Formulaires/BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique.tex

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\begin{document}

\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Définitions}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline
\textbf{Méthodes numériques :} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &F(x,d) = 0 \text{ un problème } \\
    &F_n(x_n,d_n) = 0 \text{, } n > 1 \text{ une suite de problèmes } \\
    &x = G(d) \text{ t.q } F(G(d),d) = 0 \text{ une application résolvante } \\
    &x_n \rightarrow x \text{ pour } n \rightarrow \infty \\
    &d_n \rightarrow d \text{ pour } n \rightarrow \infty \\
    &F_n \text{ approche } F \text{ pour } n \rightarrow \infty
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Consistance :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{La méthode numérique (} P_n \text{) est consistante si} \\
    &F_n(x_n,d_n) - F(x,d) \rightarrow 0 \text{ pour } n \rightarrow \infty \\
    &\text{où } x \text{ est la solution du problème (} P \text{) correspondant} \\ &\text{à la donnée } d \\
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Stabilité :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Une méthode numérique est bien posée (ou stable) s’il existe,} \\ &\text{pour tout } n \text{ une unique solution } x_n \text{ correspondant à la donnée } \\ &d_n \text{ et si } x_n \text{ dépend continûment des données, i.e.} \\
    &\forall d_n, \exists \eta_0 = \eta_0(d_n) > 0 \text{, } \exists K_0 = K_0(\eta_0,d_n) \text { t.q} \\
    &\forall \delta d_n : \|\delta d_n\| \leq \eta_0 \rightarrow \|\delta x_n\| \leq K_0 \cdot \|\delta d_n\|
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si le problème numérique (} P_n \text{) est consistant avec le problème} \\ &\text{(} P \text{), alors il est convergent si, et seulement si, il est stable}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline
  
\end{tabularx}

\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Équations non-linéaires}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Dichotomie ou bissection} \newline
  \underline{Conditions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &f(a) \cdot f(b) < 0 \text{ et } f(x) \text{ continue sur } [a;b] \\
    &k \in \mathbb{N}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x^{(k)} = \frac{a^{(k)} + b^{(k)}}{2} \\
    &\text{Si } f(x^{(k)}) = 0 \text{ fin} \\
    &\text{Si } f(x^{(k)}) \cdot f(a) < 0 \text{, } a^{(k+1)} = a^{(k)} \text{ et } b^{(k+1)} = x^{(k)} \\
    &\text{Si } f(x^{(k)}) \cdot f(b) < 0 \text{, } a^{(k+1)} = x^{(k)} \text{ et } b^{(k+1)} = b^{(k)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreur :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &|e^{(k)}| = |x^{(k)} - \alpha| \leq \frac{b - a}{2^{k+1}}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline
\textbf{Méthode de Newton} \newline
  \underline{Conditions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &f(x) \text{ dérivable } \\
    &k \in \mathbb{N}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence locale :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } f(x) \text{ continue et deux fois dérivable sur } [a;b] \\
    &\text{Si } f(\alpha) = 0 \text{ et } f'(\alpha) \neq 0 \\
    &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } |x^{(0)} - \alpha| \leq \delta \text{, la méthode converge} \\
    &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{(k+1)} - \alpha}{(x^{(k)} - \alpha)^2}} = \frac{f''(\alpha)}{2 \cdot f'(\alpha)} \text{ (ordre 2)}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Point fixe} \newline
  \underline{Conditions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\phi(\alpha) = \alpha \Leftrightarrow f(\alpha) = 0 \text{, } x^{(k)} \rightarrow \alpha \text{ et } \phi(x) \text{ continue sur } [a;b] \\
    &k \in \mathbb{N}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x^{(k+1)} = \phi(x^{(k)})
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence globale :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } \phi(x) \text{ continue sur } [a;b] \\
    &\text{Si } \phi(x) \in [a;b] \text{ } \forall x \in [a;b] \\
    &\text{Si } \exists L < 1 \text{ t.q. } |\phi(x_1) - \phi(x_2)| \leq L \cdot |x_1 - x_2| \text{ } \forall x_1,x_2 \in [a;b]
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence globale (2) :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } \phi(x) \text{ continue et dérivable sur } [a;b] \\
    &\text{Si } \phi(x) \in [a;b] \text{ } \forall x \in [a;b] \\
    &\text{Si } \exists K < 1 \text{ t.q. } |\phi'(x)| \leq K \text{ } \forall x \in [a;b]
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence locale :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } \phi(x) \text{ continue et dérivable sur } [a;b] \\
    &\text{Si } |\phi'(\alpha)| < 1 \\
    &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } |x^{(0)} - \alpha| \leq \delta \text{, la méthode converge} \\
    &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{(k+1)} - \alpha}{x^{(k)} - \alpha}} = \phi'(\alpha) &&\hspace{-7em} \text{ (ordre 1)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence locale (2) :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } \phi(x) \text{ continue et deux fois dérivable sur } [a;b] \\
    &\text{Si } \phi'(\alpha) = 0 \text{ et } \phi''(\alpha) \neq 0 \\
    &\text{Alors } \lim_{k \to \infty}{\frac{x^{(k+1)} - \alpha}{(x^{(k)} - \alpha)^2}} = \frac{\phi''(\alpha)}{2} &\hspace{-4em} \text{ (ordre 2)}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| }
\hline

