\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl}

\input{../Base.tex}

\title{Formulaire d'Analyse IV}

\begin{document}

\begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
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\textbf{Quelques propriétés} \newline
  $ \int_0^T \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = \int_0^T \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &\text{ si } n \neq m \\ T/2 &\text{ si } n = m \\ \end{array} \right. $ \newline
  $ \int_0^T \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = 0 $ \newline
  $ \int_a^{a+T} f \left( x \right) \cdot \dif x  = \int_0^T f \left( x \right) \cdot \dif x $ \hspace{5em} $ f \left( x \right) \quad T \text{-périodique} $
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\textbf{Série de Fourier d'une fonction $ \symbf{T} \text{-périodique} $} \newline
  $ \symsf{F} f \left( x \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) + b_n \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \right] $ \newline
  $ a_n = \frac{2}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x \hspace{5em} b_n = \frac{2}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x $ \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Dirichlet~: & si $ f $ et $ f' $ continues par morceaux, $ \symsf{F}f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( f \left( x_- \right) + f \left( x_+ \right) \right) $ \\
    Not. complexe~: & $ \symsf{F} f \left( x \right) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n \cdot \e^{\im \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x} \hspace{5em} c_n = \frac{1}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \e^{-\im \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x} \cdot \dif x \in \symbb{C} $ \\
    Id. de Parseval~: & $ \frac{2}{T} \cdot \int_0^T \left( f \left( x \right) \right)^2 \cdot \dif x = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n^2 + b_n^2 \right] $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m. \\
    Dérivée~: & $ \symsf{F} f' \left( x \right) = \sum_{n = 1}^\infty \left[ -a_n \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) + b_n \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \right] = \frac{1}{2} \left( f' \left( x_- \right) + f' \left( x_+ \right) \right) $ \hfill $ f $ c., $ f' $ et $ f'' $ c.p.m. \\
    Intégrale~: & $ \int_{x_0}^x f \left( t \right) \cdot \dif t = \int_{x_0}^x \frac{a_0}{2} \cdot \dif t + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n \cdot \int_{x_0}^x \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot t \right) \cdot \dif t + b_n \cdot \int_{x_0}^x \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot t \right) \cdot \dif t \right] $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m.
  \end{tabu}}
\\\hline

\textbf{Série de Fourier sur un intervalle $ \symbf{\left[ 0;L \right]} $} \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{10pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}lXl@{}}
    $ \symsf{F_c} f \left( x \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cdot \cos \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) = f \left( x \right) $ & $ a_n = \frac{2}{L} \cdot \int_0^L f \left( x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) \cdot \dif x $ & $ f $ c., $ f' $ c.p.m. \\
    $ \symsf{F_s} f \left( x \right) = \sum_{n = 1}^\infty b_n \cdot \sin \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) = f \left( x \right) $ & $ b_n = \frac{2}{L} \cdot \int_0^L f \left( x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) \cdot \dif x $ & $ f $ c., $ f' $ c.p.m., $ f \left( 0 \right) = f \left( L \right) = 0 $
  \end{tabu}}
\\\hline

\textbf{Transformée de Fourier} \newline
  $ f: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} $ continue par morceaux et telle que $ \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{f \left( x \right)} \cdot \dif x < +\infty $ \newline
  $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = \hat{f} \left( \alpha \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \e^{-\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif x \hspace{5em} \symcal{F}^{-1}f \left( \alpha \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \e^{\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif \alpha $ \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Réciprocité~: & $ \symcal{F}^{-1} \left( \symcal{F}f \right) \left( x \right) = \symcal{F}^{-1} \left( \hat{f} \right) \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( f \left( x_- \right) + f \left( x_+ \right) \right) $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m., $ f $ et $ \hat{f} $ intégrables sur $ \left[ -\infty;+\infty \right] $ \\
    Continuité~: & $ \hat{f}: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} $ est continue et $ \lim_{\alpha \rightarrow \pm\infty} \hat{f} \left( \alpha \right) = 0 $ \\
    Linéarité~: & $ \symcal{F} \left( a \cdot f + b \cdot g \right) = a \cdot \symcal{F}f + b \cdot \symcal{F}g $ \\
    Dérivée~: & $ \symcal{F} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( \alpha \right) = \left( \im \cdot \alpha \right)^k \cdot \symcal{F} \left( f \right) \left( \alpha \right) $ \\
    Décalage et \newline ch. d'échelle~: & $ g \left( x \right) = f \left( a \cdot \left( x + b \right) \right) \quad \Rightarrow \quad \symcal{F} \left( g \right) \left( \alpha \right) = \e^{\im \cdot \alpha \cdot b} \cdot \frac{1}{\abs{a}} \cdot \symcal{F} \left( f \right) \left( \frac{\alpha}{a} \right) \hspace{1em} a \in \symbb{R}^*, b \in \symbb{R} $ \\
    Identité de Plancherel~: & $ \int_{-\infty}^{+\infty} \left( f \left( x \right) \right)^2 \cdot \dif x = \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{\symcal{F}f \left( \alpha \right)}^2 \cdot \dif \alpha $ \\
    T. de F. en sinus/cosinus~: & $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \cos \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ f $ paire \\
    & $ \hphantom{\symcal{F}}f \left( x \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} \hat{f} \left( x \right) \cdot \cos \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif \alpha $ \hfill $ f $ paire \\
    & $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = -\im \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \sin \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ f $ impaire \\
    & $ \hphantom{\symcal{F}}f \left( x \right) = \hphantom{-}\im \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} \hat{f} \left( x \right) \cdot \sin \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif \alpha $ \hfill $ f $ impaire
  \end{tabu}}
\\\hline

