = 1}^{j-1} r_{ki} \cdot r_{kj} \right) \comma &&j = 1, \dots, i-1 \\ + &r_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \sum_{k = 1}^{i-1} r_{ki}^2} \\ + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Coût~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\frac{n^3}{3} \text{ opérations} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Divers} \newline + \underline{Matrice de Hilbert~:} \newline + $ \begin{aligned} + &a_{ij} = \frac{1}{i+j-1} \comma &&i, j = 1, \dots, n \\ + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Conditionnment~:} \newline + $ \begin{aligned} + &K \left( A \right) = \frac{\lambda_{max} \left( A \right)}{\lambda_{min} \left( A \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreur~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\frac{\norm{\vec{x} - \vec{\hat{x}}}}{\norm{x}} \leq K \left( A \right) \cdot \frac{\norm{\vec{r}}}{\norm{\vec{b}}} \comma \vec{r} = \vec{b} - A \cdot \vec{\hat{x}} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} +\newpage +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes itératives}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X } +\hline + +\textbf{Méthode de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\vec{e}^{\left( k \right)} = \vec{x} - \vec{x}^{\left( k \right)} \\ + &\vec{e}^{\left( k+1 \right)} = B^{k+1} \cdot \vec{e}^{\left( 0 \right)} \\ + &\rho \left( B \right) = \max \abs{\lambda_i \left( B \right)} < 1 \\ + &\vec{r}^{\left( k \right)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{\left( k \right)} \\ + &B = P^{-1} \cdot \left( P - A \right) = I - P^{-1} \cdot A \\ + &\vec{x}^{\left( k+1 \right)} = B \cdot \vec{x}^{\left( k \right)} + \vec{g} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode de Jacobi~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x_i^{\left( k+1 \right)} = \frac{1}{a_{ii}} \cdot \left( b_i - \sum_{j = 1, j \neq i}^n a_{ij} \cdot x_j^{\left( k \right)} \right) \\ %\comma &&j = 1, \dots, n \\ + &B_J = D^{-1} \cdot \left( D - A \right) = I - D^{-1} \cdot A \\ + &\vec{g}_J = D^{-1} \cdot \vec{b} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode de Gauss-Seidel~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x_i^{\left( k+1 \right)} = \frac{1}{a_{ii}} \cdot \left( b_i - \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} \cdot x_j^{\left( k+1 \right)} - \sum_{j = i+1}^n a_{ij} \cdot x_j^{\left( k \right)} \right) \\ %\comma &&j = 1, \dots, n \\ + &B_{GS} = \left( D - E \right)^{-1} \cdot \left( D - E - A \right) = \left( D - E \right)^{-1} \cdot F \\ + &\vec{g}_{GS} = \left( D - E \right)^{-1} \cdot \vec{b} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode de sur-relaxation successive~:} \newline + $ \begin{aligned} + &x_i^{\left( k+1 \right)} = \frac{\omega}{a_{ii}} \cdot \left( b_i - \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} \cdot x_j^{\left( k+1 \right)} - \sum_{j = i+1}^n a_{ij} \cdot x_j^{\left( k \right)} \right) + \left( 1 - \omega \right) \cdot x_i^{\left( k \right)} \\ %\comma &&j = 1, \dots, n \\ + &B_{SOR} = \left( \frac{1}{\omega} \cdot D - E \right)^{-1} \cdot \left( \frac{1}{\omega} \cdot D - E - A \right) \\ + &\hphantom{B_{SOR}} = \left( I - \omega \cdot D^{-1} \cdot E \right)^{-1} \cdot \left[ \left( 1-\omega \right) \cdot I + \omega \cdot D^{-1} \cdot F \right] \\ + &\vec{g}_{SOR} = \left( \frac{1}{\omega} \cdot D - E \right)^{-1} \cdot \vec{b} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } A \text{ à diagonale dominante stricte par ligne, Jacobi et Gauss-Seidel sont convergentes} \\ + &\text{Si } A \text{ régulière, tridiagonale et dont les coefficients diagonaux sont tous non-nuls, } \\ &\text{Jacobi et Gauss-Seidel sont toutes les deux soit divergentes, soit convergentes, } \\ &\text{dans ce dernier cas, } \qquad \rho \left( B_{GS} \right) = \rho \left( B_J \right)^2 \\ + &\text{Si } A \text{ symétrique définie positive, Gauss-Seidel converge, Jacobi pas forcément} \\ + &\text{Si } A \text{ symétrique définie positive, SOR converge } \quad \Leftrightarrow \quad 0 < \omega < 2 \\ + &\text{Si } A \text{ à diagonale dominante stricte, SOR converge si } \qquad 0 < \omega < 1 \\ + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Méthode de Richardson stationnaire préconditionné} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &P \cdot \left( \vec{x}^{\left( k+1 \right)} - \vec{x}^{\left( k \right)} \right) = \alpha \cdot \vec{r}^{\left( k \right)} \\ + &\lambda_i = \text{ valeurs propres de } P^{-1} \cdot A \text{ strictement positives} \\ + &\lambda_{max} = \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_N = \lambda_{min} \\ + &\alpha_{opt} = \frac{2}{\lambda_{max} + \lambda_{min}} \\ + &\rho_{opt} = \frac{\lambda_{max} - \lambda_{min}}{\lambda_{max} + \lambda_{min}} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \text{ et } P \text{ symétriques définies positives} \\ + &0 < \alpha < 2/\lambda_{max} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreur~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \norm{\vec{x}^{\left( k \right)} - \vec{x}}_A \leq \left( \frac{K \left( P^{-1} \cdot A \right) - 1}{K \left( P^{-1} \cdot A \right) + 1} \right)^k \cdot \norm{\vec{x}^{\left( 0 \right)} - \vec{x}}_A \comma &&k \geq 0 + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Méthode de Richardson dynamique précondionné} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &P \cdot \left( \vec{x}^{\left( k+1 \right)} - \vec{x}^{\left( k \right)} \right) = \alpha_k \cdot \vec{r}^{\left( k \right)} \\ + &\alpha_k = \frac{\left( \vec{r}^{\left( k \right)}, \vec{z}^{\left( k \right)} \right)}{\left( A \cdot \vec{z}^{\left( k \right)}, \vec{z}^{\left( k \right)} \right)} \\ + &\vec{z}^{\left( k \right)} = P^{-1} \cdot \vec{r}^{\left( k \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\vec{r}^{\left( 0 \right)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{\left( 0 \right)} \\ + &P \cdot z^{\left( k \right)} = r^{\left( k \right)} \\ + &\alpha_k = \frac{\left( \vec{r}^{\left( k \right)}, \vec{z}^{\left( k \right)} \right)}{\left( A \cdot \vec{z}^{\left( k \right)}, \vec{z}^{\left( k \right)} \right)} \\ + &\vec{x}^{\left( k+1 \right)} = \vec{x}^{\left( k \right)} + \alpha_k \cdot \vec{z}^{\left( k \right)} \\ + &\vec{r}^{\left( k+1 \right)} = \vec{r}^{\left( k \right)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{z}^{\left( k \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreur~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \norm{\vec{x}^{\left( k \right)} - \vec{x}}_A \leq \left( \frac{K \left( P^{-1} \cdot A \right) - 1}{K \left( P^{-1} \cdot A \right) + 1} \right)^k \cdot \norm{\vec{x}^{\left( 0 \right)} - \vec{x}}_A \comma &&k \geq 0 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } A \text{ et } P \text{ symétriques définies positives} \\ + &\text{Si } P = I \text{, on a la méthode du gradient} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Méthode du gradient conjugué} \newline + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\vec{r}^{\left( 0 \right)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{\left( 0 \right)} \comma \vec{p}^{\left( 0 \right)} = \vec{r}^{\left( 0 \right)} \\ + &\alpha_k = \frac{\left( \vec{r}^{\left( k \right)}, \vec{p}^{\left( k \right)} \right)}{\left( A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)}, \vec{p}^{\left( k \right)} \right)} \\ + &\vec{x}^{\left( k+1 \right)} = \vec{x}^{\left( k \right)} + \alpha_k \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \\ + &\vec{r}^{\left( k+1 \right)} = \vec{r}^{\left( k \right)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \\ + &\beta_k = \frac{\left( \vec{r}^{\left( k+1 \right)}, A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \right)}{\left( \vec{p}^{\left( k \right)}, A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \right)} \\ + &\vec{p}^{\left( k+1 \right)} = \vec{r}^{\left( k+1 \right)} - \beta_k \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Méthode du gradient conjugué préconditionné} \newline + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\vec{r}^{\left( 0 \right)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{\left( 0 \right)} \comma \vec{z}^{\left( 0 \right)} = P^{-1} \cdot \vec{r}^{\left( 0 \right)} \comma \vec{p}^{\left( 0 \right)} = \vec{z}^{\left( 0 \right)} \\ + &\alpha_k = \frac{\left( \vec{r}^{\left( k \right)}, \vec{p}^{\left( k \right)} \right)}{\left( A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)}, \vec{p}^{\left( k \right)} \right)} \\ + &\vec{x}^{\left( k+1 \right)} = \vec{x}^{\left( k \right)} + \alpha_k \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \\ + &\vec{r}^{\left( k+1 \right)} = \vec{r}^{\left( k \right)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \\ + &P \cdot z^{\left( k+1 \right)} = r^{\left( k+1 \right)} \\ + &\beta_k = \frac{\left( \vec{z}^{\left( k+1 \right)}, A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \right)}{\left( \vec{p}^{\left( k \right)}, A \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} \right)} \\ + &\vec{p}^{\left( k+1 \right)} = \vec{z}^{\left( k+1 \right)} - \beta_k \cdot \vec{p}^{\left( k \right)} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreur~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \norm{\vec{x}^{\left( k \right)} - \vec{x}}_A \leq \frac{2 \cdot c^k}{1 + c^{2 \cdot k}} \cdot \norm{\vec{x}^{\left( 0 \right)} - \vec{x}}_A \comma &&k \geq 0 \\ + &c = \frac{\sqrt{K \left( P^{-1} \cdot A \right)} - 1}{\sqrt{K \left( P^{-1} \cdot A \right)} + 1} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Critère de convergence} \newline + \underline{Convergence~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } P^{-1} \cdot A \text{ symétrique définie positive} \\ + &\frac{\norm{\vec{x}^{\left( k \right)} - \vec{x}}}{\norm{\vec{x}}} \leq K \left( P^{-1} \cdot A \right) \cdot \frac{\norm{P^{-1} \cdot \vec{r^{\left( k \right)}}}}{\norm{P^{-1} \cdot \vec{b}}} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} +\newpage +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes directes (suite)}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X } +\hline + +\textbf{Inverse d'un matrice} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A^{-1} = \left( \vec{x}^{\left( 1 \right)}, \dots, \vec{x}^{\left( n \right)} \right) \\ + &\vec{e}^{\left( k \right)} \text{ vecteur avec composantes nulle sauf la k\textsuperscript{ième} composante qui vaut} 1 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A \cdot \vec{x}^{\left( k \right)} = \vec{e}^{\left( k \right)} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Systèmes triangulaires} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Une matrice } U = \left( u_{ij} \right) \text{ est triangulaire supérieure si} \\ + &u_{ij} = 0 \qquad \forall i, j~: 1 \leq j < i \leq n \\ + &\text{Une matrice } L = \left( l_{ij} \right) \text{ est triangulaire inférieure si} \\ + &l_{ij} = 0 \qquad \forall i, j~: 1 \leq i < j \leq n + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} + +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes itératives (suite)}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Splitting de A} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &A = D - E - F \\ + & \left\{ \begin{array}{l l} d_{ij} = a_{ij} &\text{si } i = j \\ d_{ij} = 0 & \text{si } i \neq j \\ \end{array} \right. && \text{Diagonale} \\ + & \left\{ \begin{array}{l l} e_{ij} = -a_{ij} & \text{si } i > j \\ e_{ij} = 0 & \text{si } i \leq j \\ \end{array} \right. && \text{Triangulaire inf.}\\ + & \left\{ \begin{array}{l l} f_{ij} = -a_{ij} & \text{si } i < j \\ f_{ij} = 0 & \text{si } i \geq j \\ \end{array} \right. && \text{Triangulaire sup.}\\ + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ X| } +\hline + +\textbf{Produit scalaire et normes} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \norm{\vec{v}} = \sqrt{\vec{v}^T \cdot \vec{v}} \\ + & \norm{\vec{v}}_A = \sqrt{\vec{v}^T \cdot A \cdot \vec{v}} \\ + & \left( \vec{v}, \vec{w} \right) = \vec{w}^T \cdot \vec{v} \\ + \end{aligned} $ +\\\hline +\end{tabu} + +\end{multicols} + +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Équations différentielles ordinaires (suite)}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Stabilité absolue} \newline + \underline{Problème modèle~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \left\{ \begin{array}{l} + y' \left( t \right) = \lambda \cdot y \left( t \right), \qquad \lambda < 0 \\ + y \left( t_0 \right) = y_0 \\ + \end{array} \right. \\ + &0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n < t_{n+1} \dots \text{ tels que } t_n = n \cdot h && \left( h > 0 \right) \\ + &\text{dont la solution est } y \left( t \right) = \e^{\lambda \cdot t} \text{ et } \lim_{t \rightarrow \infty} y \left( t \right) = 0 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Un schéma de résolution est absolument stable si} \\ + &\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Stablilité~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{EP~: si } 0 < h < 2/\lambda \\ + &\text{ER~: inconditionnellement stable }\\ + &\text{PM~: inconditionnellement instable }\\ + &\text{CN~: inconditionnellement stable }\\ + \end{aligned} $ +\\\hline +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ X| } +\hline + +\textbf{Stabilité} \newline + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Une méthode numérique absolument stable pour le problème} \\ &\text{modèle est stable pour un problème de Cauchy quelconque.} \\ + &\text{Il existe } 0 < \lambda_{min} < \lambda_{max} < \infty \text{ tel que} \\ + &-\lambda_{max} < \frac{\partial f \left( t, y \right)}{\partial y} < - \lambda_{min} \qquad \forall t \geq 0, \forall y \in D_y \\ + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Stablilité~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{EP~: si } 0 < h < 2/\lambda_{max} \\ + &\text{ER~: inconditionnellement stable }\\ + &\text{PM~: inconditionnellement instable }\\ + &\text{CN~: inconditionnellement stable }\\ + \end{aligned} $ +\\\hline +\end{tabu} + +\end{multicols} + +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes non linéaires}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Méthode de Newton} \newline + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\vec{f} \left( \vec{x} \right) = 0 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthode~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \left[ J_f \left( \vec{x}^{\left( k \right)} \right) \right] \cdot \left( \vec{x}^{\left( k+1 \right)} - \vec{x}^{\left( k \right)} \right) = -\vec{f} \left( \vec{x}^{\left( k \right)} \right) \comma &&k = 0, 1, 2, \dots \\ + & \quad \leftrightarrow \quad \vec{x}^{\left( k+1 \right)} = \vec{x}^{\left( k \right)} - \left[ J_f \left( \vec{x}^{\left( k \right)} \right) \right]^{-1} \cdot \vec{f} \left( \vec{x}^{\left( k \right)} \right) \comma &&k = 0, 1, 2, \dots + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} +\newpage +\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{{Équations différentielles ordinaires}}}] + +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X } +\hline + +\textbf{Énoncé du problème} \newline + \underline{Problème de Cauchy~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \left\{ \begin{array}{l} + y' \left( t \right) = f \left( t, y \left( t \right) \right) \\ + y \left( t_0 \right) = y_0 \\ + \end{array} \right. + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Solution~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si la fonction } f \left( t, y \right) \text{ est continue par rapport à ses deux variables et lipschitzienne} \\ & \text{par rapport à sa deuxième variable, alors la solution existe, est unique et appartient} \\ & \text{à } C^1 \left( I \right) + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Dérivée numérique} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Soient } t_0, t_1, \dots, t_{N_h} N_h + 1 \text{ noeuds équirépartis dans } \left[ t_0;t_{N_h} \right] \\ + &h = \frac{t_{N_h} - t_0}{N_h} \\ + & \left( Dy \right)_n \approx y' \left( t_n \right) + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthodes~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \left( Dy \right)_n^P = \frac{y \left( t_{n+1} \right) - y \left( t_n \right)}{h} \comma &&n = 0, \dots, N_h-1 \\ + & \left( Dy \right)_n^R = \frac{y \left( t_n \right) - y \left( t_{n-1} \right)}{h} \comma &&n = 1, \dots, N_h \\ + & \left( Dy \right)_n^C = \frac{y \left( t_{n+1} \right) - y \left( t_{n-1} \right)}{2 \cdot h} \comma &&n = 1, \dots, N_h-1 + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Erreurs~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \abs{y' \left( t_n \right) - \left( Dy \right)_n^P} \leq \frac{h}{2} \cdot \max_{t \in \left[ t_n;t_{n+1} \right]} \abs{y'' \left( t \right)} \\ + & \abs{y' \left( t_n \right) - \left( Dy \right)_n^R} \leq \frac{h}{2} \cdot \max_{t \in \left[ t_{n-1};t_n \right]} \abs{y'' \left( t \right)} \\ + & \abs{y' \left( t_n \right) - \left( Dy \right)_n^C} \leq \frac{h^2}{6} \cdot \max_{t \in \left[ t_{n-1};t_{n+1} \right]} \abs{y''' \left( t \right)} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Résolution} \newline + \underline{Définition~:} \newline + $ \begin{aligned} + &u_n \text{ une approximation de } y \left( t_n \right) + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthodes~:} \newline + $ \begin{aligned} + &u_{n+1} = u_n + h \cdot f \left( t_n, u_n \right) & \text{EP} \\ + &u_{n+1} = u_n + h \cdot f \left( t_{n+1}, u_{n+1} \right) & \text{ER} \\ + &u_{n+1} = u_{n-1} + 2 \cdot h \cdot f \left( t_n, u_n \right) & \text{PM} \\ + &u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot \left[ f \left( t_n, u_n \right) + f \left( t_{n+1}, u_{n+1} \right) \right] & \text{CN} \\ + &u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot \left[ f \left( t_n, u_n \right) + f \left( t_{n+1}, u_n + h \cdot f \left( t_n, u_n \right) \right) \right] & \text{H} \\ + &u_{n+1} = u_n + h \cdot f \left( t_{n+\frac{1}{2}}, u_n + \frac{h}{2} \cdot f \left( t_n, u_n \right) \right) & \text{EM} \\ + & \left\{ \begin{array}{l} + u_{n+1} = u_n + \frac{h}{6} \cdot \left( K_1 + 2 \cdot K_2 + 2 \cdot K_3 + K_4 \right) \\ + K_1 = f \left( t_n, u_n \right) \\ + K_2 = f \left( t_n + \frac{h}{2}, u_n + \frac{h}{2} \cdot K_1 \right) \\ + K_3 = f \left( t_n + \frac{h}{2}, u_n + \frac{h}{2} \cdot K_2 \right) \\ + K_4 = f \left( t_{n+1}, u_n + h \cdot K_3 \right) \\ + \end{array} \right. & \text{RK} \\ + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} +\begin{tabu}to 0.5\textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Convergence} \newline + \underline{Définitions~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Une méthode est dite convergente si} \\ + &\forall n = 0, .., N_h~: \abs{u_n - y \left( t_n \right)} \leq C \left( h \right) \\ + &\text{Où } C \left( h \right) \rightarrow 0 \text{ lorsque } h \rightarrow 0 \\ + &\text{Si en plus, il existe } p > 0 \text{ tel que } C \left( h \right) = \symcal{O} \left( h^p \right) \text{ on dit que la} \\ &\text{méthode est convergente d'ordre } p + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence de EP~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } y \in C^2 \left( \left[ 0;T \right] \right) \comma f \text{ est lipschitzienne et en plus} \\ + &-\lambda_{max} < \frac{\partial f \left( t, y \right)}{\partial y} < 0 \qquad \forall t \in \left[ 0;T \right], \forall y \in \left[ -\infty;\infty \right] \\ + &\text{Alors } \abs{y \left( t_n \right) - u_n} \leq t_n \cdot \frac{h}{2} \cdot \max_t \abs{y'' \left( t \right)} \\ + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence de EP (2)~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Si } y \in C^2 \left( \left[ 0;T \right] \right) \text{ et } f \text{ est lipschitzienne avec sa constante } L \\ + &\text{Alors } \abs{y \left( t_n \right) - u_n} \leq h \cdot \frac{\e^{L \cdot t_n} - 1}{2 \cdot L} \cdot \max_t \abs{y'' \left( t \right)} \\ + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Convergence de ER~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Le même type de résultat peut être établi pour ER} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Nb. pas/Ordre/Stabilité/Explicite-Implicite} \newline + $ \begin{aligned} + &\text{Euler progressif} &&\text{1} &&\text{1} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\ + &\text{Euler rétrograde} &&\text{1} &&\text{1} &\text{Incond.} &&\text{Impl.} \\ + &\text{Point millieu} &&\text{2} &&\text{1} &\text{Instable} &&\text{Expl.} \\ + &\text{Crank-Nicolson} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Incond.} &&\text{Impl.} \\ + &\text{Heun} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\ + &\text{Euler modifiée} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\ + &\text{Runge-Kutta} &&\text{1} &&\text{4} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Systèmes d'équations} \newline + \underline{Problème~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \left\{ \begin{array}{l} + \vec{y}' \left( t \right) = A \cdot \vec{y} \left( t \right) + \vec{b} \left( t \right) \\ + \vec{y} \left( t_0 \right) = \vec{y}_0 \\ + \end{array} \right. + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthodes~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\vec{u}_{n+1} = \left( I + h \cdot A \right) \cdot \vec{u}_n + h \cdot \vec{b}_n &\text{EP} \\ + & \left( I - h \cdot A \right) \cdot \vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{b}_n &\text{ER} \\ + & \left( I - \frac{h}{2} \cdot A \right) \cdot \vec{u}_{n+1} = \left( I + \frac{h}{2} \cdot A \right) \cdot \vec{u}_n + \frac{h}{2} \cdot \left( \vec{b}_n + \vec{b}_{n+1} \right) &\text{CN} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Stabilité~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\lambda_i \left( A \right) < 0 &&\forall i\\ + &h < 2/\rho \left( A \right) &&\text{pour EP; ER et CN incond. stables} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\textbf{Système d'équations non linéaires} \newline + \underline{Problème~:} \newline + $ \begin{aligned} + & \left\{ \begin{array}{l} + \vec{y}' \left( t \right) = \vec{F} \left( t, \vec{y} \left( t \right) \right) \\ + \vec{y} \left( t_0 \right) = \vec{y}_0 \\ + \end{array} \right. \\ + & J = \frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{y}} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Méthodes~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{F} \left( t_n, \vec{u}_n \right) &\text{EP} \\ + &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{F} \left( t_{n+1}, \vec{u}_{n+1} \right) &\text{ER} \\ + &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + \frac{h}{2} \cdot \left[ \vec{F} \left( t_n, \vec{u}_n \right) + \vec{F} \left( t_{n+1}, \vec{u}_{n+1} \right) \right] &\text{CN} + \end{aligned} $ \newline + + \underline{Stabilité~:} \newline + $ \begin{aligned} + &\lambda_i \left( J \right) < 0 &&\forall i\\ + &h < 2/\rho \left( J \right) &&\text{pour EP; ER et CN incond. stables} + \end{aligned} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\end{multicols} diff --git a/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Pour inclusion.tex b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Pour inclusion.tex new file mode 100644 index 0000000..db1e7a2 --- /dev/null +++ b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Pour inclusion.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} + +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire d'Analyse numérique} + +\chead{} +\cfoot{} + +\begin{document} + +\input{"BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex"} + +\end{document} diff --git a/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique.tex b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique.tex index c7a5d89..8535892 100644 --- a/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique.tex +++ b/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique.tex @@ -1,1059 +1,11 @@ -\documentclass[a4paper,10pt]{article} -%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} -\input{../Common.tex} +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire d'Analyse numérique} \begin{document} -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Définitions}}] +\input{"BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex"} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline -\textbf{Méthodes numériques :} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &F(x,d) = 0 \text{ un problème } \\ - &F_n(x_n,d_n) = 0 \text{, } n > 1 \text{ une suite de problèmes } \\ - &x = G(d) \text{ t.q } F(G(d),d) = 0 \text{ une application résolvante } \\ - &x_n \rightarrow x \text{ pour } n \rightarrow \infty \\ - &d_n \rightarrow d \text{ pour } n \rightarrow \infty \\ - &F_n \text{ approche } F \text{ pour } n \rightarrow \infty - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Consistance :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{La méthode numérique (} P_n \text{) est consistante si} \\ - &F_n(x_n,d_n) - F(x,d) \rightarrow 0 \text{ pour } n \rightarrow \infty \\ - &\text{où } x \text{ est la solution du problème (} P \text{) correspondant} \\ &\text{à la donnée } d \\ - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Stabilité :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Une méthode numérique est bien posée (ou stable) s’il existe,} \\ &\text{pour tout } n \text{ une unique solution } x_n \text{ correspondant à la donnée } \\ &d_n \text{ et si } x_n \text{ dépend continûment des données, i.e.} \\ - &\forall d_n, \exists \eta_0 = \eta_0(d_n) > 0 \text{, } \exists K_0 = K_0(\eta_0,d_n) \text { t.q} \\ - &\forall \delta d_n : \|\delta d_n\| \leq \eta_0 \rightarrow \|\delta x_n\| \leq K_0 \cdot \|\delta d_n\| - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si le problème numérique (} P_n \text{) est consistant avec le problème} \\ &\text{(} P \text{), alors il est convergent si, et seulement si, il est stable} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} -\newpage -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Équations non-linéaires}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Dichotomie ou bissection} \newline - \underline{Conditions :} \newline - $ \begin{aligned} - &f(a) \cdot f(b) < 0 \text{ et } f(x) \text{ continue sur } [a;b] \\ - &k \in \mathbb{N} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &x^{(k)} = \frac{a^{(k)} + b^{(k)}}{2} \\ - &\text{Si } f(x^{(k)}) = 0 \text{ fin} \\ - &\text{Si } f(x^{(k)}) \cdot f(a) < 0 \text{, } a^{(k+1)} = a^{(k)} \text{ et } b^{(k+1)} = x^{(k)} \\ - &\text{Si } f(x^{(k)}) \cdot f(b) < 0 \text{, } a^{(k+1)} = x^{(k)} \text{ et } b^{(k+1)} = b^{(k)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreur :} \newline - $ \begin{aligned} - &|e^{(k)}| = |x^{(k)} - \alpha| \leq \frac{b - a}{2^{k+1}} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline -\textbf{Méthode de Newton} \newline - \underline{Conditions :} \newline - $ \begin{aligned} - &f(x) \text{ dérivable } \\ - &k \in \mathbb{N} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence locale :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } f(x) \text{ continue et deux fois dérivable sur } [a;b] \\ - &\text{Si } f(\alpha) = 0 \text{ et } f'(\alpha) \neq 0 \\ - &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } |x^{(0)} - \alpha| \leq \delta \text{, la méthode converge} \\ - &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{(k+1)} - \alpha}{(x^{(k)} - \alpha)^2}} = \frac{f''(\alpha)}{2 \cdot f'(\alpha)} \text{ (ordre 2)} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Point fixe} \newline - \underline{Conditions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\phi(\alpha) = \alpha \Leftrightarrow f(\alpha) = 0 \text{, } x^{(k)} \rightarrow \alpha \text{ et } \phi(x) \text{ continue sur } [a;b] \\ - &k \in \mathbb{N} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &x^{(k+1)} = \phi(x^{(k)}) - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence globale :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } \phi(x) \text{ continue sur } [a;b] \\ - &\text{Si } \phi(x) \in [a;b] \text{ } \forall x \in [a;b] \\ - &\text{Si } \exists L < 1 \text{ t.q. } |\phi(x_1) - \phi(x_2)| \leq L \cdot |x_1 - x_2| \text{ } \forall x_1,x_2 \in [a;b] - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence globale (2) :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } \phi(x) \text{ continue et dérivable sur } [a;b] \\ - &\text{Si } \phi(x) \in [a;b] \text{ } \forall x \in [a;b] \\ - &\text{Si } \exists K < 1 \text{ t.q. } |\phi'(x)| \leq K \text{ } \forall x \in [a;b] - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence locale :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } \phi(x) \text{ continue et dérivable sur } [a;b] \\ - &\text{Si } |\phi'(\alpha)| < 1 \\ - &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } |x^{(0)} - \alpha| \leq \delta \text{, la méthode converge} \\ - &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{(k+1)} - \alpha}{x^{(k)} - \alpha}} = \phi'(\alpha) &&\hspace{-7em} \text{ (ordre 1)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence locale (2) :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } \phi(x) \text{ continue et deux fois dérivable sur } [a;b] \\ - &\text{Si } \phi'(\alpha) = 0 \text{ et } \phi''(\alpha) \neq 0 \\ - &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{(k+1)} - \alpha}{(x^{(k)} - \alpha)^2}} = \frac{\phi''(\alpha)}{2} &\hspace{-4em} \text{ (ordre 2)} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| } -\hline - -\textbf{Méthode de Newton modifiée} \newline - \underline{Conditions :} \newline - $ \begin{aligned} - &f(x) \text{ dérivable et } \alpha \text{ de multiplicité de } m \\ - &k \in \mathbb{N} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &x^{(k+1)} = x^{(k)} - m \cdot \frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence locale :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } f(x) \text{ continue et dérivable sur } [a;b] \\ - &\text{Si } f(\alpha) = 0 \text{ et } f'(\alpha) = 0 \\ - &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } |x^{(0)} - \alpha| \leq \delta \text{, la méthode converge} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Méthode de la corde} \newline - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{f(x^{(k)})}{q(x^{(k)})} \\ - &q = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} &&\text{ ou } &q = \frac{f(b)-f(x^{(k)})}{b-x^{(k)}} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence :} \newline - $ \begin{aligned} - \left| 1 - \frac{f'(\alpha)}{q(\alpha)} \right| < 1 - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Critères d'arrêt} \newline - \underline{Contrôle de l'incrément :} \newline - $ \begin{aligned} - &|x^{(k+1)} - x^{(k)}| < \epsilon - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Contrôle du résidu :} \newline - $ \begin{aligned} - &|f(x^{(k)})| < \epsilon - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Cas du point fixe :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Le contrôle de l'incrément est optimal si } \phi'(\alpha) = 0 \text{, satisfaisant} \\ &\text{si } -1 < \phi'(\alpha) < 0 \text{ et n'est pas satisfaisant si } \phi'(\alpha) \text{ est proche} \\ &\text{de 1.} \\ - &\text{Le contrôle du résidu est satisfaisant si } |f'| \simeq 1 \text{ au voisinage de} \\ &\text{la racine } \alpha \text{.} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Multiplicité} \newline - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{On dit qu'un zéro } \alpha \text{ de } f \text{ est de multiplicité } m \in \mathbb{N} \text{ si} \\ - &f(\alpha) = ... = f^{m-1}(\alpha) = 0 \text{ et } f^m(\alpha) \neq 0 \\ - &\text{Un zéro de multiplicité } m = 1 \text{ est appelé zéro simple.} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Ordre de convergence} \newline - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{On dit que la convergence est d'ordre } p \geq 1 \text{ s'il existe une} \\ &\text{constante } C > 0 \text{ (avec } C < 1 \text{ lorsque } p = 1 \text {) telle que l'inégalité} \\ &\text{suivante soit satisfaite} \\ - &|x^{(k+1)} - \alpha| \leq C \cdot |x^{(k)} - \alpha|^p \\ - &\text{Lorsque } p = 1 \text{, la convergence est dite linéaire.} \\ - &\text{Lorsque } p = 2 \text{, la convergence est dite quadratique.} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} -\newpage -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Interpolation}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Polynôme d'interpolation (de degré n)} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Soient } n + 1 \text{ noeuds distincts } x_0, x_1, ... x_n \\ &\text{et } n + 1 \text{ valeurs } y_0, y_1, ..., y_n \\ - &p(x_j) = y_j \text{ } 0 \leq j \leq n \\ - &p(x) = \Pi_n(x) = \Pi_nf(x) \\ - &I = [a;b] \\ - &h = \frac{b-a}{n} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &\varphi_k(x) = \prod_{j=0,j \neq k}^n \frac{x - x_j}{x_k - x_j} &\text{ (Base de Lagrange)} \\ - &\Pi_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k \cdot \varphi_k(x) &\text{ (Polynôme d'interpolation)} \\ - &\Pi_nf(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k) \cdot \varphi_k(x) &\text{ (Interpolant de } f \text{)} \\ - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreur :} \newline - $ \begin{aligned} - &\max_{x \in I} |E_n f(x)| \leq \frac{1}{4 \cdot (n+1)} \cdot h^{n+1} \cdot \max_{x \in I} |f^{(n+1)}(x)| - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Interpolation par morceaux :} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &a = x_0 < x_1 < ... < x_N = b \text{ les points qui divisent } I \text{ en} \\ &\text{réunion d'intervalles } I_i = [x_i, x_{i+1}] \\ - &H = \frac{b-a}{N} - \end{aligned} $ \newline - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &\Pi_1^Hf(x) = f(x_i) + \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i} \cdot (x - x_i) \text{ pour } x \in I_i - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreurs :} \newline - $ \begin{aligned} - &\max_{x \in I} |E_1^H f(x)| \leq \frac{H^2}{8} \cdot \max_{x \in I} |f''(x)| \\ - &\max_{x \in I} |E_r^H f(x)| \leq \frac{H^{r+1}}{4 \cdot (r+1)} \cdot \max_{x \in I} |f^{(r+1)}(x)| - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Méthode des moindres carrés (de degré m)} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\sum_{i=0}^n |y_i - \tilde{f}_m(x_i)|^2 \leq \sum_{i=0}^n |y_i - p_m(x_i)|^2 &\forall p_m(x) \in \mathbb{P}_m \\ - &\sum_{i=0}^n |f(x_i) - \tilde{f}_m(x_i)|^2 \leq \sum_{i=0}^n |f(x_i) - p_m(x_i)|^2 &\forall p_m(x) \in \mathbb{P}_m \\ - &\tilde{f}_m(x) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + ... + a_m \cdot x^m - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &\Phi(b_0, b_1, ..., b_m) = \sum_{i=0}^n (y_i - (b_0 + b_1 \cdot x_i \\ - &\hspace{14em} + b_2 \cdot x_i^2 + ... + b_m \cdot x_i^m))^2 \\ - &\Phi(a_0, a_1, ..., a_m) = \min_{b_i, i = 0,...,m} \Phi(b_0, b_1, ..., b_m) \\ - &\frac{\partial \Phi}{\partial b_i}(a_0, a_1, ..., a_m) = 0 \text{, } 0 \leq i \leq m \text{ (Système de degré } m+1 \text{)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode (2) :} \newline - $ \begin{aligned} - &B = \begin{pmatrix} - 1 & x_0 & \ldots & x_0^m \\ - 1 & x_1 & \ldots & x_1^m \\ - \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - 1 & x_n & \ldots & x_n^m \\ - \end{pmatrix} &&\vec{y} = \begin{pmatrix} - y_0 \\ - y_1 \\ - \vdots \\ - y_n \\ - \end{pmatrix} \\ - &B^T \cdot B \cdot \vec{a} = B^T \cdot \vec{y} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| } -\hline - -\textbf{Interpolation par fonctions splines} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &I = [a;b] \\ - &a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b \text{ les points qui divisent } I \text{ en réunion} \\ &\text{d'intervalles } I_i = [x_i, x_{i+1}] - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Spline :} \newline - $ \begin{aligned} - &s_{3|I_i} \in \mathbb{P}_3 &&\forall i = 0,...,n-1 \\ - &s_3(x_i) = f(x_i) &&\forall i = 0,...,n \\ - &s_3 \in C^2(I) - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Conditions aux bords :} \newline - $ \begin{aligned} - &s_3(x_i^-) = s_3(x_i^+) \\ - &s_3'(x_i^-) = s_3'(x_i^+) \\ - &s_3''(x_i^-) = s_3''(x_i^+) - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Spline naturelle :} \newline - $ \begin{aligned} - &s_3''(x_0^+) = 0 \\ - &s_3''(x_n^-) = 0 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Spline not-a-knot :} \newline - $ \begin{aligned} - &s_3'''(x_1^-) = s_3'''(x_1^+) \\ - &s_3'''(x_{n-1}^-) = s_3'''(x_{n-1}^+) - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} -\newpage -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Intégration}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X } -\hline - -\textbf{Formules d'intégration simples} \newline - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &I(f) = \int_a^b f(x) \cdot \dif x - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthodes :} \newline - $ \begin{aligned} - &I_{pm}(f) = (b - a) \cdot f\left( \frac{a+b}{2} \right) &\text{ (Point millieu)} \\ - &I_t(f) = (b - a) \cdot \frac{f(a) + f(b)}{2} &\text{ (Trapèze)} \\ - &I_s(f) = \frac{b - a}{6} \cdot \left[ f(a) + 4 \cdot f\left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right] &\text{ (Simpson)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Formule générale :} \newline - $ \begin{aligned} - &I_{appr}(f) = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot f(x_k) \\ - &x_k \text{ sont les noeuds et } \alpha_k \text{ sont les poids} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Noeuds et poids :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Point milieu} &&x_0 = \frac{1}{2} \cdot (a+b) && \alpha_0 = b-a \\ - &\text{Trapèze} &&x_0 = a, x_1 = b && \alpha_0 = \alpha_1 = \frac{1}{2} \cdot (b-a) \\ - &\text{Simpson} &&\begin{array}{l} x_0 = a \\ x_1 = \frac{1}{2} \cdot (a+b) \\ x_2 = b \\ \end{array} &&\begin{array}{l} \alpha_0 = \alpha_2 = \frac{1}{6} \cdot (b-a) \\ \alpha_1 = \frac{2}{3} \cdot (b-a) \\ \end{array} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreur :} \newline - $ \begin{aligned} - &|I(f) - I_{appr}(f)| \leq \max_{x \in [a;b]} |f(x) - \Pi_nf(x)| \cdot (b-a) - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Degré d'exactitude} \newline - \underline{Défintion :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Une formule de quadrature } I_{appr}(f) \text{ sur l'intervalle } [a;b] \\ &\text{est exacte de degré } r \text{ pour une fonction } f \text{ si} \\ - &I_{appr}(f) = \int_a^b f(x) \cdot \dif x &&\hspace{-12em} \forall f \in \mathbb{P}_r \\ - &\text{mais pas pour } r+1 - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Ordre} \newline - \underline{Défintion :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{On définit l'ordre d'une formule d'intégration par l'ordre de} \\ &\text{son erreur par rapport à } H - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Formules d'intégration composites} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Soient } M \text{ sous-intervalles } I_k = [x_{k-1};x_k] \text{, } &&k = 1,...,M \\ - &x_k = a + k \cdot H \\ - &H = \frac{b-a}{M} \\ - &I(f) = \sum_{k=1}^M \int_{I_k} f(x) \cdot \dif x \approx \sum_{k=1}^M \int_{I_k} \Pi_nf(x) \cdot \dif x \\& \hspace{10em} \approx \int_a^b \sum_{k=1}^M \Pi_n^Hf(x) \cdot \dif x - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthodes :} \newline - $ \begin{aligned} - &I_{pm}^c(f) = H \cdot \sum_{k=1}^M f\left( \frac{x_{k-1} + x_k}{2} \right) \\ - &I_t^c(f) = \frac{H}{2} \cdot \sum_{k=1}^M [f(x_{k-1}) + f(x_k)] \\ - &\hspace{2.5em} = \frac{H}{2} \cdot [f(a) + f(b)] + H \cdot \sum_{k=1}^{M-1} f(x_k) \\ - &I_s^c(f) = \frac{H}{6} \cdot \sum_{k=1}^{M} \left[ f(x_{k-1}) + 4 \cdot f\left( \frac{x_{k-1} + x_k}{2} \right) + f(x_k) \right] - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreurs :} \newline - $ \begin{aligned} - &|I(f) - I_{pm}^c(f)| \leq \frac{b-a}{24} \cdot H^2 \cdot \max_{x \in [a;b]} |f''(x)| \\ - &|I(f) - I_t^c(f)| \leq \frac{b-a}{12} \cdot H^2 \cdot \max_{x \in [a;b]} |f''(x)| \\ - &|I(f) - I_s^c(f)| \leq \frac{b-a}{180 \cdot 16} \cdot H^4 \cdot \max_{x \in [a;b]} |f''''(x)| - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Degrés d'exactitude :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Point milieu} &&\text{1} \\ - &\text{Trapèze} &&\text{1} \\ - &\text{Simpson} &&\text{3} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Ordres par rapport à H:} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Point milieu} &&\text{2} \\ - &\text{Trapèze} &&\text{2} \\ - &\text{Simpson} &&\text{4} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} -\newpage -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes directes}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X } -\hline - -\textbf{Énoncé du problème} \newline - \underline{Problème :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \cdot \vec{x} = \vec{b} &\text{Système linéaire d'ordre } n \\ - &\sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot x_j = b_i \text{, } & i = 1,...,n - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Régularité :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \text{ est dite régulière (non signulière) } \Leftrightarrow \det(A) \neq 0 \\ - &\text{Si } A \text{ est régulière, la solution } \vec{x} \text{ du système est unique} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Substitution progressive} \newline - \underline{Condition :} \newline - $ \begin{aligned} - &L \text{ matrice triangulaire inférieur} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &y_1 = b_1/l_{11} \\ - &y_i = \frac{1}{l_{ii}} \cdot \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} l_{ij} \cdot y_j \right) \text{, } i = 2,3,...,n - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Coût :} \newline - $ \begin{aligned} - &n^2 \text{ opérations} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Substitution rétrograde} \newline - \underline{Condition :} \newline - $ \begin{aligned} - &U \text{ matrice triangulaire supérieure} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &x_n = y_n/u_{nn} \\ - &x_i = \frac{1}{u_{ii}} \cdot \left( y_i - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij} \cdot x_j \right) \text{, } i = n-1,n-2,...,1 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Coût :} \newline - $ \begin{aligned} - &n^2 \text{ opérations} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Factorisation LU} \newline - \underline{Condition :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \text{ matrice carrée non singulière} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \cdot \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow L \cdot U \cdot \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{r c l} L \cdot \vec{y} & = & \vec{b} \\ U \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \end{array} \right . - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Coût :} \newline - $ \begin{aligned} - &\frac{2 \cdot n^3}{3} \text{ opérations (pour la factorisation)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Remarque :} \newline - $ \begin{aligned} - &\det(A) = \det(L) \cdot \det(U) = \det(U) = \prod_{k=1}^n u_{kk} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Changement de pivot} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &P \cdot A \cdot Q = L \cdot U \\ - &P = P_{n-1} \cdot ... \cdot P_1 \\ - &Q = Q_1 \cdot ... \cdot Q_{n-1} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \cdot \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow P \cdot A \cdot Q \cdot Q^{-1} \cdot \vec{x} = P \cdot \vec{b} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{r c l} L \cdot \vec{y} & = & P \cdot \vec{b} \\ U \cdot \vec{x^{*}} & = & \vec{y} \\ x & = & Q \cdot \vec{x^{*}} \\ \end{array} \right . - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Méthode d'élimination de Gauss} \newline - \underline{Conditions :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \text{ matrice carrée non singulière} \\ - &k = 1,...,n-1 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &l_{ik} = \frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}} \text{, } &&i = k+1,...,n \\ - &a_{ij}^{(k+1)} = a_{ij}^{(k)} - l_{ik} \cdot a_{kj}^{(k)} \text{, } &&i,j = k+1,...,n \\ - &b_{i}^{(k+1)} = b_{i}^{(k)} - l_{ik} \cdot b_{k}^{(k)} \text{, } &&i = k+1,...,n \\ - &l_{ii} = 1 \text{, } U=A^{(n)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Coût :} \newline - $ \begin{aligned} - &\frac{2 \cdot n^3}{3} \text{ opérations} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Existence :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{La factorisation existe et est unique} \\ &\Leftrightarrow \text{Les sous-matrices } A_i (i=1,...,n-1) \text{ ne sont pas singulières} \\ - &\text{Ou si la matrice A est à diagonale dominante par ligne} \\ &|a_{ii}| \geq \sum_{j=1,...,n;j \neq i} |a_{ij}| \text{, } && \hspace{-10em} i = 1,...,n \\ - &\text{Ou si la matrice A est à diagonale dominante par colonne} \\ &|a_{jj}| \geq \sum_{i=1,...,n;i \neq j} |a_{ij}| \text{, } && \hspace{-10em} j = 1,...,n \\ - &\text{Ou si la matrice A est symétrique définie positive} \\ &A = A^T \text{ et } \lambda_i(A) > 0 \text{, } && \hspace{-10em} i = 1,...,n \\ - &\text{La factorisation existe et est infinie} \\ &\Leftrightarrow \text{Les sous-matrices } A_i (i=1,...,n) \text{ sont singulières} \\ - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Factorisation de Cholesky} \newline - \underline{Condition :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \text{ matrice symétrique définie positive} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &A = R^T \cdot R \\ - &i = 2,...,n - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &r_{11} = \sqrt{a_{11}} \\ - &r_{ji} = \frac{1}{r_{jj}} \cdot \left( a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} r_{ki} \cdot r_{kj} \right) \text{, } &&j = 1,...,i-1 \\ - &r_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} r_{ki}^2} \\ - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Coût :} \newline - $ \begin{aligned} - &\frac{n^3}{3} \text{ opérations} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Divers} \newline - \underline{Matrice de Hilbert :} \newline - $ \begin{aligned} - &a_{ij} = \frac{1}{i+j-1} \text{, } &&i,j = 1,...,n \\ - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Conditionnment :} \newline - $ \begin{aligned} - &K(A) = \frac{\lambda_{max}(A)}{\lambda_{min}(A)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreur :} \newline - $ \begin{aligned} - &\frac{\|\vec{x} - \vec{\hat{x}}\|}{\|x\|} \leq K(A) \cdot \frac{\|\vec{r}\|}{\|\vec{b}\|} \text{, } &&\vec{r} = \vec{b} - A \cdot \vec{\hat{x}} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} -\newpage -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes itératives}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Méthode de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\vec{e}^{(k)} = \vec{x} - \vec{x}^{(k)} \\ - &\vec{e}^{(k+1)} = B^{k+1} \cdot \vec{e}^{(0)} \\ - &\rho(B) = \max|\lambda_i(B)| < 1 \\ - &\vec{r}^{(k)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(k)} \\ - &B = P^{-1} \cdot (P - A) = I - P^{-1} \cdot A \\ - &\vec{x}^{(k+1)} = B \cdot \vec{x}^{(k)} + \vec{g} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode de Jacobi :} \newline - $ \begin{aligned} - &x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \cdot \left(b_i - \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij} \cdot x_j^{(k)} \right) \\ %\text{, } &&j = 1,...,n \\ - &B_J = D^{-1} \cdot (D - A) = I - D^{-1} \cdot A \\ - &\vec{g}_J = D^{-1} \cdot \vec{b} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode de Gauss-Seidel :} \newline - $ \begin{aligned} - &x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \cdot \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} \cdot x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^n a_{ij} \cdot x_j^{(k)} \right) \\ %\text{, } &&j = 1,...,n \\ - &B_{GS} = (D - E)^{-1} \cdot (D - E - A) = (D - E)^{-1} \cdot F \\ - &\vec{g}_{GS} = (D - E)^{-1} \cdot \vec{b} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode de sur-relaxation successive :} \newline - $ \begin{aligned} - &x_i^{(k+1)} = \frac{\omega}{a_{ii}} \cdot \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} \cdot x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^n a_{ij} \cdot x_j^{(k)} \right) \\ - &\hspace{6em} + (1 - \omega) \cdot x_i^{(k)} \\ %\text{, } &&j = 1,...,n \\ - &B_{SOR} = (\frac{1}{\omega} \cdot D - E)^{-1} \cdot (\frac{1}{\omega} \cdot D - E - A) \\ - &\hspace{3em} = (I - \omega \cdot D^{-1} \cdot E)^{-1} \cdot [(1-\omega) \cdot I + \omega \cdot D^{-1} \cdot F] \\ - &\vec{g}_{SOR} = (\frac{1}{\omega} \cdot D - E)^{-1} \cdot \vec{b} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } A \text{ à diagonale dominante stricte par ligne, Jacobi et} \\ &\text{Gauss-Seidel sont convergentes} \\ - &\text{Si } A \text{ régulière, tridiagonale et dont les coefficients diagonaux} \\ &\text{sont tous non-nuls, Jacobi et Gauss-Seidel sont toutes les deux} \\ &\text{soit divergentes, soit convergentes, dans ce dernier cas, } \\ & - \rho(B_{GS}) = \rho(B_J)^2 \\ - &\text{Si } A \text{ symétrique définie positive, Gauss-Seidel converge,} \\ &\text{Jacobi pas forcément} \\ - &\text{Si } A \text{ symétrique définie positive, SOR converge } \Leftrightarrow 0 < \omega < 2 \\ - &\text{Si } A \text{ à diagonale dominante stricte, SOR converge si } 0 < \omega < 1 \\ - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Méthode de Richardson stationnaire préconditionné} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &P \cdot (\vec{x}^{(k+1)} - \vec{x}^{(k)}) = \alpha \cdot \vec{r}^{(k)} \\ - &\lambda_i = \text{ valeurs propres de } P^{-1} \cdot A \text{ strictement positives} \\ - &\lambda_{max} = \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_N = \lambda_{min} \\ - &\alpha_{opt} = \frac{2}{\lambda_{max} + \lambda_{min}} \\ - &\rho_{opt} = \frac{\lambda_{max} - \lambda_{min}}{\lambda_{max} + \lambda_{min}} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \text{ et } P \text{ symétriques définies positives} \\ - &0 < \alpha < 2/\lambda_{max} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreur :} \newline - $ \begin{aligned} - &\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|_A \leq \left( \frac{K(P^{-1} \cdot A) - 1}{K(P^{-1} \cdot A) + 1} \right)^k \cdot \|\vec{x}^{(0)} - \vec{x}\|_A \text{, } &&k \geq 0 - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| } -\hline - -\textbf{Méthode de Richardson dynamique précondionné} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &P \cdot (\vec{x}^{(k+1)} - \vec{x}^{(k)}) = \alpha_k \cdot \vec{r}^{(k)} \\ - &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{z}^{(k)})}{(A \cdot \vec{z}^{(k)},\vec{z}^{(k)})} \\ - &\vec{z}^{(k)} = P^{-1} \cdot \vec{r}^{(k)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &\vec{r}^{(0)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(0)} \\ - &P \cdot z^{(k)} = r^{(k)} \\ - &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{z}^{(k)})}{(A \cdot \vec{z}^{(k)},\vec{z}^{(k)})} \\ - &\vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} + \alpha_k \cdot \vec{z}^{(k)} \\ - &\vec{r}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{z}^{(k)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreur :} \newline - $ \begin{aligned} - &\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|_A \leq \left( \frac{K(P^{-1} \cdot A) - 1}{K(P^{-1} \cdot A) + 1} \right)^k \cdot \|\vec{x}^{(0)} - \vec{x}\|_A \text{, } &&k \geq 0 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } A \text{ et } P \text{ symétriques définies positives} \\ - &\text{Si } P = I \text{, on a la méthode du gradient} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Méthode du gradient conjugué} \newline - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &\vec{r}^{(0)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(0)} \text{, } \vec{p}^{(0)} = \vec{r}^{(0)} \\ - &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{p}^{(k)})}{(A \cdot \vec{p}^{(k)},\vec{p}^{(k)})} \\ - &\vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} + \alpha_k \cdot \vec{p}^{(k)} \\ - &\vec{r}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{p}^{(k)} \\ - &\beta_k = \frac{(\vec{r}^{(k+1)},A \cdot \vec{p}^{(k)})}{(\vec{p}^{(k)},A \cdot \vec{p}^{(k)})} \\ - &\vec{p}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k+1)} - \beta_k \cdot \vec{p}^{(k)} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Méthode du gradient conjugué préconditionné} \newline - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &\vec{r}^{(0)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(0)} \text{, } \vec{z}^{(0)} = P^{-1} \cdot \vec{r}^{(0)} \text{, } \vec{p}^{(0)} = \vec{z}^{(0)} \\ - &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{p}^{(k)})}{(A \cdot \vec{p}^{(k)},\vec{p}^{(k)})} \\ - &\vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} + \alpha_k \cdot \vec{p}^{(k)} \\ - &\vec{r}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{p}^{(k)} \\ - &P \cdot z^{(k+1)} = r^{(k+1)} \\ - &\beta_k = \frac{(\vec{z}^{(k+1)},A \cdot \vec{p}^{(k)})}{(\vec{p}^{(k)},A \cdot \vec{p}^{(k)})} \\ - &\vec{p}^{(k+1)} = \vec{z}^{(k+1)} - \beta_k \cdot \vec{p}^{(k)} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreur :} \newline - $ \begin{aligned} - &\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|_A \leq \frac{2 \cdot c^k}{1 + c^{2 \cdot k}} \cdot \|\vec{x}^{(0)} - \vec{x}\|_A \text{, } &&k \geq 0 \\ - &c = \frac{\sqrt{K(P^{-1} \cdot A)} - 1}{\sqrt{K(P^{-1} \cdot A)} + 1} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Critère de convergence} \newline - \underline{Convergence :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } P^{-1} \cdot A \text{ symétrique définie positive} \\ - &\frac{\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|}{\|\vec{x}\|} \leq K(P^{-1} \cdot A) \cdot \frac{\|P^{-1} \cdot \vec{r^{(k)}}\|}{\|P^{-1} \cdot \vec{b}\|} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} -\newpage -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes directes (suite)}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Inverse d'un matrice} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &A^{-1} = (\vec{x}^{(1)},...,\vec{x}^{(n)}) \\ - &\vec{e}^{(k)} \text{ vecteur avec composantes nulle sauf la k\textsuperscript{ième} composante } \\ &\text{qui vaut } 1 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &A \cdot \vec{x}^{(k)} = \vec{e}^{(k)} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| } -\hline - -\textbf{Systèmes triangulaires} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Une matrice } U = (u_{ij}) \text{ est triangulaire supérieure si} \\ - &u_{ij} = 0 &&\hspace{-15em} \forall i,j : 1 \leq j < i \leq n \\ - &\text{Une matrice } L = (l_{ij}) \text{ est triangulaire inférieure si} \\ - &l_{ij} = 0 &&\hspace{-15em} \forall i,j : 1 \leq i < j \leq n - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} - -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes itératives (suite)}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Splitting de A} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &A = D - E - F \\ - &\left \{ \begin{array}{l l} d_{ij} = a_{ij} &\text{si } i = j \\ d_{ij} = 0 & \text{si } i \neq j \\ \end{array} \right . && \text{Diagonale} \\ - &\left \{ \begin{array}{l l} e_{ij} = -a_{ij} & \text{si } i > j \\ e_{ij} = 0 & \text{si } i \leq j \\ \end{array} \right . && \text{Triangulaire inf.}\\ - &\left \{ \begin{array}{l l} f_{ij} = -a_{ij} & \text{si } i < j \\ f_{ij} = 0 & \text{si } i \geq j \\ \end{array} \right . && \text{Triangulaire sup.}\\ - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| } -\hline - -\textbf{Produit scalaire et normes} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}^T \cdot \vec{v}} \\ - &\|\vec{v}\|_A = \sqrt{\vec{v}^T \cdot A \cdot \vec{v}} \\ - &(\vec{v},\vec{w}) = \vec{w}^T \cdot \vec{v} \\ - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline -\end{tabularx} - -\end{multicols} - -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Équations différentielles ordinaires (suite)}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Stabilité absolue} \newline - \underline{Problème modèle :} \newline - $ \begin{aligned} - &\left \{ \begin{array}{l} - y'(t) = \lambda \cdot y(t)), \hspace{2em} \lambda < 0 \\ - y(t_0) = y_0 \\ - \end{array} \right . \\ - &0 = t_0 < t_1 < ... < t_n < t_{n+1} ... \text{ tels que } t_n = n \cdot h &&(h > 0) \\ - &\text{dont la solution est } y(t) = e^{\lambda \cdot t} \text{ et } \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Un schéma de résolution est absolument stable si} \\ - &\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Stablilité :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{EP : si } 0 < h < 2/\lambda \\ - &\text{ER : inconditionnellement stable }\\ - &\text{PM : inconditionnellement instable }\\ - &\text{CN : inconditionnellement stable }\\ - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| } -\hline - -\textbf{Stabilité} \newline - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Une méthode numérique absolument stable pour le problème} \\ &\text{modèle est stable pour un problème de Cauchy quelconque.} \\ - &\text{Il existe } 0 < \lambda_{min} < \lambda_{max} < \infty \text{ tel que} \\ - &-\lambda_{max} < \frac{\partial f(t,y)}{\partial y} < - \lambda_{min} &&\hspace{-10em} \forall t \geq 0, \forall y \in D_y \\ - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Stablilité :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{EP : si } 0 < h < 2/\lambda_{max} \\ - &\text{ER : inconditionnellement stable }\\ - &\text{PM : inconditionnellement instable }\\ - &\text{CN : inconditionnellement stable }\\ - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline -\end{tabularx} - -\end{multicols} - -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes non linéaires}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Méthode de Newton} \newline - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &\vec{f}(\vec{x}) = 0 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthode :} \newline - $ \begin{aligned} - &[J_f(\vec{x}^{(k)})] \cdot (\vec{x}^{(k+1)} - \vec{x}^{(k)}) = -\vec{f}(\vec{x}^{(k)}) \text{, } &&k = 0,1,2,... \\ - &\Leftrightarrow \vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} -[J_f(\vec{x}^{(k)})]^{-1} \cdot \vec{f}(\vec{x}^{(k)}) \text{, } &&k = 0,1,2,... - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} -\newpage -\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{{Équations différentielles ordinaires}}}] - -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X } -\hline - -\textbf{Énoncé du problème} \newline - \underline{Problème de Cauchy:} \newline - $ \begin{aligned} - &\left \{ \begin{array}{l} - y'(t) = f(t, y(t)) \\ - y(t_0) = y_0 \\ - \end{array} \right . - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Solution :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si la fonction } f(t,y) \text{ est continue par rapport à ses deux} \\ & \text{variables et lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable,} \\ &\text{alors la solution existe, est unique et appartient à } C^1(I) - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Dérivée numérique} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Soient } t_0, t_1, ..., t_{N_h} N_h + 1 \text{ noeuds équirépartis dans } [t_0;t_{N_h}] \\ - &h = \frac{t_{N_h} - t_0}{N_h} \\ - &(Dy)_n \approx y'(t_n) - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthodes :} \newline - $ \begin{aligned} - &(Dy)_n^P = \frac{y(t_{n+1}) - y(t_n)}{h} \text{, } &&n = 0,...,N_h-1 \\ - &(Dy)_n^R = \frac{y(t_n) - y(t_{n-1})}{h} \text{, } &&n = 1,...,N_h \\ - &(Dy)_n^C = \frac{y(t_{n+1}) - y(t_{n-1})}{2 \cdot h} \text{, } &&n = 1,...,N_h-1 - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Erreurs :} \newline - $ \begin{aligned} - &|y'(t_n) - (Dy)_n^P| \leq \frac{h}{2} \cdot \max_{t \in [t_n;t_{n+1}]} |y''(t)| \\ - &|y'(t_n) - (Dy)_n^R| \leq \frac{h}{2} \cdot \max_{t \in [t_{n-1};t_n]} |y''(t)| \\ - &|y'(t_n) - (Dy)_n^C| \leq \frac{h^2}{6} \cdot \max_{t \in [t_{n-1};t_{n+1}]} |y'''(t)| - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Résolution} \newline - \underline{Définition :} \newline - $ \begin{aligned} - &u_n \text{ une approximation de } y(t_n) - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthodes :} \newline - $ \begin{aligned} - &u_{n+1} = u_n + h \cdot f(t_n, u_n) &\hspace{-0.5em} \text{EP} \\ - &u_{n+1} = u_n + h \cdot f(t_{n+1}, u_{n+1}) &\hspace{-0.5em} \text{ER} \\ - &u_{n+1} = u_{n-1} + 2 \cdot h \cdot f(t_n, u_n) &\hspace{-0.5em} \text{PM} \\ - &u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_n, u_n) + f(t_{n+1}, u_{n+1})] &\hspace{-0.5em} \text{CN} \\ - &u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_n, u_n) + f(t_{n+1}, u_n + h \cdot f(t_n, u_n))] &\hspace{-0.5em} \text{H} \\ - &u_{n+1} = u_n + h \cdot f\left(t_{n+\frac{1}{2}}, u_n + \frac{h}{2} \cdot f(t_n, u_n)\right) &\hspace{-0.5em} \text{EM} \\ - &\left \{ \begin{array}{l} - u_{n+1} = u_n + \frac{h}{6} \cdot (K_1 + 2 \cdot K_2 + 2 \cdot K_3 + K_4) \\ - K_1 = f(t_n, u_n) \\ - K_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, u_n + \frac{h}{2} \cdot K_1) \\ - K_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, u_n + \frac{h}{2} \cdot K_2) \\ - K_4 = f(t_{n+1}, u_n + h \cdot K_3) \\ - \end{array} \right . &\hspace{-0.5em} \text{RK} \\ - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} -\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| } -\hline - -\textbf{Convergence} \newline - \underline{Définitions :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Une méthode est dite convergente si} \\ - &\forall n = 0,..,N_h : |u_n - y(t_n)| \leq C(h) \\ - &\text{Où } C(h) \rightarrow 0 \text{ lorsque } h \rightarrow 0 \\ - &\text{Si en plus, il existe } p > 0 \text{ tel que } C(h) = \mathcal{O}(h^p) \text{ on dit que la} \\ &\text{méthode est convergente d'ordre } p - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence de EP :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } y \in C^2([0;T]) \text{, } f \text{ est lipschitzienne et en plus} \\ - &-\lambda_{max} < \frac{\partial f(t,y)}{\partial y} < 0 &&\hspace{-6em} \forall t \in [0;T], \forall y \in [-\infty;\infty] \\ - &\text{Alors } |y(t_n) - u_n| \leq t_n \cdot \frac{h}{2} \cdot \max_t |y''(t)| \\ - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence de EP (2) :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Si } y \in C^2([0;T]) \text{ et } f \text{ est lipschitzienne avec sa constante } L \\ - &\text{Alors } |y(t_n) - u_n| \leq h \cdot \frac{e^{L \cdot t_n} - 1}{2 \cdot L} \cdot \max_t |y''(t)| \\ - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Convergence de ER :} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Le même type de résultat peut être établi pour ER} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Nb. pas/Ordre/Stabilité/Explicite-Implicite} \newline - $ \begin{aligned} - &\text{Euler progressif} &&\text{1} &&\text{1} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\ - &\text{Euler rétrograde} &&\text{1} &&\text{1} &\text{Incond.} &&\text{Impl.} \\ - &\text{Point millieu} &&\text{2} &&\text{1} &\text{Instable} &&\text{Expl.} \\ - &\text{Crank-Nicolson} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Incond.} &&\text{Impl.} \\ - &\text{Heun} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\ - &\text{Euler modifiée} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\ - &\text{Runge-Kutta} &&\text{1} &&\text{4} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Systèmes d'équations} \newline - \underline{Problème :} \newline - $ \begin{aligned} - &\left \{ \begin{array}{l} - \vec{y}'(t) = A \cdot \vec{y}(t)) + \vec{b}(t) \\ - \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \\ - \end{array} \right . - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthodes :} \newline - $ \begin{aligned} - &\vec{u}_{n+1} = (I + h \cdot A) \cdot \vec{u}_n + h \cdot \vec{b}_n &\text{EP} \\ - &(I - h \cdot A) \cdot \vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{b}_n &\text{ER} \\ - &(I - \frac{h}{2} \cdot A) \cdot \vec{u}_{n+1} = (I + \frac{h}{2} \cdot A) \cdot \vec{u}_n + \frac{h}{2} \cdot (\vec{b}_n + \vec{b}_{n+1}) &\text{CN} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Stabilité :} \newline - $ \begin{aligned} - &\lambda_i(A) < 0 &&\forall i\\ - &h < 2/\rho(A) &&\text{pour EP, ER et CN incond. stables} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Système d'équations non linéaires} \newline - \underline{Problème :} \newline - $ \begin{aligned} - &\left \{ \begin{array}{l} - \vec{y}'(t) = \vec{F}(t,\vec{y}(t)) \\ - \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \\ - \end{array} \right . \\ - & J = \frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{y}} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Méthodes :} \newline - $ \begin{aligned} - &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{F}(t_n, \vec{u}_n) &\text{EP} \\ - &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{F}(t_{n+1}, \vec{u}_{n+1}) &\text{ER} \\ - &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + \frac{h}{2} \cdot [\vec{F}(t_n, \vec{u}_n) + \vec{F}(t_{n+1}, \vec{u}_{n+1})] &\text{CN} - \end{aligned} $ \newline - - \underline{Stabilité :} \newline - $ \begin{aligned} - &\lambda_i(J) < 0 &&\forall i\\ - &h < 2/\rho(J) &&\text{pour EP, ER et CN incond. stables} - \end{aligned} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\end{multicols} - -\end{document} \ No newline at end of file +\end{document} diff --git a/BA3 - Physique III/BA3 - Physique III.tex b/BA3 - Physique III/BA3 - Physique III.tex index e8521b5..cb90092 100644 --- a/BA3 - Physique III/BA3 - Physique III.tex +++ b/BA3 - Physique III/BA3 - Physique III.tex @@ -1,100 +1,114 @@ -\documentclass[a4paper,10pt]{article} -%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} -\input{../Common.tex} +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire de Physique III} \begin{document} -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } \hline +\textbf{Fluides} \newline + $ \dif\vec{F} = - P \cdot \dif\vec{\sigma} $ \newline + $ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \bullet \left( \rho \cdot \vec{v} \right) = 0 $ \hfill Éq. de continuité \newline + $ \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot z + P = const $ \hfill Éq. de Bernoulli \newline + $ - \nabla P + \rho \cdot \vec{g} + \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} = \rho \cdot \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \bullet \nabla \right) \vec{v} \right) $ \hfill Éq. d'Euler \newline + $ \dif \vec{x} \parallel \vec{v} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\dif x}{\dif y} = \frac{v_x}{v_y} $ \hfill Lignes de courant +& +\textbf{Fluides II} \newline + $ \Delta P = \frac{8 \cdot \eta \cdot L \cdot D}{\pi \cdot R^4} $ \hfill Loi de Poiseuille \newline + $ v \left( r \right) = \frac{\Delta P}{4 \cdot \eta \cdot L} \cdot \left( R^2 - r^2 \right) $ \hfill Profil de vitesse de Poiseuille \newline + $ \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \frac{S \cdot \left( \vec{v}_{sup} - \vec{v}_{inf} \right)}{d} $ \newline + $ \dif \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} \cdot \dif V $ \newline + $ \frac{\dif E}{\dif t} = -\Phi_{en} + \frac{\dif W}{\dif t} $ +\\\hline + \textbf{Équations de Maxwell} \newline - $ \nabla \bullet \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \hspace{15mm} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $ \newline - $ \nabla \bullet \vec{B} = 0 \hspace{17mm} \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \cdot \vec{j} + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $ \newline + $ \begin{array}{@{}l@{\qquad\qquad}l} \nabla \bullet \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} & \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} \\ \nabla \bullet \vec{B} = 0 & \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \cdot \vec{j} + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \end{array} $ & \textbf{Formes intégrales} \newline - $ \oiint_\Sigma \vec{E} \bullet \dif\vec{\sigma} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} \hspace{21mm} = \Phi_E $ \hfill Th. de Gauss \newline + $ \oiint_\Sigma \vec{E} \bullet \dif\vec{\sigma} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} = \Phi_E $ \hfill Th. de Gauss \newline $ \oint_\Gamma \vec{B} \bullet \dif\vec{l} = \mu_0 \cdot I + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\dif \Phi_E}{\dif t} \hspace{8mm} I_d = \varepsilon_0 \cdot \frac{\dif \Phi_E}{\dif t} $ \hfill Th. d'Ampère \newline - $ V = \oint_\Gamma \vec{E} \bullet \dif\vec{l} = - \frac{\dif \Phi_M}{\dif t} $ \hfill Induction \newline -\\ \hline + $ V = \oint_\Gamma \vec{E} \bullet \dif\vec{l} = - \frac{\dif \Phi_M}{\dif t} $ \hfill Induction +\\\hline -\end{tabularx} +\end{tabu} -\offinterlineskip +\nointerlineskip -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X| } \textbf{Électrostatique} \newline - $ \vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \left( \sum q_i \cdot \frac{\vec{r}-\vec{r_i}}{|\vec{r}-\vec{r_i}|^3} + \int_\Gamma \frac{\lambda(\vec{r}') \cdot (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma(\vec{r}') \cdot (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho(\vec{r}') \cdot (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \cdot \dif V \right) $ \newline - - $ V = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \left( \sum q_i \cdot \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_i}|} + \int_\Gamma \frac{\lambda(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \cdot \dif V \right) $ \newline -\\ \hline + $ \vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \sum q_i \cdot \frac{\vec{r}-\vec{r_i}}{\abs{\vec{r}-\vec{r_i}}^3} + \int_\Gamma \frac{\lambda \left( \vec{r}' \right) \cdot \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}^3} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma \left( \vec{r}' \right) \cdot \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}^3} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho \left( \vec{r}' \right) \cdot \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}^3} \cdot \dif V \right) $ \newline + + $ V = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \sum q_i \cdot \frac{1}{\abs{\vec{r}-\vec{r_i}}} + \int_\Gamma \frac{\lambda \left( \vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma \left( \vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho \left( \vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}} \cdot \dif V \right) $ +\\\hline \textbf{Magnétostatique} \newline - $ \vec{B} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4 \cdot \pi} \oint_\Gamma \frac{\vec{u}_t \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif l = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \iiint_V \frac{\vec{j}(\vec{x}') \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif^3 x' $ \hfill Loi de Biot-Savart \newline -\\ \hline + $ \vec{B} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4 \cdot \pi} \cdot \oint_\Gamma \frac{\vec{u}_t \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif l = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \cdot \iiint_V \frac{\vec{j} \left( \vec{x}' \right) \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif^3 x' $ \hfill Loi de Biot-Savart +\\\hline -\end{tabularx} +\end{tabu} -\offinterlineskip +\nointerlineskip -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } \textbf{Dipôle électrique} \newline $ \vec{p} = q \cdot \vec{r}_+ - q \cdot \vec{r}_- = q \cdot \vec{a} $ \newline $ \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{ext} $ \newline $ U_{\acute el} = - \vec{p} \bullet \vec{E}_{ext} $ \newline - $ E_r = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2 \cdot p \cdot \cos \theta}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $ \newline - $ E_\theta = - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{p \cdot \sin \theta}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $ \newline + $ E_r = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2 \cdot p \cdot \cos \left( \theta \right)}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $ \newline + $ E_\theta = - \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{p \cdot \sin \left( \theta \right)}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $ & \textbf{Dipôle magnétique} \newline $ \vec{M} = I \cdot \vec{S} $ \newline $ \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}_{ext} $ \newline - $ U_{mag} = - \vec{M} \bullet \vec{B}_{ext} $ \newline -\\ \hline + $ U_{mag} = - \vec{M} \bullet \vec{B}_{ext} $ +\\\hline \textbf{Polarisation} \newline $ \sigma_P = \vec{P} \bullet \vec{e}_n $ \newline - $ <\vec{E}> = \frac{E_{ext}}{\varepsilon_r} $ \newline - $ \vec{P} = n \cdot <\vec{p}> $ \newline + $ \vec{\left\langle E \right\rangle} = \frac{E_{ext}}{\varepsilon_r} $ \newline + $ \vec{P} = n \cdot \vec{\left\langle p \right\rangle} $ & \textbf{Aimantation} \newline - $ j_{lie} = \vec{M} \bullet \vec{e}_n $ \newline - $ <\vec{B}> = \mu_r \cdot B_{ext} $ \newline -\\ \hline + $ j_{li\acute e} = \vec{M} \bullet \vec{e}_n $ \newline + $ \vec{\left\langle B \right\rangle} = \mu_r \cdot B_{ext} $ +\\\hline \textbf{Champ électrique D} \newline $ \vec{D} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P} $ \newline $ \nabla \bullet \vec{D} = \rho_{libre} $ \newline - $ \vec{D} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_0 \cdot (1 + \chi) \cdot \vec{E} = \varepsilon \cdot \vec{E}$ \newline + $ \vec{D} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_0 \cdot \left( 1 + \chi \right) \cdot \vec{E} = \varepsilon \cdot \vec{E} $ & \textbf{Champ magnétisant H} \newline $ \vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \cdot \vec{B} - \vec{M} $ \newline $ \nabla \times \vec{H} = \vec{j}_{libre} $ \newline - $ \vec{B} = \mu_0 \cdot (\vec{H} + \vec{M}) = \mu_0 \cdot (1 + \chi) \cdot \vec{H} = \mu \cdot \vec{H}$ \newline -\\ \hline + $ \vec{B} = \mu_0 \cdot \left( \vec{H} + \vec{M} \right) = \mu_0 \cdot \left( 1 + \chi \right) \cdot \vec{H} = \mu \cdot \vec{H} $ +\\\hline \textbf{Conditions au bord} \newline $ E_{1t} = E_{2t} $ \newline - $ D_{1n} = D_{2n} \Rightarrow \varepsilon_{r1} \cdot E_{1n} = \varepsilon_{r2} \cdot E_{2n} $ \hfill Isolant-Isolant \newline - $ D_{1n} = \sigma_{libre} \Rightarrow E_{1n} = \frac{\sigma_{libre}}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{r1}} $ \hfill Isolant-Métal \newline + $ D_{1n} = D_{2n} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon_{r1} \cdot E_{1n} = \varepsilon_{r2} \cdot E_{2n} $ \hfill Isolant-Isolant \newline + $ D_{1n} = \sigma_{libre} \quad \Rightarrow \quad E_{1n} = \frac{\sigma_{libre}}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{r1}} $ \hfill Isolant-Métal & \textbf{Conditions au bord} \newline - $ H_{1t} = H_{2t} \Rightarrow \frac{B_{1t}}{\mu_{r1}} = \frac{B_{2t}}{\mu_{r2}} $ \newline - $ B_{1n} = B_{2n} $ \newline -\\ \hline + $ H_{1t} = H_{2t} \quad \Rightarrow \quad \frac{B_{1t}}{\mu_{r1}} = \frac{B_{2t}}{\mu_{r2}} $ \newline + $ B_{1n} = B_{2n} $ +\\\hline \textbf{Électrostatique} \newline - $ \vec{F} = q \cdot (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) $ \hfill Force de Lorentz \newline + $ \vec{F} = q \cdot \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right) $ \hfill Force de Lorentz \newline $ \vec{E} = - \nabla V $ \newline - $ V(\vec{r}) = V(\vec{r_0}) - \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}} \vec{E} \bullet \dif\vec{l} $ \newline - $ \nabla^2 V(\vec{r})= - \frac{\rho}{\varepsilon_0} $ \hfill Équation de Poisson \newline - $ W_{AB} = \int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B} q \cdot \vec{E} \cdot \dif \vec{l} = q \cdot V(\vec{r}_A) - q \cdot V(\vec{r}_B) $ \newline - $ U_E = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=1}^N \sum_{j=1,j \neq i}^N \frac{q_i \cdot q_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} $ \hfill Distribution discrète \newline - $ U_E = \frac{1}{2} \cdot \iiint_V \rho(\vec{r}) \cdot V(\vec{r}) \cdot \dif V $ \hfill Distribution continue \newline - $ \vec{j} = n \cdot q \cdot \vec{v} = \rho \cdot \vec{v} $ \hfill Densité de courant \newline - $ \vec{j} = \sigma \cdot \vec{E} $ \hfill $ \sigma $ conductivité \newline - $ \vec{E} = 0 \text{, } V = cte $ \hfill Dans un conducteur \newline + $ V \left( \vec{r} \right) = V \left( \vec{r_0} \right) - \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}} \vec{E} \bullet \dif\vec{l} $ \newline + $ \nabla^2 V \left( \vec{r} \right) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} $ \hfill Équation de Poisson \newline + $ W_{AB} = \int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B} q \cdot \vec{E} \cdot \dif \vec{l} = q \cdot V \left( \vec{r}_A \right) - q \cdot V \left( \vec{r}_B \right) $ \newline + $ U_E = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1, j \neq i}^N \frac{q_i \cdot q_j}{\abs{\vec{r}_i - \vec{r}_j}} $ \hfill Distribution discrète \newline + $ U_E = \frac{1}{2} \cdot \iiint_V \rho \left( \vec{r} \right) \cdot V \left( \vec{r} \right) \cdot \dif V $ \hfill Distribution continue \newline + $ \vec{j} = n \cdot q \cdot \vec{v} = \rho \cdot \vec{v} = \sigma \cdot \vec{E} $ \hfill Densité de courant, $ \sigma $ conductivité \newline + $ \vec{E} = 0 \comma V = \cte $ \hfill Dans un conducteur & \textbf{Magnétostatique} \newline $ r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B_0} $ \hfill Rayon de Larmor \newline @@ -102,226 +116,208 @@ $ \vec{F} = I \cdot \int_\Gamma \dif\vec{l} \times \vec{B} $ \hfill Force de Laplace \newline $ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 \cdot I_1 \cdot I_2}{2 \cdot \pi \cdot d} $ \hfill Force entre deux conducteurs \newline $ B = \mu_0 \cdot I \cdot n $ \hfill Champ dans une bobine \newline - $ \vec{B}(\vec{x}) = \frac{1}{c^2} \cdot \vec{v} \times \vec{E}(\vec{x}) $ \hfill Charge en mouvement \newline + $ \vec{B} \left( \vec{x} \right) = \frac{1}{c^2} \cdot \vec{v} \times \vec{E} \left( \vec{x} \right) $ \hfill Charge en mouvement \newline $ F_{\acute el} = \gamma \cdot F_{Lorentz} $ \hfill Effet relatif \newline - $ \nabla^2 \vec{A} = - \mu_0 \cdot \vec{j} $ \hfill Potentiel Vecteur \newline -\\ \hline + $ \nabla^2 \vec{A} = - \mu_0 \cdot \vec{j} $ \hfill Potentiel Vecteur +\\\hline \textbf{Condensateur} \newline $ Q = C \cdot \Delta V $ \newline $ U = \frac{1}{2} \cdot C \cdot V^2 = \frac{Q^2}{2 \cdot C} $ \newline $ V = \frac{1}{C} \cdot \int I \cdot \dif t $ \newline $ C = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d} $ \hfill Pour un condensateur plan \newline - $ C = 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{R_b \cdot R_a}{R_b - R_a} $ \hfill Pour un condensateur sphère \newline + $ C = 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{R_b \cdot R_a}{R_b - R_a} $ \hfill Pour un condensateur sphère & \textbf{Inductance} \newline $ \Phi_M = L \cdot I $ \newline $ U = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 $ \newline - $ V = L \cdot \frac{\dif I}{\dif t} $ \newline -\\ \hline + $ V = L \cdot \frac{\dif I}{\dif t} $ +\\\hline + +\end{tabu} + +\nointerlineskip + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| } +\hline \textbf{Ondes} \newline - $ \xi(x,t) = f(x - v \cdot t) + g(x + v \cdot t) $ \newline - $ \xi(x,t) = \xi_0 \cdot \sin(k \cdot x - \omega \cdot t) $ \newline + $ \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = v^2 \cdot \nabla^2 \xi $ \hfill Équation d'Alembert \newline + $ \xi \left( x, t \right) = f \left( x - v \cdot t \right) + g \left( x + v \cdot t \right) $ \newline + $ \xi \left( x, t \right) = \xi_0 \cdot \sin \left( k \cdot x - \omega \cdot t \right) $ \newline $ v = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot \nu $ \newline $ v_g = v + k \cdot \frac{\dif v}{\dif t} $ \newline - $ v_{tr} = - \omega \cdot \xi_0 \cdot \cos(k \cdot x - \omega \cdot t) $ \newline + $ v_{tr} = - \omega \cdot \xi_0 \cdot \cos \left( k \cdot x - \omega \cdot t \right) $ \newline $ k \cdot \lambda = 2 \cdot \pi $ \newline - $ \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = v^2 \cdot \nabla^2 \xi $ \hfill Équation d'Alembert \newline $ \nu' = \left( \frac{v - v_O}{v - v_S} \right) \cdot \nu $ \hfill Effet Doppler \newline $ \nu' = \left( \frac{\sqrt{1 - v_R/c}}{\sqrt{1 + v_R/c}} \right) \cdot \nu $ \hfill Effet Doppler (lumière) \newline $ I = \frac{P}{A} = \frac{1}{A} \cdot \frac{\dif W}{\dif t} \propto \xi^2 $ \newline - $ n = 10 \cdot \log_{10} \frac{I}{I_0} $ \newline + $ n = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) $ & \textbf{Électromagnétisme} \newline $ E = c \cdot B $ \newline $ c^2 = \frac{1}{\mu_0 \cdot \varepsilon_0} $ \newline $ I = S = c \cdot u_{EM} $ \newline - $ u_E = \frac{1}{2} \cdot \vec{E} \bullet \vec{D} = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot |\vec{E}|^2 $ \newline - $ u_M = \frac{1}{2} \cdot \vec{B} \bullet \vec{H} = \frac{1}{2 \cdot \mu_0} \cdot |\vec{B}|^2 $ \newline + $ u_E = \frac{1}{2} \cdot \vec{E} \bullet \vec{D} = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot \abs{\vec{E}}^2 $ \newline + $ u_M = \frac{1}{2} \cdot \vec{B} \bullet \vec{H} = \frac{1}{2 \cdot \mu_0} \cdot \abs{\vec{B}}^2 $ \newline $ u_E = u_M = \frac{1}{2} \cdot u_{EM} $ \newline $ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \cdot \vec{E} \times \vec{B} $ \newline $ \frac{\partial u_{EM}}{\partial t} + \nabla \bullet \vec{S} = 0 $ \hfill Théorème de Poynting \newline $ P = \frac{I}{c} $ \hfill Pression de radiation (absorbtion) \newline $ P = \frac{2 \cdot I}{c} $ \hfill Pression de radiation (réflexion) \newline - $ \vec{p} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} \times \vec{B} = \frac{\vec{S}}{c} $ \newline -\\ \hline - -\end{tabularx} - -\offinterlineskip - -\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } -\hline + $ \vec{p} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} \times \vec{B} = \frac{\vec{S}}{c} $ +\\\hline \textbf{Onde stationnaire} \newline - $ \xi = 2 \cdot \xi_0 \cdot \sin(k \cdot x) \cdot \cos(\omega \cdot t) $ \newline + $ \xi = 2 \cdot \xi_0 \cdot \sin \left( k \cdot x \right) \cdot \cos \left( \omega \cdot t \right) $ \newline $ L = m \cdot \frac{\lambda}{2} $ \hfill Corde fixée aux 2 ext. / Tuyeau ouvert \newline - $ L = (2 \cdot m + 1) \cdot \frac{\lambda}{4} $ \hfill Corde fixée à 1 ext. / Tuyeau fermé \newline + $ L = \left( 2 \cdot m + 1 \right) \cdot \frac{\lambda}{4} $ \hfill Corde fixée à 1 ext. / Tuyeau fermé \newline $ k \cdot x = m \cdot \pi $ \hfill Noeud ou Ventre \newline - $ k \cdot x = (m + \frac{1}{2}) \cdot \pi $ \hfill Ventre ou Noeud \newline + $ k \cdot x = \left( m + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi $ \hfill Ventre ou Noeud & \textbf{Interférences} \newline - $ \xi_0^2 = \xi_{01}^2 + \xi_{02}^2 + 2 \cdot \xi_{01} \cdot \xi_{02} \cdot \cos \delta $ \newline - $ \xi_0^2 = 4 \cdot \xi_{01}^2 \cdot \cos^2 \frac{\delta}{2} $ \hfill Même amplitude \newline - $ \xi(t) = \xi_0 \cdot \cos(\omega \cdot t - k\cdot r_1 + \delta/2) $ \hfill Même amplitude \newline - $ I = I_0 \cdot \cos^2 \frac{\delta}{2} $ \hfill Même amplitude \newline - $ \delta = k \cdot \Delta r = k \cdot a \cdot \sin \theta $ \newline + $ \xi_0^2 = \xi_{01}^2 + \xi_{02}^2 + 2 \cdot \xi_{01} \cdot \xi_{02} \cdot \cos \left( \delta \right) $ \newline + $ \xi_0^2 = 4 \cdot \xi_{01}^2 \cdot \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right) $ \hfill Même amplitude \newline + $ \xi \left( t \right) = \xi_0 \cdot \cos \left( \omega \cdot t - k \cdot r_1 + \delta/2 \right) $ \hfill Même amplitude \newline + $ I = I_0 \cdot \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right) $ \hfill Même amplitude \newline + $ \delta = k \cdot \Delta r = k \cdot a \cdot \sin \left( \theta \right) $ \newline $ \delta = 2 \cdot m \cdot \pi $ \hfill Max \newline - $ \delta = (2 \cdot m + 1) \cdot \pi $ \hfill Min \newline -\\ \hline + $ \delta = \left( 2 \cdot m + 1 \right) \cdot \pi $ \hfill Min +\\\hline \textbf{Diffraction} \newline - $ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin(\pi \cdot b \cdot \sin \theta / \lambda)}{\pi \cdot b \cdot \sin \theta / \lambda} \right)^2 $ \newline - $ b \cdot \sin \theta = \pm m \cdot \lambda \hspace{15mm} (m \neq 0) $ \hfill Zéro \newline - $ b \cdot \sin \theta = \pm (m + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \hspace{5mm} (m \neq 0) $ \hfill Max \newline + $ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin \left( \pi \cdot b \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right) \right)}{\pi \cdot b \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right)} \right)^2 $ \newline + $ b \cdot \sin \left( \theta \right) = \pm m \cdot \lambda \hspace{15mm} \left( m \neq 0 \right) $ \hfill Zéro \newline + $ b \cdot \sin \left( \theta \right) = \pm \left( m + \frac{1}{2} \right) \cdot \lambda \hspace{5mm} \left( m \neq 0 \right) $ \hfill Max \newline $ \theta \geqslant \frac{\lambda}{b} $ \hfill Critère de Rayleigh (fente) \newline $ \theta \geqslant 1.22 \cdot \frac{\lambda}{D} $ \hfill Critère de Rayleigh (ouv. circ.) \newline - $ 2 \cdot d \cdot \sin \theta = m \cdot \lambda $ \hfill Condition de Bragg \newline + $ 2 \cdot d \cdot \sin \left( \theta \right) = m \cdot \lambda $ \hfill Condition de Bragg & \textbf{Optique} \newline - $ n_i \cdot \sin \theta_i = n_r \cdot \sin \theta_r $ \hfill Loi de Snell-Descartes \newline - $ \sin \theta_i > \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Réflexion totale \newline + $ n_i \cdot \sin \left( \theta_i \right) = n_r \cdot \sin \left( \theta_r \right) $ \hfill Loi de Snell-Descartes \newline + $ \sin \left( \theta_i \right) > \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Réflexion totale \newline $ v = \frac{c}{n} $ \newline $ \lambda_n = \frac{\lambda}{n} $ \newline $ k_n = n \cdot k $ \newline - $ n = \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} \sim \sqrt{\varepsilon_r} $ \newline -\\ \hline + $ n = \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} \sim \sqrt{\varepsilon_r} $ +\\\hline \textbf{Polarisation} \newline - $ \tan(\theta) = \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Angle de Brewster \newline - Angle de Brewster \hfill $ \Rightarrow $ \hfill $ \pi $ 100\% transmis et 0\% réfléchi \newline - $ I = I_m \cdot \cos^2 \theta $ \hfill Loi de Malus \newline - \includegraphics[width=0.48\textwidth,keepaspectratio=true]{./Polarisation.png} \newline - Polarisation $ \sigma $ \hfill Polarisation $ \pi $ \newline + $ \tan \left( \theta \right) = \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Angle de Brewster \newline + Angle de Brewster \hfill $ \quad \Rightarrow \quad $ \hfill Polarisation $ \pi $ 100\% transmise et 0\% réfléchie \newline + $ I = I_m \cdot \cos^2 \left( \theta \right) $ \hfill Loi de Malus & \textbf{Interférences à N sources} \newline - $ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin(N \cdot \pi \cdot a \cdot \sin \theta / \lambda)}{\sin(\pi \cdot a \cdot \sin \theta / \lambda)} \right) $ \newline - $ a \cdot \sin \theta = m \cdot \lambda, \hspace{1em} I = N^2 \cdot I_0 $ \hfill Max \newline - $ a \cdot \sin \theta = \frac{m'}{N} \cdot \lambda, \hspace{1em} \frac{m'}{N} \neq m $ \hfill Min \newline -\\ \hline + $ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin \left( N \cdot \pi \cdot a \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right) \right)}{\sin \left( \pi \cdot a \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right) \right)} \right) $ \newline + $ a \cdot \sin \left( \theta \right) = m \cdot \lambda, \qquad I = N^2 \cdot I_0 $ \hfill Max \newline + $ a \cdot \sin \left( \theta \right) = \frac{m'}{N} \cdot \lambda, \qquad \frac{m'}{N} \neq m $ \hfill Min +\\\hline -\textbf{Fluides} \newline - $ \dif\vec{F} = - P \cdot \dif\vec{\sigma} $ \newline - $ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \bullet (\rho \cdot \vec{v}) = 0 $ \hfill Éq. de continuité \newline - $ \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot z + P = const $ \hfill Éq. de Bernoulli \newline - $ - \nabla P + \rho \cdot \vec{g} + \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} = \rho \cdot (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \bullet \nabla)\vec{v}) $ \hfill Éq. d'Euler \newline - $ \dif \vec{x} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \frac{\dif x}{\dif y} = \frac{v_x}{v_y} $ \hfill Lignes de courant \newline +\textbf{Polarisation $ \boldsymbol{\sigma} $ et polarisation $ \boldsymbol{\pi} $} \newline + \includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Polarisation.png} & -\textbf{Fluides II} \newline - $ \Delta P = \frac{8 \cdot \eta \cdot L \cdot D}{\pi \cdot R^4} $ \hfill Loi de Poiseuille \newline - $ v(r) = \frac{\Delta P}{4 \cdot \eta \cdot L} \cdot (R^2 - r^2) $ \hfill Profil de vitesse de Poiseuille \newline - $ \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \frac{S \cdot (\vec{v}_{sup} - \vec{v}_{inf})}{d} $ \newline - $ \dif \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} \cdot \dif V $ \newline - $ \frac{\dif E}{\dif t} = -\Phi_{en} + \frac{\dif W}{\dif t} $ \newline -\\ \hline - -\textbf{Opérateurs en coordonées cylindriques} \newline - $ \nabla U = - \begin{pmatrix} - \frac{\partial U}{\partial \rho} \\ - \frac{1}{\rho} \frac{\partial U}{\partial \phi} \\ - \frac{\partial U}{\partial z} \\ - \end{pmatrix} - $ \newline - - $ \nabla \bullet \vec{A} - = \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho A_\rho)}{\partial \rho} - + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} - + \frac{\partial A_z}{\partial z} - $ \newline - - $ \nabla \times \vec{A} = - \begin{pmatrix} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z} \\ - \frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho} \\ - \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho A_\phi)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\ - \end{pmatrix} - $ \newline - - $ \nabla^2 U - = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial U}{\partial \rho} \right) - + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} - + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} - = \frac{\partial^2 U}{\partial \rho^2} - + \frac{1}{\rho} \frac{\partial U}{\partial \rho} - + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} - + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} - $ \newline - - $ \vec{\nabla}^2 \vec{A} = - \begin{pmatrix} - \nabla^2 A_\rho - \frac{A_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \\ - \nabla^2 A_\phi - \frac{A_\phi}{\rho^2} + \frac{2}{\rho^2} \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\ - \nabla^2 A_z \\ - \end{pmatrix} - $ \newline -& -\textbf{Opérateurs en coordonées sphériques} \newline - $ \nabla U = - \begin{pmatrix} - \frac{\partial U}{\partial r} \\ - \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} \\ - \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial U}{\partial \phi} \\ - \end{pmatrix} - $ \newline - - $ \nabla \bullet \vec{A} - = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} - + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial (\sin \theta A_\theta)}{\partial \theta} - + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} - $ \newline - - $ \nabla \times \vec{A} = - \begin{pmatrix} - \frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial (\sin \theta A_\phi)}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right] \\ - \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r} \frac{\partial (r A_\phi)}{\partial r} \\ - \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial (r A_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right] \\ - \end{pmatrix} - $ \newline - - $ \nabla^2 U - = \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \sin \theta \frac{\partial U}{\partial r} \right) - + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial U}{\partial \theta} \right) - + \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial U}{\partial \phi} \right) \right] - $ \newline - $ \nabla^2 U - = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial U}{\partial r} \right) - + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial U}{\partial \theta} \right) - + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} - $ \newline - $ \nabla^2 U - = \frac{\partial^2 U}{\partial r^2} - + \frac{2}{r} \frac{\partial U}{\partial r} - + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} - + \frac{1}{r^2} \cot \theta \frac{\partial U}{\partial \theta} - + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} - $ \newline - - $ \vec{\nabla}^2 \vec{A} = - \begin{pmatrix} - \nabla^2 A_r - \frac{2}{r^2} \left( A_r + \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta A_\theta) + \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\ - \nabla^2 A_\theta + \frac{2}{r^2} \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{2 \sin^2 \theta} - \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\ - \nabla^2 A_\phi + \frac{2}{r^2 \sin \theta} \left( \frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \cot \theta \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} - \frac{A_\phi}{2 \sin \theta} \right) \\ - \end{pmatrix} - $ \newline -\\ \hline - \textbf{Théorèmes} \newline $ \iiint_V \nabla f \cdot \dif V = \oiint_\Sigma f \cdot \dif\vec{\sigma} $ \hfill Th. du Gradient \newline $ \iiint_V \nabla \bullet \vec{F} \cdot \dif V = \oiint_\Sigma \vec{F} \bullet \dif\vec{\sigma} $ \hfill Th. de la Divergence \newline - $ \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \bullet \dif\vec{\sigma} = \oint_\Gamma \vec{F} \bullet \dif\vec{l} $ \hfill Th. de Stokes \newline - + $ \iint_\Sigma \left( \nabla \times \vec{F} \right) \bullet \dif\vec{\sigma} = \oint_\Gamma \vec{F} \bullet \dif\vec{l} $ \hfill Th. de Stokes \newline $ \frac{\dif F}{\dif t} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\dif x}{\dif t} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\dif y}{\dif t} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\dif z}{\dif t} - = \frac{\partial F}{\partial t} + (\vec{v} \bullet \nabla) F $ \newline + = \frac{\partial F}{\partial t} + \left( \vec{v} \bullet \nabla \right) F $ +\\\hline + +\textbf{Opérateurs en coordonées cylindriques} \newline +\footnotesize{ + $ \nabla U = + \begin{pmatrix} + \frac{\partial U}{\partial \rho} \\ + \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \phi} \\ + \frac{\partial U}{\partial z} \\ + \end{pmatrix} + $ \newline + + $ \nabla \bullet \vec{A} + = \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial \left( \rho \nocdot A_\rho \right)}{\partial \rho} + + \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + + \frac{\partial A_z}{\partial z} + $ \newline + $ \nabla \times \vec{A} = + \begin{pmatrix} + \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z} \\ + \frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho} \\ + \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial \left( \rho \nocdot A_\phi \right)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\ + \end{pmatrix} + $ \newline + $ \nabla^2 U + = \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \nocdot \frac{\partial U}{\partial \rho} \right) + + \frac{1}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} + + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} + $ \newline + $ \hphantom{\nabla^2 U} + = \frac{\partial^2 U}{\partial \rho^2} + + \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \rho} + + \frac{1}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} + + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} + $ \newline + $ \vec{\nabla}^2 \vec{A} = + \begin{pmatrix} + \nabla^2 A_\rho - \frac{A_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \\ + \nabla^2 A_\phi - \frac{A_\phi}{\rho^2} + \frac{2}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\ + \nabla^2 A_z \\ + \end{pmatrix} + $ +} & -\textbf{} \newline -\\ \hline +\textbf{Opérateurs en coordonées sphériques} \newline +\footnotesize{ + $ \nabla U = + \begin{pmatrix} + \frac{\partial U}{\partial r} \\ + \frac{1}{r} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta} \\ + \frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \phi} \\ + \end{pmatrix} + $ \newline + $ \nabla \bullet \vec{A} + = \frac{1}{r^2} \nocdot \frac{\partial \left( r^2 \nocdot A_r \right)}{\partial r} + + \frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot A_\theta \right)}{\partial \theta} + + \frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + $ \newline + $ \nabla \times \vec{A} = + \begin{pmatrix} + \frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \left[ \frac{\partial \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot A_\phi \right)}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right] \\ + \frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r} \nocdot \frac{\partial \left( r \nocdot A_\phi \right)}{\partial r} \\ + \frac{1}{r} \nocdot \left[ \frac{\partial \left( r \nocdot A_\theta \right)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right] \\ + \end{pmatrix} + $ \newline + $ \nabla^2 U + = \frac{1}{r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \frac{\partial U}{\partial r} \right) + + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta} \right) + + \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \frac{1}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \phi} \right) \right] + $ \newline + $ \hphantom{\nabla^2 U} + = \frac{1}{r^2} \nocdot \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \nocdot \frac{\partial U}{\partial r} \right) + + \frac{1}{r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta} \right) + + \frac{1}{r^2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} + $ \newline + $ \hphantom{\nabla^2 U} + = \frac{\partial^2 U}{\partial r^2} + + \frac{2}{r} \nocdot \frac{\partial U}{\partial r} + + \frac{1}{r^2} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} + + \frac{1}{r^2} \nocdot \cot \theta \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta} + + \frac{1}{r^2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2} + $ \newline + $ \vec{\nabla}^2 \vec{A} = + \begin{pmatrix} + \nabla^2 A_r - \frac{2}{r^2} \nocdot \left( A_r + \frac{1}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot A_\theta \right) + \frac{1}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\ + \nabla^2 A_\theta + \frac{2}{r^2} \nocdot \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right)} - \frac{\cot \theta}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\ + \nabla^2 A_\phi + \frac{2}{r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \left( \frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \cot \theta \nocdot \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} - \frac{A_\phi}{2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \right) \\ + \end{pmatrix} + $ +} +\\\hline -\end{tabularx} +\end{tabu} -\end{document} \ No newline at end of file +\end{document} diff --git a/BA4 - Analyse IV/BA4 - Analyse IV.tex b/BA4 - Analyse IV/BA4 - Analyse IV.tex new file mode 100644 index 0000000..cdbd74b --- /dev/null +++ b/BA4 - Analyse IV/BA4 - Analyse IV.tex @@ -0,0 +1,174 @@ +\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl} + +\input{../Base.tex} + +\title{Formulaire d'Analyse IV} + +\begin{document} + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Quelques propriétés} \newline + $ \int_0^T \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = \int_0^T \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &\text{ si } n \neq m \\ T/2 &\text{ si } n = m \\ \end{array} \right. $ \newline + $ \int_0^T \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = 0 $ \newline + $ \int_a^{a+T} f \left( x \right) \cdot \dif x = \int_0^T f \left( x \right) \cdot \dif x $ \hspace{5em} $ f \left( x \right) \quad T \text{-périodique} $ +\\\hline + +\textbf{Série de Fourier d'une fonction $ \symbf{T} \text{-périodique} $} \newline + $ \symsf{F} f \left( x \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) + b_n \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \right] $ \newline + $ a_n = \frac{2}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x \hspace{5em} b_n = \frac{2}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x $ \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Dirichlet~: & si $ f $ et $ f' $ continues par morceaux, $ \symsf{F}f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( f \left( x_- \right) + f \left( x_+ \right) \right) $ \\ + Not. complexe~: & $ \symsf{F} f \left( x \right) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n \cdot \e^{\im \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x} \hspace{5em} c_n = \frac{1}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \e^{-\im \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x} \cdot \dif x \in \symbb{C} $ \\ + Id. de Parseval~: & $ \frac{2}{T} \cdot \int_0^T \left( f \left( x \right) \right)^2 \cdot \dif x = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n^2 + b_n^2 \right] $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m. \\ + Dérivée~: & $ \symsf{F} f' \left( x \right) = \sum_{n = 1}^\infty \left[ -a_n \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) + b_n \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \right] = \frac{1}{2} \left( f' \left( x_- \right) + f' \left( x_+ \right) \right) $ \hfill $ f $ c., $ f' $ et $ f'' $ c.p.m. \\ + Intégrale~: & $ \int_{x_0}^x f \left( t \right) \cdot \dif t = \int_{x_0}^x \frac{a_0}{2} \cdot \dif t + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n \cdot \int_{x_0}^x \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot t \right) \cdot \dif t + b_n \cdot \int_{x_0}^x \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot t \right) \cdot \dif t \right] $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m. + \end{tabu}} +\\\hline + +\textbf{Série de Fourier sur un intervalle $ \symbf{\left[ 0;L \right]} $} \newline + {\setlength{\tabcolsep}{10pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}lXl@{}} + $ \symsf{F_c} f \left( x \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cdot \cos \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) = f \left( x \right) $ & $ a_n = \frac{2}{L} \cdot \int_0^L f \left( x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) \cdot \dif x $ & $ f $ c., $ f' $ c.p.m. \\ + $ \symsf{F_s} f \left( x \right) = \sum_{n = 1}^\infty b_n \cdot \sin \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) = f \left( x \right) $ & $ b_n = \frac{2}{L} \cdot \int_0^L f \left( x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) \cdot \dif x $ & $ f $ c., $ f' $ c.p.m., $ f \left( 0 \right) = f \left( L \right) = 0 $ + \end{tabu}} +\\\hline + +\textbf{Transformée de Fourier} \newline + $ f: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} $ continue par morceaux et telle que $ \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{f \left( x \right)} \cdot \dif x < +\infty $ \newline + $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = \hat{f} \left( \alpha \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \e^{-\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif x \hspace{5em} \symcal{F}^{-1}f \left( \alpha \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \e^{\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif \alpha $ \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Réciprocité~: & $ \symcal{F}^{-1} \left( \symcal{F}f \right) \left( x \right) = \symcal{F}^{-1} \left( \hat{f} \right) \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( f \left( x_- \right) + f \left( x_+ \right) \right) $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m., $ f $ et $ \hat{f} $ intégrables sur $ \left[ -\infty;+\infty \right] $ \\ + Continuité~: & $ \hat{f}: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} $ est continue et $ \lim_{\alpha \rightarrow \pm\infty} \hat{f} \left( \alpha \right) = 0 $ \\ + Linéarité~: & $ \symcal{F} \left( a \cdot f + b \cdot g \right) = a \cdot \symcal{F}f + b \cdot \symcal{F}g $ \\ + Dérivée~: & $ \symcal{F} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( \alpha \right) = \left( \im \cdot \alpha \right)^k \cdot \symcal{F} \left( f \right) \left( \alpha \right) $ \\ + Décalage et \newline ch. d'échelle~: & $ g \left( x \right) = f \left( a \cdot \left( x + b \right) \right) \quad \Rightarrow \quad \symcal{F} \left( g \right) \left( \alpha \right) = \e^{\im \cdot \alpha \cdot b} \cdot \frac{1}{\abs{a}} \cdot \symcal{F} \left( f \right) \left( \frac{\alpha}{a} \right) \hspace{1em} a \in \symbb{R}^*, b \in \symbb{R} $ \\ + Identité de Plancherel~: & $ \int_{-\infty}^{+\infty} \left( f \left( x \right) \right)^2 \cdot \dif x = \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{\symcal{F}f \left( \alpha \right)}^2 \cdot \dif \alpha $ \\ + T. de F. en sinus/cosinus~: & $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \cos \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ f $ paire \\ + & $ \hphantom{\symcal{F}}f \left( x \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} \hat{f} \left( x \right) \cdot \cos \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif \alpha $ \hfill $ f $ paire \\ + & $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = -\im \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \sin \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ f $ impaire \\ + & $ \hphantom{\symcal{F}}f \left( x \right) = \hphantom{-}\im \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} \hat{f} \left( x \right) \cdot \sin \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif \alpha $ \hfill $ f $ impaire + \end{tabu}} +\\\hline + +\textbf{Produit de convolution} \newline + $ \left( f \ast g \right) \left( x \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x-t \right) \cdot g \left( t \right) \cdot \dif t $ \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Commutativité~: & $ \left( g \ast f \right) \left( x \right) = \left( f \ast g \right) \left( x \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} g \left( x-t \right) \cdot f \left( t \right) \cdot \dif t $ \\ + Associativité~: & $ \left( f \ast g \right) \ast h = f \ast \left( g \ast h \right) $ \\ + Distributivité~: & $ f \ast \left( g + h \right) = f \ast g + f \ast h $ \\ + T. de F.~: & $ \symcal{F} \left( f \ast g \right) \left( \alpha \right) = \sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \symcal{F}g \left( \alpha \right) $ \\ + Dérivée~: & $ \left( f \ast g \right) ' \left( x \right) = \left( f' \ast g \right) \left( x \right) = \left( f \ast g' \right) \left( x \right) $ + \end{tabu}} +\\\hline + +\end{tabu} + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Transformée de Laplace} \newline + $ f: \symbb{R}_+ \rightarrow \symbb{R} $ continue par morceaux et $ \gamma_0 $ tel que $ \int_{0}^{+\infty} \abs{f \left( t \right)} \cdot \e^{-\gamma_0 \cdot t} \cdot \dif t < +\infty $ \newline + $ \symcal{L}f \left( z \right) = F \left( z \right) = \int_{0}^{+\infty} f \left( t \right) \cdot \e^{-z \cdot t} \cdot \dif t \hspace{5em} \forall z \in \symbb{C} \tq \Re \left( z \right) \geq \gamma_0 $ \hspace{5em} ($ \gamma_0 $ abscisse de convergence) \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Linéarité~: & $ \symcal{L} \left( a \cdot f + b \cdot g \right) = a \cdot \symcal{L}f + b \cdot \symcal{L}g $ \\ + Décalage~: & $ a > 0 \comma g \left( t \right) = \left\{ \begin{array}{ll} f \left( t-a \right) &\text{ si } t \geq a \\ 0 &\text{ sinon }\\ \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}g \left( z \right) = \e^{-z \cdot a} \cdot \symcal{L}f \left( z \right) $ \\ + Ch. d'échelle~: & $ a > 0 \comma g \left( t \right) = f \left( a \cdot t \right) \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}g \left( z \right) = \frac{1}{a} \cdot \symcal{L}f \left( \frac{z}{a} \right) $ \\ + Holomorphie \hphantom{~:} & $ F = \symcal{L}f $ est holomorphe dans $ D = \left\{ z \in \symbb{C} : \Re \left( z \right) > \gamma_0 \right\} $ \\ + et dérivée~: & $ F' \left( z \right) = -\int_{0}^{+\infty} t \cdot f \left( t \right) \cdot \e^{-z \cdot t} \cdot \dif t = \symcal{L}h \left( z \right) $ où $ h \left( t \right) = -t \cdot f \left( t \right) $ \\ + Dérivée~: & $ \symcal{L} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( z \right) = z^k \cdot \symcal{L} \left( f \right) \left( z \right) - \sum_{j = 0}^{k-1} z^j \cdot f^{\left( k-1-j \right)} \left( 0 \right) $ \\ + & $ \hphantom{\symcal{L} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( z \right)} = z^k \cdot \symcal{L} \left( f \right) \left( z \right) - f^{\left( k-1 \right)} \left( 0 \right) - z \cdot f^{\left( k-2 \right)} \left( 0 \right) - \dots - z^{k-1} \cdot f \left( 0 \right) $ \\ + Intégrale~: & $ \varphi \left( t \right) = \int_0^t f \left( s \right) \cdot \dif s \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}\varphi \left( z \right) = \frac{1}{z} \cdot \symcal{L}f \left( z \right) $ \\ + Convolution~: & $ \left( f \ast g \right) \left( t \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( t-s \right) \cdot g \left( s \right) \cdot \dif s = \int_{0}^{t} f \left( t-s \right) \cdot g \left( s \right) \cdot \dif s \quad \Rightarrow \quad \symcal{L} \left( f \ast g \right) \left( z \right) = \symcal{L}f \left( z \right) \cdot \symcal{L}g \left( z \right) $ \\ + Inversion~: & Si $ f $ et $ f' $ c.p.m et si $ \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{F \left( \gamma + \im \cdot s \right)} \cdot \dif s < +\infty $ \\ + & $ \symcal{L}^{-1}f \left( t \right) = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} F \left( \gamma + \im \cdot s \right) \cdot \e^{\left( \gamma + \im \cdot s \right) \cdot t} \cdot \dif t = \frac{1}{2} \left( f \left( t_- \right) + f \left( t_+ \right) \right) $ \\ + & Si $ F \left( z \right) = \frac{p \left( z \right)}{q \left( z \right)} $ et $ \deg \left( q \right) \geq \deg \left( p \right) + 2 \comma \symcal{L}^{-1}f \left( t \right) = \sum_{R \acute e s_{z_k}} \left( F \left( z \right) \cdot \e^{z \cdot t} \right) $ + \end{tabu}} +\\\hline + +\textbf{Distribution tempérées} \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Espace de Schwartz~: & Espace vectoriel des fonctions $ \varphi \in C^\infty: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} \tq \forall n, m \in \symbb{N} \comma \lim_{x \rightarrow \pm\infty} x^m \cdot \varphi^{m} \left( x \right) = 0 $ \\ + Fonction CCL~: & Fonction $ f: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} \tq \exists n \in \symbb{N} \tq \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{f \left( x \right)}{x^n} = 0 $ \\ + Fonctionelle~: & Application linéaire $ T: \symcal{S} \rightarrow \symbb{C} $ définie par $ \left\langle T_f, \varphi \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right) \cdot \dif x \in \symcal{S}' $ \\ + Distribution tempérée~: & $ T_f^{\left( n \right)}: \symcal{S} \rightarrow \symbb{C} $ définie par $ \left\langle T^{\left( n \right)}_f, \varphi \right\rangle = \left( -1 \right)^n \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right)^{\left( n \right)} \cdot \dif x \in \symcal{S}' $ \\ + Linéarité~: & $ \left\langle a \cdot S + b \cdot T, \varphi \right\rangle = a \cdot \left\langle S, \varphi \right\rangle + b \cdot \left\langle T, \varphi \right\rangle $; $ \left\langle T_f, a \cdot \varphi_1 + b \cdot \varphi_2 \right\rangle = a \cdot \left\langle T_f, \varphi_1 \right\rangle + b \cdot \left\langle T_f, \varphi_2 \right\rangle $ \\ + Dérivée~: & $ \left\langle T^{\left( k \right)}, \varphi \right\rangle = \left( -1 \right)^k \cdot \left\langle T, \varphi^{\left( k \right)} \right\rangle $ \\ + T. de F.~: & $ \left\langle \symcal{F}T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \symcal{F}\varphi \right\rangle $ \\ + Réflexion~: & $ \left\langle T^{\vee}, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \varphi^{\vee} \right\rangle $ \\ + Translation~: & $ \left\langle \symcal{T}_a T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \symcal{T}_{-a} \varphi \right\rangle $ \\ + Changement d'échelle~: & $ \left\langle \symcal{S}_a T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \frac{1}{\abs{a}} \cdot \symcal{S}_{1/a} \varphi \right\rangle $ \\ + Mult. par C\textsuperscript{\infty}CL~: & $ \left\langle g \cdot T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, g \cdot \varphi \right\rangle $ \\ + Distribution $ \delta $~: & $ \delta_a: \symcal{S} \rightarrow \symbb{R} $ définie par $ \left\langle \delta_a, \varphi \right\rangle = \varphi \left( a \right) $ \hspace{5em} $ \symcal{F}\delta_a \left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \e^{-\im \cdot a \cdot x} $ \hspace{5em} $ \delta = \delta_0 $ \\ + Convolution~: & $ \left( f \ast \varphi \right) \left( x \right) = \left\langle f, \symcal{T}_{-x} \left( \varphi^{\vee} \right) \right\rangle $ \hfill $ \int_{-\infty}^{+\infty} \left( f \ast g \right) \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right) \cdot \dif x = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \left( g^{\vee} \ast \varphi \right) \left( x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ \delta \ast \varphi = \varphi $ \\ + & $ \left( T \ast \varphi \right) \left( x \right) = \left\langle T, \symcal{T}_{-x} \left( \varphi^{\vee} \right) \right\rangle $ \hfill $ \left\langle T_1 \ast T_2, \varphi \right\rangle = \left\langle T_1, T_2^{\vee} \ast \varphi \right\rangle $ \hfill $ T \ast \delta = T $ \\ + Cohérence~: & $ T_f^{\left( 1 \right)} = T_{f'} \comma \symcal{F}T_f = T_{\symcal{F}f} \comma T_f^{\vee} = T_{f^{\vee}} \comma \symcal{T}_a T_f = T_{\symcal{T}_a f} \comma \symcal{S}_a T_f = T_{\symcal{S}_a f} \comma g \cdot T_f = T_{g \cdot f} $ + \end{tabu}} + Les propriétés de la transformée de Fourier et du produit de convolution restent valables. + %TODO~: tableaux transformées de fourier de Distribution ? +\\\hline + +\end{tabu} + +\begin{tabu}to \textwidth{ |X| } +\hline + +\textbf{Équations différentielles} \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Problème de Cauchy~: & $ a_2 \cdot y'' \left( t \right) + a_1 \cdot y' \left( t \right) + a_0 \cdot y \left( t \right) = f \left( t \right) \comma t > 0 \comma y \left( 0 \right) = y_0 \comma y' \left( 0 \right) = y_1 $ \\ + Résolution~: & $ \symcal{L} \left( a_2 \cdot y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y \right) \left( z \right) = \symcal{L}f \left( z \right) \quad \Leftrightarrow \quad \dots \quad \Leftrightarrow \quad Y \left( z \right) = \frac{F \left( z \right) + a_2 \cdot y_0 \cdot z + a_1 \cdot y_0 + a_2 \cdot y_1}{a_2 \cdot z^2 + a_1 \cdot z + a_0} $ \hspace{5em} $ y \left( t \right) = \symcal{L}^{-1} \left( Y \right) \left( t \right) $ \\ + Cas particulier~: & $ y'' \left( t \right) + \lambda \cdot y \left( t \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \lambda = 0: y \left( t \right) = y_0 + y_1 \cdot t \\ + \lambda < 0: y \left( t \right) = y_0 \cdot \cosh \left( \sqrt{-\lambda} \cdot t \right) + \frac{y_1}{\sqrt{-\lambda}} \cdot \sinh \left( \sqrt{-\lambda} \cdot t \right) \\ + \lambda > 0: y \left( t \right) = y_0 \cdot \cos \left( \sqrt{\lambda} \cdot t \right) + \frac{y_1}{\sqrt{\lambda}} \cdot \sin \left( \sqrt{\lambda} \cdot t \right) \end{array} \right. $ \\ + Sturm-Liouville~: & $ y'' \left( t \right) + \lambda \cdot y \left( t \right) = 0 \comma t \in \left] 0;L \right[ \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{ll} \text{Si } y \left( 0 \right) = y \left( L \right) = 0 \comma & \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \comma y \left( t \right) = \alpha_n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \comma n \in \symbb{N} \\ + \text{Si } y' \left( 0 \right) = y' \left( L \right) = 0 \text{, }& \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \text{, } y \left( t \right) = \beta_n \cdot \cos \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \text{, } n \in \symbb{N} \end{array} \right. $ + \end{tabu}} + Équations sur $ \symbb{R}_+ $~: utiliser la transformée de Laplace. \newline + Équations sur $ \symbb{R} $~: utiliser la transformée de Fourier. \newline + Équations périodiques~: utiliser les séries de Fourier. +\\\hline + +\textbf{Équations aux dérivées partielles} \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Dans $ \symbb{R} $~: & On fixe une variable et on prend la transformée de Fourier en l'autre. On utilise les propriétés de la transformée pour obtenir une EDO en la variable fixée. On résout cette EDO et finalement, on prend la transformée inverse. \\ + Dans un intervalle~: & On sépare les variables. On obtient deux EDO qu'on résout pour obtenir une solution. On superpose ces solutions puis on impose les conditions initiales pour obtenir la solution.