\textbf{Méthode de Newton modifiée} \newline
  \underline{Conditions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &f(x) \text{ dérivable et } \alpha \text{ de multiplicité de } m \\
    &k \in \mathbb{N}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x^{(k+1)} = x^{(k)} - m \cdot \frac{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence locale :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } f(x) \text{ continue et dérivable sur } [a;b] \\
    &\text{Si } f(\alpha) = 0 \text{ et } f'(\alpha) = 0 \\
    &\text{Alors } \exists \delta > 0 \text{ t.q. si } |x^{(0)} - \alpha| \leq \delta \text{, la méthode converge}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Méthode de la corde} \newline
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{f(x^{(k)})}{q(x^{(k)})} \\
    &q = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} &&\text{ ou } &q = \frac{f(b)-f(x^{(k)})}{b-x^{(k)}}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence :} \newline
  $ \begin{aligned}
    \left| 1 - \frac{f'(\alpha)}{q(\alpha)} \right| < 1
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Critères d'arrêt} \newline
  \underline{Contrôle de l'incrément :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &|x^{(k+1)} - x^{(k)}| < \epsilon
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Contrôle du résidu :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &|f(x^{(k)})| < \epsilon
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Cas du point fixe :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Le contrôle de l'incrément est optimal si } \phi'(\alpha) = 0 \text{, satisfaisant} \\ &\text{si } -1 < \phi'(\alpha) < 0 \text{ et n'est pas satisfaisant si } \phi'(\alpha) \text{ est proche} \\ &\text{de 1.} \\
    &\text{Le contrôle du résidu est satisfaisant si } |f'| \simeq 1 \text{ au voisinage de} \\ &\text{la racine } \alpha \text{.}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Multiplicité} \newline
  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{On dit qu'un zéro } \alpha \text{ de } f \text{ est de multiplicité } m \in \mathbb{N} \text{ si} \\
    &f(\alpha) = ... = f^{m-1}(\alpha) = 0 \text{ et } f^m(\alpha) \neq 0 \\
    &\text{Un zéro de multiplicité } m = 1 \text{ est appelé zéro simple.}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Ordre de convergence} \newline
  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{On dit que la convergence est d'ordre } p \geq 1 \text{ s'il existe une} \\ &\text{constante } C > 0 \text{ (avec  } C < 1 \text{ lorsque } p = 1 \text {) telle que l'inégalité} \\ &\text{suivante soit satisfaite} \\
    &|x^{(k+1)} - \alpha| \leq C \cdot |x^{(k)} - \alpha|^p \\
    &\text{Lorsque } p = 1 \text{, la convergence est dite linéaire.} \\
    &\text{Lorsque } p = 2 \text{, la convergence est dite quadratique.}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Interpolation}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Polynôme d'interpolation (de degré n)} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Soient } n + 1 \text{ noeuds distincts } x_0, x_1, ... x_n \\ &\text{et } n + 1 \text{ valeurs } y_0, y_1, ..., y_n \\
    &p(x_j) = y_j \text{ } 0 \leq j \leq n \\
    &p(x) = \Pi_n(x) = \Pi_nf(x) \\
    &I = [a;b] \\
    &h = \frac{b-a}{n}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\varphi_k(x) = \prod_{j=0,j \neq k}^n \frac{x - x_j}{x_k - x_j} &\text{ (Base de Lagrange)} \\
    &\Pi_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k \cdot \varphi_k(x) &\text{ (Polynôme d'interpolation)} \\
    &\Pi_nf(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k) \cdot \varphi_k(x) &\text{ (Interpolant de } f \text{)} \\
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreur :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\max_{x \in I} |E_n f(x)| \leq \frac{1}{4 \cdot (n+1)} \cdot h^{n+1} \cdot \max_{x \in I} |f^{(n+1)}(x)|
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Interpolation par morceaux :} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &a = x_0 < x_1 < ... < x_N = b \text{ les points qui divisent } I \text{ en} \\ &\text{réunion d'intervalles } I_i = [x_i, x_{i+1}] \\
    &H = \frac{b-a}{N}
  \end{aligned} $ \newline
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\Pi_1^Hf(x) = f(x_i) + \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i} \cdot (x - x_i) \text{ pour } x \in I_i
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreurs :} \newline
   $ \begin{aligned}
    &\max_{x \in I} |E_1^H f(x)| \leq \frac{H^2}{8} \cdot \max_{x \in I} |f''(x)| \\
    &\max_{x \in I} |E_r^H f(x)| \leq \frac{H^{r+1}}{4 \cdot (r+1)} \cdot \max_{x \in I} |f^{(r+1)}(x)|
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Méthode des moindres carrés (de degré m)} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\sum_{i=0}^n |y_i - \tilde{f}_m(x_i)|^2 \leq \sum_{i=0}^n |y_i - p_m(x_i)|^2 &\forall p_m(x) \in \mathbb{P}_m \\
    &\sum_{i=0}^n |f(x_i) - \tilde{f}_m(x_i)|^2 \leq \sum_{i=0}^n |f(x_i) - p_m(x_i)|^2 &\forall p_m(x) \in \mathbb{P}_m \\
    &\tilde{f}_m(x) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + ... + a_m \cdot x^m
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\Phi(b_0, b_1, ..., b_m) = \sum_{i=0}^n (y_i - (b_0 + b_1 \cdot x_i \\
    &\hspace{14em} + b_2 \cdot x_i^2 + ... + b_m \cdot x_i^m))^2 \\
    &\Phi(a_0, a_1, ..., a_m) = \min_{b_i, i = 0,...,m} \Phi(b_0, b_1, ..., b_m) \\
    &\frac{\partial \Phi}{\partial b_i}(a_0, a_1, ..., a_m) = 0 \text{, } 0 \leq i \leq m \text{ (Système de degré } m+1 \text{)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode (2) :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &B = \begin{pmatrix}
      1 & x_0 & \ldots & x_0^m \\
      1 & x_1 & \ldots & x_1^m \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      1 & x_n & \ldots & x_n^m \\
    \end{pmatrix} &&\vec{y} = \begin{pmatrix}
      y_0 \\
      y_1 \\
      \vdots \\
      y_n \\
    \end{pmatrix} \\
    &B^T \cdot B \cdot \vec{a} = B^T \cdot \vec{y}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| }
\hline