\textbf{Produit de convolution} \newline
  $ \left( f \ast g \right) \left( x \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x-t \right) \cdot g \left( t \right) \cdot \dif t $ \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Commutativité~: & $ \left( g \ast f \right) \left( x \right) = \left( f \ast g \right) \left( x \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} g \left( x-t \right) \cdot f \left( t \right) \cdot \dif t $ \\
    Associativité~: & $ \left( f \ast g \right) \ast h = f \ast \left( g \ast h \right) $ \\
    Distributivité~: & $ f \ast \left( g + h \right) = f \ast g + f \ast h $ \\
    T. de F.~: & $ \symcal{F} \left( f \ast g \right) \left( \alpha \right) = \sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \symcal{F}g \left( \alpha \right) $ \\
    Dérivée~: & $ \left( f \ast g \right) ' \left( x \right) = \left( f' \ast g \right) \left( x \right) = \left( f \ast g' \right) \left( x \right) $
  \end{tabu}}
\\\hline

\end{tabu}

\begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
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\textbf{Transformée de Laplace} \newline
  $ f: \symbb{R}_+ \rightarrow \symbb{R} $ continue par morceaux et $ \gamma_0 $ tel que $ \int_{0}^{+\infty} \abs{f \left( t \right)} \cdot \e^{-\gamma_0 \cdot t} \cdot \dif t < +\infty $ \newline
  $ \symcal{L}f \left( z \right) = F \left( z \right) = \int_{0}^{+\infty} f \left( t \right) \cdot \e^{-z \cdot t} \cdot \dif t \hspace{5em} \forall z \in \symbb{C} \tq \Re \left( z \right) \geq \gamma_0 $ \hspace{5em} ($ \gamma_0 $ abscisse de convergence) \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Linéarité~: & $ \symcal{L} \left( a \cdot f + b \cdot g \right) = a \cdot \symcal{L}f + b \cdot \symcal{L}g $ \\
    Décalage~: & $ a > 0 \comma g \left( t \right) = \left\{ \begin{array}{ll} f \left( t-a \right) &\text{ si } t \geq a \\ 0 &\text{ sinon }\\ \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}g \left( z \right) = \e^{-z \cdot a} \cdot \symcal{L}f \left( z \right) $ \\
    Ch. d'échelle~: & $ a > 0 \comma g \left( t \right) = f \left( a \cdot t \right) \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}g \left( z \right) = \frac{1}{a} \cdot \symcal{L}f \left( \frac{z}{a} \right) $ \\
    Holomorphie \hphantom{~:} & $ F = \symcal{L}f $ est holomorphe dans $ D = \left\{ z \in \symbb{C} : \Re \left( z \right) > \gamma_0 \right\} $ \\
    et dérivée~: & $ F' \left( z \right) = -\int_{0}^{+\infty} t \cdot f \left( t \right) \cdot \e^{-z \cdot t} \cdot \dif t = \symcal{L}h \left( z \right) $ où $ h \left( t \right) = -t \cdot f \left( t \right) $ \\
    Dérivée~: & $ \symcal{L} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( z \right) = z^k \cdot \symcal{L} \left( f \right) \left( z \right) - \sum_{j = 0}^{k-1} z^j \cdot f^{\left( k-1-j \right)} \left( 0 \right) $ \\
    & $ \hphantom{\symcal{L} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( z \right)} = z^k \cdot \symcal{L} \left( f \right) \left( z \right) - f^{\left( k-1 \right)} \left( 0 \right) - z \cdot f^{\left( k-2 \right)} \left( 0 \right) - \dots - z^{k-1} \cdot f \left( 0 \right) $ \\
    Intégrale~: & $ \varphi \left( t \right) = \int_0^t f \left( s \right) \cdot \dif s \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}\varphi \left( z \right) = \frac{1}{z} \cdot \symcal{L}f \left( z \right) $ \\
    Convolution~: & $ \left( f \ast g \right) \left( t \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( t-s \right) \cdot g \left( s \right) \cdot \dif s = \int_{0}^{t} f \left( t-s \right) \cdot g \left( s \right) \cdot \dif s \quad \Rightarrow \quad \symcal{L} \left( f \ast g \right) \left( z \right) = \symcal{L}f \left( z \right) \cdot \symcal{L}g \left( z \right) $ \\
    Inversion~: & Si $ f $ et $ f' $ c.p.m et si $ \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{F \left( \gamma + \im \cdot s \right)} \cdot \dif s < +\infty $ \\
    & $ \symcal{L}^{-1}f \left( t \right) = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} F \left( \gamma + \im \cdot s \right) \cdot \e^{\left( \gamma + \im \cdot s \right) \cdot t} \cdot \dif t = \frac{1}{2} \left( f \left( t_- \right) + f \left( t_+ \right) \right) $ \\
    & Si $ F \left( z \right) = \frac{p \left( z \right)}{q \left( z \right)} $ et $ \deg \left( q \right) \geq \deg \left( p \right) + 2 \comma \symcal{L}^{-1}f \left( t \right) = \sum_{R \acute e s_{z_k}} \left( F \left( z \right) \cdot \e^{z \cdot t} \right) $
  \end{tabu}}
\\\hline