\\ + Dans un rectangle~: & Même démarche que pour un intervalle, mais faite deux fois (une fois dans chaque direction). + \end{tabu}} +\\\hline + +\textbf{Équations différentielles avec des distributions} \newline + {\setlength{\tabcolsep}{2pt} + \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}} + Solution fondamentale~: & $ y $ est solution de $ a_2 \cdot y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f \quad \Leftrightarrow \quad y = G \ast f \quad $ avec $ \quad G \quad $ solution de $ \quad a_2 \cdot G'' + a_1 \cdot G' + a_0 \cdot G = \delta $ + \end{tabu}} +\\\hline + +\textbf{Équation de la chaleur dans $ \symbf{\symbb{R}} $} \newline + $ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, t \right) = a^2 \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} u \left( x, t \right) \quad &\forall x \in \symbb{R} \text{, } t > 0 \\ u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \quad &\forall x \in \symbb{R} \end{array} \right. $ \newline + $ \symcal{F} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \left( \alpha, t \right) = a^2 \cdot \symcal{F} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right) \left( \alpha, t \right) $ avec $ \symcal{F}u \left( \alpha, 0 \right) = \symcal{F}f \left( \alpha \right) $ \hspace{5em} On pose $ \symcal{F}u \left( \alpha, t \right) = v \left( \alpha, t \right) $ . \newline + $ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} v \left( \alpha, t \right) = -a^2 \cdot \alpha^2 \cdot v \left( \alpha, t \right) \\ v \left( \alpha, 0 \right) = \symcal{F}f \left( \alpha \right) \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad v \left( \alpha, t \right) = v \left( \alpha, 0 \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} = \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} $ \newline + $ u \left( x, t \right) = \symcal{F}^{-1}v \left( x, t \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} \cdot \e^{\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif \alpha $ +\\\hline + +\textbf{Équation des ondes sur un intervalle} \newline + $ \frac{\partial^2}{\partial t^2} u \left( x, t \right) = c^2 \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} u \left( x, t \right) \quad x \in \left] 0;L \right[ \text{, } t > 0 \quad \text{ avec } \quad u \left( 0, t \right) = u \left( L, t \right) = 0 \text{, } u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \text{, } \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, 0 \right) = g \left( x \right) $ \newline + $ u \left( x, t \right) = v \left( x \right) \cdot w \left( t \right) \quad \Leftrightarrow \quad v \left( x \right) \cdot w'' \left( t \right) = c^2 \cdot v'' \left( x \right) \cdot w \left( t \right) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{c^2} \cdot \frac{w'' \left( t \right)}{w \left( t \right)} = \frac{v'' \left( x \right)}{v \left( x \right)} = -\lambda $ \newline + $ \left\{ \begin{array}{lll} v'' \left( x \right) + \lambda \cdot v \left( x \right) = 0 &x \in \left[ 0;L \right] \text{, } v \left( 0 \right) = v \left( L \right) = 0 &\text{Sturm-Liouville} \\ w'' \left( t \right) + \lambda \cdot c^2 \cdot w \left( t \right) = 0 &t > 0 &\text{Problème de Cauchy} \end{array} \right. $ \newline + $ \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \qquad v_n \left( x \right) = \alpha_n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \qquad w_n \left( t \right) = a_n \cdot \cos \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) + b_n \cdot \sin \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) $ \newline + $ u_n \left( x, t \right) = v_n \left( x \right) \cdot w_n \left( t \right) = \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \cdot \left[ A_n \cdot \cos \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) + B_n \cdot \sin \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \right] \qquad u \left( x, t \right) = \sum_{n = 1}^\infty u_n \left( x, t \right) $ \newline + $ u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \quad \text{ et } \quad \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, 0 \right) = g \left( x \right) \quad \text{ donnent } \quad A_n \quad \text{ et } \quad B_n $ +\\\hline + +%TODO copier crayon ? +%TODO arctan style +\end{tabu} + +\end{document} diff --git a/Base.tex b/Base.tex new file mode 100644 index 0000000..79f99c1 --- /dev/null +++ b/Base.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% Base packages +\usepackage{fontspec} +\usepackage{lmodern} + +% Math packages +\usepackage{mathtools} +\usepackage[bold-style=ISO]{unicode-math} +\usepackage{siunitx} + +% Tables +\usepackage{tabu} + +% Include PDFs +\usepackage[space]{grffile} +\usepackage{pdfpages} + +% Multiple columns on one page +\usepackage{multicol} + +% Customise enumerations/lists +\usepackage{enumitem} + +% Draw electrical circuits +% \usepackage[european, siunitx, betterproportions]{circuitikz} + +% Modify margins +\usepackage[top=24pt, bottom=24pt, left=12pt, right=12pt, headsep=3pt, headheight=12pt, footskip=11pt]{geometry} + +% Custom headers +\usepackage{scrlayer-scrpage} + +% \usepackage{background} +% \SetBgScale{1} +% \SetBgAngle{0} +% \SetBgColor{blue!30} +% \SetBgContents{\tikz{\draw[step=1pt, gray, line width=0.05pt] (0, 0) grid (\paperwidth, \paperheight);}} + +\author{Nathanaël Restori} +\date{\today} + +\makeatletter +\ihead{} +\chead{\textbf{\@title}} +\ohead{} +\ifoot{} +\cfoot{Par \@author~---~\texttt{nathanael.restori@epfl.ch}} +\ofoot{} +\makeatother + +\setmainfont{XITS} +\setmathfont{XITS Math} + +\renewcommand{\bullet}{\circ} +\newcommand{\nocdot}{ } +\newcommand{\dif}{\symrm{d}} +\newcommand{\e}{\mathrm{e}} +\newcommand{\im}{\mathrm{i}} +\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} +\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} +\newcommand{\comma}{, \quad} +\newcommand{\cte}{\mathrm{cte}} +\newcommand{\tq}{\quad \text{ t.q. } \quad} +% t.q. si ? + +\belowtabulinesep=0.15em + +\setlength{\parindent}{0pt} +\setlength{\parskip}{0pt} +\setlength{\columnsep}{0pt} +% \setlength{\delimitershortfall}{-1.0pt} + +\renewcommand{\baselinestretch}{1.3} +\renewcommand{\delimiterfactor}{1200} + +\everymath{\displaystyle} + +% \let\oldcdot\cdot +% \let\oldbullet\bullet +% \let\oldvec\vec +% \let\olddot\dot +% \let\oldddot\ddot + +% \renewcommand{\vec}{\symbf} +% \renewcommand{\dot}[1]{\frac{\dif #1}{\dif t}} +% \renewcommand{\ddot}[1]{\frac{\symrm{d^2}#1}{\dif t^2}} +% \renewcommand{\frac}[2]{#1 / #2} + +% \textbf{Configurabilité} \newline +% $ a \oldcdot b $ ou $ a b $ \newline +% $ \frac{a}{b} $ ou $ a/b $ \newline +% $ \vec{a} \oldbullet \vec{b} $ ou $ \vec{a} \circ \vec{b} $ \newline +% $ \oldvec{a} $ ou $ \overrightarrow{a} $ ou $ \symbf{a} $ ou $ \oldvec{\symbf{a}} $ \newline +% $ \dot{x} $ ou $ \frac{\dif x}{\dif t} $ \newline +% $ \ddot{x} $ ou $ \frac{\symrm{d^2}x}{\dif t^2} $ \newline diff --git a/Common.tex b/Common.tex deleted file mode 100644 index 2de6ce8..0000000 --- a/Common.tex +++ /dev/null @@ -1,43 +0,0 @@ -\usepackage{xltxtra} -\usepackage{pbox} -\usepackage{mathtools} -\usepackage{amssymb} -\usepackage{tabularx} -\usepackage{siunitx} -\usepackage{unicode-math} -\usepackage[space]{grffile} -\usepackage{pdfpages} -\usepackage{multicol} -\usepackage[european,siunitx,betterproportions]{circuitikz} -\usepackage[top=13pt, bottom=12pt, left=13pt, right=12pt]{geometry} - -% \setromanfont[Mapping=tex-text]{Linux Libertine O} -% \setsansfont[Mapping=tex-text]{DejaVu Sans} -% \setmonofont[Mapping=tex-text]{DejaVu Sans Mono} - -\title{} -\author{} -\date{} - -\let\oldcdot\cdot -\let\oldbullet\bullet -\let\oldvec\vec -\let\olddot\dot -\let\oldddot\ddot - -% \renewcommand{\cdot}{ } -\renewcommand{\bullet}{\circ} -% \renewcommand{\vec}{\mathbf} -% \renewcommand{\dot}[1]{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}t}} -% \renewcommand{\ddot}[1]{\frac{\mathrm{d^2}#1}{\mathrm{d}t^2}} -% \renewcommand{\frac}[2]{#1 / #2} -\newcommand{\cdotbis}{ } -\newcommand{\dif}{\mathrm{d}} - -\newcommand{\ul}{\underline} - -\setlength{\parindent}{0pt} -\setlength{\parskip}{0pt} -\setlength{\columnsep}{0pt} - -% \everymath{\displaystyle} \ No newline at end of file diff --git a/Draft.tex b/Draft.tex index 44f9cf7..0d36a90 100644 --- a/Draft.tex +++ b/Draft.tex @@ -1,4 +1,4 @@ \usepackage{draftwatermark} \SetWatermarkText{\textsc{Draft}} \SetWatermarkScale{1} -\SetWatermarkColor[gray]{0.9} \ No newline at end of file +\SetWatermarkColor[gray]{0.9} diff --git a/Rules.py b/Rules.py new file mode 100755 index 0000000..5f3a6ea --- /dev/null +++ b/Rules.py @@ -0,0 +1,211 @@ +#!/usr/bin/env python3 + +# MIT License +# +# Copyright (c) 2016 Nathanaël Restori +# +# Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy +# of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal +# in the Software without restriction, including without limitation the rights +# to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell +# copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is +# furnished to do so, subject to the following conditions: +# +# The above copyright notice and this permission notice shall be included in all +# copies or substantial portions of the Software. +# +# THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR +# IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, +# FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE +# AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER +# LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, +# OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE +# SOFTWARE. + +import argparse +import re + +parser = argparse.ArgumentParser() +parser.add_argument('infile', nargs='+', type=argparse.FileType('r')) +args = parser.parse_args() + +#TODO: list forbidden characters (|) +# \\\!|\\\;|\\\:|\\\, +# hphantom ?, hspace ? +# e^ +# cte, text{, }, t.q. + +rules_bef = [ + # Add space before and after $ unless at the beginning or the end of a line, after a { or a ( and before a } or a ) + {'symbol': r'(?': ' ' }, + {'symbol': r'(?<=\( |{ )\$', '-<': r' ', }, + {'symbol': r'\$(?= \)| })', '->': r' ', }, + # No space after \text + {'symbol': r'\\text', '->': r' ' }, + ] + +rules_math = [ + # Add space around + {'symbol': r'=', '+<': ' ', '+>': ' ', }, + {'symbol': r'\\cdot', '+<': ' ', '+>': ' ', }, + {'symbol': r'\\quad', '+<': ' ', '+>': ' ', }, + {'symbol': r'\\leftrightarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', }, + {'symbol': r'\\Leftrightarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', }, + {'symbol': r'\\Leftarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', }, + {'symbol': r'\\Rightarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', }, + # Standard functions + {'symbol': '(arc)?sinh?', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r'h? ?(?:\^(?:{.*}|.))? \\left',}, + {'symbol': '(arc)?cosh?', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r'h? ?(?:\^(?:{.*}|.))? \\left',}, + {'symbol': '(arc)?tanh?', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r'h? ?(?:\^(?:{.*}|.))? \\left',}, + {'symbol': '(?': ' ', }, + {'symbol': '(?': ' ', }, + {'symbol': 'ln', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r' ?(?:_(?:{.*}|.))? \\left| \\abs',}, + {'symbol': 'log', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r' ?(?:_(?:{.*}|.))? \\left| \\abs',}, + {'symbol': 'lim(?!its)', '+<': '\\', '+>': ' ', }, + # \left or \right before delimiter and space after + {'symbol': r'\(', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\[', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\\{', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\\langle', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\)', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\]', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\\}', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\\rangle', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'\\\|', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + {'symbol': r'(?': ' ', 'w!<': r'\\left|right', }, + # Space before \left or \right but not after + {'symbol': r'\\left', '+<': ' ', '->': r' ', }, + {'symbol': r'\\right', '+<': ' ', '->': r' ', }, + # No space before ^, _ and ! + {'symbol': r'\^', '-<': r' ', }, + {'symbol': r'_', '-<': r' ', }, + {'symbol': r'!', '-<': r' ', }, + # No space after { and before } (but keep after \{ and after \} + {'symbol': r'(?': r' ', }, + {'symbol': r'(?': r' ', }, + ] + +rules_end = [ + # Correct spacing around punctuation. + {'symbol': r',', '+>': ' ', '-<': r' ', }, + {'symbol': r';', '-<': r' ', }, # Do not add space, cause problems in [a;b] + # Remove trailing whitespaces + {'symbol': r'$', '-<': r'[ \t]*', }, + ] + +# {} after ^ and _ ? +# \text{, } vs something else ? +# Ensure no cdot after partial frac ( frac{\partial U}{\partial \phi} \cdot) + +def apply_rules(text, rules): + for s in rules: + if s.get('+<'): + regex = r'(?:' + re.escape(s.get('+<')) + r')?(' + s.get('symbol') + r')' + subst = s.get('+<').replace('\\', '\\\\') + r'\1' + text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) + + if s.get('+>'): + regex = r'(' + s.get('symbol') + r')(?:' + re.escape(s.get('+>')) + r')?' + subst = r'\1' + s.get('+>').replace('\\', '\\\\') + text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) + + if s.get('-<'): + regex = r'(?:' + s.get('-<') + r')(' + s.get('symbol') + r')' + subst = r'\1' + text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) + + if s.get('->'): + regex = r'(' + s.get('symbol') + r')(?:' + s.get('->') + r')' + subst = r'\1' + text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) + + if s.get('w!<'): + regex = r'(?'): + regex = r'(' + s.get('symbol') + r')(?!' + s.get('w!>') + r')' + # use findall + result = re.search(regex, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) + if result: + print("In file " + file_current.name + ": missing " + s.get('w!>') + " after " + s.get('symbol') + " (regex: " + regex + ")") + # Print what's around match + print(text) + print(text[result.start()-250:result.end()+250]) + print(text[result.start():result.end()]) + print(text[result.start()-1:result.end()+1]) + print(text[result.start()-10:result.end()+10]) + + return text + +for file_current in args.infile: + file_content = file_current.read() + file_original = file_content + + #TODO: add other cases (\$ for example) + ## Check for $ in comments (we will have troubles if a comment contain an odd number of $) + #if re.search(r'%.*\$', file_content, flags=re.MULTILINE | re.UNICODE): + #print("Warning, file " + file_current.name + " contain $ in comments, ignoring file") + #continue + + file_content = apply_rules(file_content, rules_bef) + + splited = re.split(r'(\$.*?\$)', file_content, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) # Split file content in math parts and normal parts + + for i in range(1, len(splited), 2): + splited_b = re.split(r'(\\text{.*?})', splited[i], flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) # Split file content in math parts and normal parts + for j in range(0, len(splited_b), 2): + splited_b[j] = apply_rules(splited_b[j], rules_math) + splited[i] = ''.join(splited_b) + + for i in range(0, len(splited), 2): + splited[i] = apply_rules(splited[i], rules_text) + + file_content = ''.join(splited) + + file_content = apply_rules(file_content, rules_end) + + file_content = re.sub(r'\\left\\\| (.*?) \\right\\\|', r'\\norm{\1}', file_content, flags=re.MULTILINE) + file_content = re.sub(r'\\left\| (.*?) \\right\|', r'\\abs{\1}', file_content, flags=re.MULTILINE) + file_content = re.sub(r'\\left< (.*?) \\right>', r'\\left\\langle \1 \\right\\rangle}', file_content, flags=re.MULTILINE) + + file_content = re.sub(r'\.\.\.', r'\\dots', file_content, flags=re.MULTILINE) + + file_content = re.sub(r' \\newline\n&', r'\n&', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell + file_content = re.sub(r' \\\\\n&', r'\n&', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell + file_content = re.sub(r' \\newline\n\\\\', r'\n\\\\', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell + file_content = re.sub(r' \\\\\n\\\\', r'\n\\\\', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell + file_content = re.sub(r' \\\\\n( *)\\end\{tabu\}', r'\n\1\\end{tabu}', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell + + file_content = re.sub(r'\\\\ +\\hline', r'\\\\\\hline', file_content, flags=re.MULTILINE) # Remove spaces between \\ and \hline + + file_content = apply_rules(file_content, rules_end) + + # Save only if needed + if file_original == file_content: + print("File untouched: " + file_current.name) + else: + print("File modified: " + file_current.name) + with open(file_current.name, "w") as f: + f.seek(0) + f.truncate() + f.write(file_content) +