\textbf{Interpolation par fonctions splines} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &I = [a;b] \\
    &a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b \text{ les points qui divisent } I \text{ en réunion} \\ &\text{d'intervalles } I_i = [x_i, x_{i+1}]
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Spline :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &s_{3|I_i} \in \mathbb{P}_3 &&\forall i = 0,...,n-1 \\
    &s_3(x_i) = f(x_i) &&\forall i = 0,...,n \\
    &s_3 \in C^2(I)
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Conditions aux bords :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &s_3(x_i^-) = s_3(x_i^+) \\
    &s_3'(x_i^-) = s_3'(x_i^+) \\
    &s_3''(x_i^-) = s_3''(x_i^+)
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Spline naturelle :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &s_3''(x_0^+) = 0 \\
    &s_3''(x_n^-) = 0
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Spline not-a-knot :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &s_3'''(x_1^-) = s_3'''(x_1^+) \\
    &s_3'''(x_{n-1}^-) = s_3'''(x_{n-1}^+)
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Intégration}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X }
\hline

\textbf{Formules d'intégration simples} \newline
  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &I(f) = \int_a^b f(x) \cdot \dif x
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Méthodes :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &I_{pm}(f) = (b - a) \cdot f\left( \frac{a+b}{2} \right) &\text{ (Point millieu)} \\
    &I_t(f) = (b - a) \cdot \frac{f(a) + f(b)}{2} &\text{ (Trapèze)} \\
    &I_s(f) = \frac{b - a}{6} \cdot \left[ f(a) + 4 \cdot f\left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right] &\text{ (Simpson)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Formule générale :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &I_{appr}(f) = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot f(x_k) \\
    &x_k \text{ sont les noeuds et } \alpha_k \text{ sont les poids}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Noeuds et poids :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Point milieu} &&x_0 = \frac{1}{2} \cdot (a+b) && \alpha_0 = b-a \\
    &\text{Trapèze} &&x_0 = a, x_1 = b && \alpha_0 = \alpha_1 = \frac{1}{2} \cdot (b-a) \\
    &\text{Simpson} &&\begin{array}{l} x_0 = a \\ x_1 = \frac{1}{2} \cdot (a+b) \\ x_2 = b \\ \end{array} &&\begin{array}{l} \alpha_0 = \alpha_2 = \frac{1}{6} \cdot (b-a) \\ \alpha_1 = \frac{2}{3} \cdot (b-a) \\ \end{array}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreur :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &|I(f) - I_{appr}(f)| \leq \max_{x \in [a;b]} |f(x) - \Pi_nf(x)| \cdot (b-a)
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Degré d'exactitude} \newline
  \underline{Défintion :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Une formule de quadrature } I_{appr}(f) \text{ sur l'intervalle } [a;b] \\ &\text{est exacte de degré } r \text{ pour une fonction } f \text{ si} \\
    &I_{appr}(f) = \int_a^b f(x) \cdot \dif x &&\hspace{-12em} \forall f \in \mathbb{P}_r \\
    &\text{mais pas  pour } r+1
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Ordre} \newline
  \underline{Défintion :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{On définit l'ordre d'une formule d'intégration par l'ordre de} \\ &\text{son erreur par rapport à } H
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline


\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Formules d'intégration composites} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Soient } M \text{ sous-intervalles } I_k = [x_{k-1};x_k] \text{, } &&k = 1,...,M \\
    &x_k = a + k \cdot H \\
    &H = \frac{b-a}{M} \\
    &I(f) = \sum_{k=1}^M \int_{I_k} f(x) \cdot \dif x \approx \sum_{k=1}^M \int_{I_k} \Pi_nf(x) \cdot \dif x \\& \hspace{10em} \approx \int_a^b \sum_{k=1}^M  \Pi_n^Hf(x) \cdot \dif x
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Méthodes :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &I_{pm}^c(f) = H \cdot \sum_{k=1}^M f\left( \frac{x_{k-1} + x_k}{2} \right) \\
    &I_t^c(f) = \frac{H}{2} \cdot \sum_{k=1}^M [f(x_{k-1}) + f(x_k)] \\
    &\hspace{2.5em} = \frac{H}{2} \cdot [f(a) + f(b)] + H \cdot \sum_{k=1}^{M-1} f(x_k) \\
    &I_s^c(f) = \frac{H}{6} \cdot \sum_{k=1}^{M} \left[ f(x_{k-1}) + 4 \cdot f\left( \frac{x_{k-1} + x_k}{2} \right) + f(x_k) \right]
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreurs :} \newline
   $ \begin{aligned}
    &|I(f) - I_{pm}^c(f)| \leq \frac{b-a}{24} \cdot H^2 \cdot \max_{x \in [a;b]} |f''(x)| \\
    &|I(f) - I_t^c(f)| \leq \frac{b-a}{12} \cdot H^2 \cdot \max_{x \in [a;b]} |f''(x)| \\
    &|I(f) - I_s^c(f)| \leq \frac{b-a}{180 \cdot 16} \cdot H^4 \cdot \max_{x \in [a;b]} |f''''(x)|
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Degrés d'exactitude :} \newline
   $ \begin{aligned}
    &\text{Point milieu} &&\text{1} \\
    &\text{Trapèze} &&\text{1} \\
    &\text{Simpson} &&\text{3}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Ordres par rapport à H:} \newline
   $ \begin{aligned}
    &\text{Point milieu} &&\text{2} \\
    &\text{Trapèze} &&\text{2} \\
    &\text{Simpson} &&\text{4}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes directes}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X }
\hline