\textbf{Distribution tempérées} \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Espace de Schwartz~: & Espace vectoriel des fonctions $ \varphi \in C^\infty: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} \tq \forall n, m \in \symbb{N} \comma \lim_{x \rightarrow \pm\infty} x^m \cdot \varphi^{m} \left( x \right) = 0 $ \\
    Fonction CCL~: &  Fonction $ f: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} \tq \exists n \in \symbb{N} \tq \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{f \left( x \right)}{x^n} = 0 $ \\
    Fonctionelle~: &  Application linéaire $ T: \symcal{S} \rightarrow \symbb{C} $ définie par $ \left\langle T_f, \varphi \right\rangle  = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right) \cdot \dif x \in \symcal{S}' $ \\
    Distribution tempérée~: &  $ T_f^{\left( n \right)}: \symcal{S} \rightarrow \symbb{C} $ définie par $ \left\langle T^{\left( n \right)}_f, \varphi \right\rangle  = \left( -1 \right)^n \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right)^{\left( n \right)} \cdot \dif x \in \symcal{S}' $ \\
    Linéarité~: & $ \left\langle a \cdot S + b \cdot T, \varphi \right\rangle  = a \cdot \left\langle S, \varphi \right\rangle  + b \cdot \left\langle T, \varphi \right\rangle  $; $ \left\langle T_f, a \cdot \varphi_1 + b \cdot \varphi_2 \right\rangle  = a \cdot \left\langle T_f, \varphi_1 \right\rangle  + b \cdot \left\langle T_f, \varphi_2 \right\rangle  $ \\
    Dérivée~: & $ \left\langle T^{\left( k \right)}, \varphi \right\rangle = \left( -1 \right)^k \cdot \left\langle T, \varphi^{\left( k \right)} \right\rangle  $ \\
    T. de F.~: & $ \left\langle \symcal{F}T, \varphi \right\rangle  = \left\langle T, \symcal{F}\varphi \right\rangle  $ \\
    Réflexion~: & $ \left\langle T^{\vee}, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \varphi^{\vee} \right\rangle $ \\
    Translation~: & $ \left\langle \symcal{T}_a T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \symcal{T}_{-a} \varphi \right\rangle $ \\
    Changement d'échelle~: & $ \left\langle \symcal{S}_a T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \frac{1}{\abs{a}} \cdot \symcal{S}_{1/a} \varphi \right\rangle $ \\
    Mult. par C\textsuperscript{\infty}CL~: & $ \left\langle g \cdot T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, g \cdot \varphi \right\rangle $ \\
    Distribution $ \delta $~: & $ \delta_a: \symcal{S} \rightarrow \symbb{R} $ définie par $ \left\langle \delta_a, \varphi \right\rangle = \varphi \left( a \right) $ \hspace{5em} $ \symcal{F}\delta_a \left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \e^{-\im \cdot a \cdot x} $ \hspace{5em} $ \delta = \delta_0 $ \\
    Convolution~: & $ \left( f \ast \varphi \right) \left( x \right) = \left\langle f, \symcal{T}_{-x} \left( \varphi^{\vee} \right) \right\rangle $ \hfill $ \int_{-\infty}^{+\infty} \left( f \ast g \right) \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right) \cdot \dif x = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \left( g^{\vee} \ast \varphi \right) \left( x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ \delta \ast \varphi = \varphi $ \\
    & $ \left( T \ast \varphi \right) \left( x \right) = \left\langle T, \symcal{T}_{-x} \left( \varphi^{\vee} \right) \right\rangle $ \hfill $ \left\langle T_1 \ast T_2, \varphi \right\rangle = \left\langle T_1, T_2^{\vee} \ast \varphi \right\rangle $ \hfill $ T \ast \delta = T $ \\
    Cohérence~: & $ T_f^{\left( 1 \right)} = T_{f'} \comma \symcal{F}T_f = T_{\symcal{F}f} \comma T_f^{\vee} = T_{f^{\vee}} \comma \symcal{T}_a T_f = T_{\symcal{T}_a f} \comma \symcal{S}_a T_f = T_{\symcal{S}_a f} \comma g \cdot T_f = T_{g \cdot f} $
  \end{tabu}}
  Les propriétés de la transformée de Fourier et du produit de convolution restent valables.
  %TODO~: tableaux transformées de fourier de Distribution ?
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\end{tabu}

\begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
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\textbf{Équations différentielles} \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Problème de Cauchy~: & $ a_2 \cdot y'' \left( t \right) + a_1 \cdot y' \left( t \right) + a_0 \cdot y \left( t \right) = f \left( t \right) \comma t > 0 \comma y \left( 0 \right) = y_0 \comma y' \left( 0 \right) = y_1 $ \\
    Résolution~: & $ \symcal{L} \left( a_2 \cdot y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y \right) \left( z \right) = \symcal{L}f \left( z \right) \quad \Leftrightarrow \quad \dots \quad \Leftrightarrow \quad Y \left( z \right) = \frac{F \left( z \right) + a_2 \cdot y_0 \cdot z + a_1 \cdot y_0 + a_2 \cdot y_1}{a_2 \cdot z^2 + a_1 \cdot z + a_0} $ \hspace{5em} $ y \left( t \right) = \symcal{L}^{-1} \left( Y \right) \left( t \right) $ \\
    Cas particulier~: & $ y'' \left( t \right) + \lambda \cdot y \left( t \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \lambda = 0: y \left( t \right) = y_0 + y_1 \cdot t \\
    \lambda < 0: y \left( t \right) = y_0 \cdot \cosh \left( \sqrt{-\lambda} \cdot t \right) + \frac{y_1}{\sqrt{-\lambda}} \cdot \sinh \left( \sqrt{-\lambda} \cdot t \right) \\
    \lambda > 0: y \left( t \right) = y_0 \cdot \cos \left( \sqrt{\lambda} \cdot t \right) + \frac{y_1}{\sqrt{\lambda}} \cdot \sin \left( \sqrt{\lambda} \cdot t \right) \end{array} \right. $ \\
    Sturm-Liouville~: & $ y'' \left( t \right) + \lambda \cdot y \left( t \right) = 0 \comma t \in \left] 0;L \right[ \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{ll} \text{Si } y \left( 0 \right) = y \left( L \right) = 0 \comma & \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \comma y \left( t \right) = \alpha_n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \comma n \in \symbb{N} \\
    \text{Si } y' \left( 0 \right) = y' \left( L \right) = 0 \text{, }& \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \text{, } y \left( t \right) = \beta_n \cdot \cos \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \text{, } n \in \symbb{N} \end{array} \right. $
  \end{tabu}}
  Équations sur $ \symbb{R}_+ $~: utiliser la transformée de Laplace. \newline
  Équations sur $ \symbb{R} $~: utiliser la transformée de Fourier. \newline
  Équations périodiques~: utiliser les séries de Fourier.
\\\hline