\textbf{Énoncé du problème} \newline
  \underline{Problème :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \cdot \vec{x} = \vec{b} &\text{Système linéaire d'ordre } n \\
    &\sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot x_j = b_i \text{, } & i = 1,...,n
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Régularité :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \text{ est dite régulière (non signulière) } \Leftrightarrow \det(A) \neq 0 \\
    &\text{Si } A \text{ est régulière, la solution } \vec{x} \text{ du système est unique}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Substitution progressive} \newline
  \underline{Condition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &L \text{ matrice triangulaire inférieur}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &y_1 = b_1/l_{11} \\
    &y_i = \frac{1}{l_{ii}} \cdot \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} l_{ij} \cdot y_j \right) \text{, } i = 2,3,...,n
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Coût :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &n^2 \text{ opérations}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Substitution rétrograde} \newline
  \underline{Condition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &U \text{ matrice triangulaire supérieure}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x_n = y_n/u_{nn} \\
    &x_i = \frac{1}{u_{ii}} \cdot \left( y_i - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij} \cdot x_j \right) \text{, } i = n-1,n-2,...,1
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Coût :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &n^2 \text{ opérations}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Factorisation LU} \newline
  \underline{Condition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \text{ matrice carrée non singulière}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \cdot \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow L \cdot U \cdot \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{r c l}  L \cdot \vec{y} & = & \vec{b} \\ U \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \end{array} \right .
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Coût :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\frac{2 \cdot n^3}{3} \text{ opérations (pour la factorisation)}
  \end{aligned} $ \newline
  
 \underline{Remarque :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\det(A) = \det(L) \cdot \det(U) = \det(U) = \prod_{k=1}^n u_{kk}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Changement de pivot} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &P \cdot A \cdot Q = L \cdot U \\
    &P = P_{n-1} \cdot ... \cdot P_1 \\
    &Q = Q_1 \cdot ... \cdot Q_{n-1}
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \cdot \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow P \cdot A \cdot Q \cdot Q^{-1} \cdot \vec{x} = P \cdot \vec{b} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{r c l}  L \cdot \vec{y} & = & P \cdot \vec{b} \\ U \cdot \vec{x^{*}} & = & \vec{y} \\ x & = & Q \cdot \vec{x^{*}} \\ \end{array} \right .
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Méthode d'élimination de Gauss} \newline
  \underline{Conditions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \text{ matrice carrée non singulière} \\
    &k = 1,...,n-1
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &l_{ik} = \frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}} \text{, } &&i = k+1,...,n \\
    &a_{ij}^{(k+1)} = a_{ij}^{(k)} - l_{ik} \cdot a_{kj}^{(k)} \text{, } &&i,j = k+1,...,n \\
    &b_{i}^{(k+1)} = b_{i}^{(k)} - l_{ik} \cdot b_{k}^{(k)} \text{, } &&i = k+1,...,n \\
    &l_{ii} = 1 \text{, } U=A^{(n)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Coût :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\frac{2 \cdot n^3}{3} \text{ opérations}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Existence :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{La factorisation existe et est unique} \\ &\Leftrightarrow \text{Les sous-matrices } A_i (i=1,...,n-1) \text{ ne sont pas singulières} \\
    &\text{Ou si la matrice A est à diagonale dominante par ligne} \\ &|a_{ii}| \geq \sum_{j=1,...,n;j \neq i} |a_{ij}| \text{, } && \hspace{-10em} i = 1,...,n \\
    &\text{Ou si la matrice A est à diagonale dominante par colonne} \\ &|a_{jj}| \geq \sum_{i=1,...,n;i \neq j} |a_{ij}| \text{, } && \hspace{-10em} j = 1,...,n \\
    &\text{Ou si la matrice A est symétrique définie positive} \\ &A = A^T \text{ et } \lambda_i(A) > 0 \text{, } && \hspace{-10em} i = 1,...,n \\
    &\text{La factorisation existe et est infinie} \\ &\Leftrightarrow \text{Les sous-matrices } A_i (i=1,...,n) \text{ sont singulières} \\
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Factorisation de Cholesky} \newline
  \underline{Condition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \text{ matrice symétrique définie positive}
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A = R^T \cdot R \\
    &i = 2,...,n
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &r_{11} = \sqrt{a_{11}} \\
    &r_{ji} = \frac{1}{r_{jj}} \cdot \left( a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} r_{ki} \cdot r_{kj} \right) \text{, } &&j = 1,...,i-1 \\
    &r_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} r_{ki}^2} \\
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Coût :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\frac{n^3}{3} \text{ opérations}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Divers} \newline
  \underline{Matrice de Hilbert :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &a_{ij} = \frac{1}{i+j-1} \text{, } &&i,j = 1,...,n \\
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Conditionnment :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &K(A) = \frac{\lambda_{max}(A)}{\lambda_{min}(A)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreur :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\frac{\|\vec{x} - \vec{\hat{x}}\|}{\|x\|} \leq K(A) \cdot \frac{\|\vec{r}\|}{\|\vec{b}\|} \text{, } &&\vec{r} = \vec{b} - A \cdot \vec{\hat{x}}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes itératives}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Méthode de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\vec{e}^{(k)} = \vec{x} - \vec{x}^{(k)} \\