\textbf{Équations aux dérivées partielles} \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Dans $ \symbb{R} $~: & On fixe une variable et on prend la transformée de Fourier en l'autre. On utilise les propriétés de la transformée pour obtenir une EDO en la variable fixée. On résout cette EDO et finalement, on prend la transformée inverse. \\
    Dans un intervalle~: & On sépare les variables. On obtient deux EDO qu'on résout pour obtenir une solution. On superpose ces solutions puis on impose les conditions initiales pour obtenir la solution.\\
    Dans un rectangle~: & Même démarche que pour un intervalle, mais faite deux fois (une fois dans chaque direction).
  \end{tabu}}
\\\hline

\textbf{Équations différentielles avec des distributions} \newline
  {\setlength{\tabcolsep}{2pt}
  \begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
    Solution fondamentale~: & $ y $ est solution de $ a_2 \cdot y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f \quad \Leftrightarrow \quad y = G \ast f \quad $ avec $ \quad G  \quad $ solution de $ \quad a_2 \cdot G'' + a_1 \cdot G' + a_0 \cdot G = \delta $
  \end{tabu}}
\\\hline

\textbf{Équation de la chaleur dans $ \symbf{\symbb{R}} $} \newline
  $ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, t \right) = a^2 \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} u \left( x, t \right) \quad &\forall x \in \symbb{R} \text{, } t > 0 \\ u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \quad &\forall x \in \symbb{R} \end{array} \right. $ \newline
  $ \symcal{F} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \left( \alpha, t \right) = a^2 \cdot \symcal{F} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right) \left( \alpha, t \right) $ avec $ \symcal{F}u \left( \alpha, 0 \right) = \symcal{F}f \left( \alpha \right) $ \hspace{5em} On pose $ \symcal{F}u \left( \alpha, t \right) = v \left( \alpha, t \right) $ . \newline
  $ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} v \left( \alpha, t \right) = -a^2 \cdot \alpha^2 \cdot v \left( \alpha, t \right) \\ v \left( \alpha, 0 \right) = \symcal{F}f \left( \alpha \right) \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad v \left( \alpha, t \right) = v \left( \alpha, 0 \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} = \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} $ \newline
  $ u \left( x, t \right) = \symcal{F}^{-1}v \left( x, t \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} \cdot \e^{\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif \alpha $
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\textbf{Équation des ondes sur un intervalle} \newline
  $ \frac{\partial^2}{\partial t^2} u \left( x, t \right) = c^2 \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} u \left( x, t \right) \quad x \in \left] 0;L \right[ \text{, } t > 0 \quad \text{ avec } \quad u \left( 0, t \right) = u \left( L, t \right) = 0 \text{, } u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \text{, } \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, 0 \right) = g \left( x \right) $ \newline
  $ u \left( x, t \right) = v \left( x \right) \cdot w \left( t \right) \quad \Leftrightarrow \quad v \left( x \right) \cdot w'' \left( t \right) = c^2 \cdot v'' \left( x \right) \cdot w \left( t \right) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{c^2} \cdot \frac{w'' \left( t \right)}{w \left( t \right)} = \frac{v'' \left( x \right)}{v \left( x \right)} = -\lambda $ \newline
  $ \left\{ \begin{array}{lll} v'' \left( x \right) + \lambda \cdot v \left( x \right) = 0 &x \in \left[ 0;L \right] \text{, } v \left( 0 \right) = v \left( L \right) = 0 &\text{Sturm-Liouville} \\ w'' \left( t \right) + \lambda \cdot c^2 \cdot w \left( t \right) = 0 &t > 0 &\text{Problème de Cauchy} \end{array} \right. $ \newline
  $ \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \qquad v_n \left( x \right) = \alpha_n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \qquad w_n \left( t \right) = a_n \cdot \cos \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) + b_n \cdot \sin \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) $ \newline
  $ u_n \left( x, t \right) = v_n \left( x \right) \cdot w_n \left( t \right) = \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \cdot \left[ A_n \cdot \cos \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) + B_n \cdot \sin \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \right] \qquad u \left( x, t \right) = \sum_{n = 1}^\infty u_n \left( x, t \right) $ \newline
  $ u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \quad \text{ et } \quad \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, 0 \right) = g \left( x \right) \quad \text{ donnent } \quad A_n \quad \text{ et } \quad B_n $
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\end{tabu}

\end{document}