    &\vec{e}^{(k+1)} = B^{k+1} \cdot \vec{e}^{(0)} \\
    &\rho(B) = \max|\lambda_i(B)| < 1 \\
    &\vec{r}^{(k)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(k)} \\
    &B = P^{-1} \cdot (P - A) = I - P^{-1} \cdot A \\
    &\vec{x}^{(k+1)} = B \cdot \vec{x}^{(k)} + \vec{g}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode de Jacobi :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \cdot \left(b_i - \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij} \cdot x_j^{(k)} \right) \\ %\text{, } &&j = 1,...,n \\
    &B_J = D^{-1} \cdot (D - A) = I - D^{-1} \cdot A \\
    &\vec{g}_J = D^{-1} \cdot \vec{b}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode de Gauss-Seidel :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \cdot \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} \cdot x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^n a_{ij} \cdot x_j^{(k)} \right) \\ %\text{, } &&j = 1,...,n \\
    &B_{GS} = (D - E)^{-1} \cdot (D - E - A) = (D - E)^{-1} \cdot F \\
    &\vec{g}_{GS} = (D - E)^{-1} \cdot \vec{b}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode de sur-relaxation successive :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &x_i^{(k+1)} = \frac{\omega}{a_{ii}} \cdot \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} \cdot x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^n a_{ij} \cdot x_j^{(k)} \right) \\
    &\hspace{6em} + (1 - \omega) \cdot x_i^{(k)} \\ %\text{, } &&j = 1,...,n \\
    &B_{SOR} = (\frac{1}{\omega} \cdot D - E)^{-1} \cdot (\frac{1}{\omega} \cdot D - E - A) \\
    &\hspace{3em} = (I - \omega \cdot D^{-1} \cdot E)^{-1} \cdot [(1-\omega) \cdot I + \omega \cdot D^{-1} \cdot F] \\
    &\vec{g}_{SOR} = (\frac{1}{\omega} \cdot D - E)^{-1} \cdot \vec{b}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } A \text{ à diagonale dominante stricte par ligne, Jacobi et} \\ &\text{Gauss-Seidel sont convergentes} \\
    &\text{Si } A \text{ régulière, tridiagonale et dont les coefficients diagonaux} \\ &\text{sont tous non-nuls, Jacobi et Gauss-Seidel sont toutes les deux} \\ &\text{soit divergentes, soit convergentes, dans ce dernier cas, } \\ &
    \rho(B_{GS}) = \rho(B_J)^2 \\
    &\text{Si } A \text{ symétrique définie positive, Gauss-Seidel converge,} \\ &\text{Jacobi pas forcément} \\
    &\text{Si } A \text{ symétrique définie positive, SOR converge } \Leftrightarrow 0 < \omega < 2 \\
    &\text{Si } A \text{ à diagonale dominante stricte, SOR converge si } 0 < \omega < 1 \\
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Méthode de Richardson stationnaire préconditionné} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &P \cdot (\vec{x}^{(k+1)} - \vec{x}^{(k)}) = \alpha \cdot \vec{r}^{(k)} \\
    &\lambda_i = \text{ valeurs propres de } P^{-1} \cdot A \text{ strictement positives} \\
    &\lambda_{max} = \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_N = \lambda_{min} \\
    &\alpha_{opt} = \frac{2}{\lambda_{max} + \lambda_{min}} \\
    &\rho_{opt} = \frac{\lambda_{max} - \lambda_{min}}{\lambda_{max} + \lambda_{min}}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \text{ et } P \text{ symétriques définies positives} \\
    &0 < \alpha < 2/\lambda_{max}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreur :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|_A \leq \left( \frac{K(P^{-1} \cdot A) - 1}{K(P^{-1} \cdot A) + 1} \right)^k \cdot \|\vec{x}^{(0)} - \vec{x}\|_A \text{, } &&k \geq 0
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| }
\hline

\textbf{Méthode de Richardson dynamique précondionné} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &P \cdot (\vec{x}^{(k+1)} - \vec{x}^{(k)}) = \alpha_k \cdot \vec{r}^{(k)} \\
    &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{z}^{(k)})}{(A \cdot \vec{z}^{(k)},\vec{z}^{(k)})} \\
    &\vec{z}^{(k)} = P^{-1} \cdot \vec{r}^{(k)}
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\vec{r}^{(0)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(0)} \\
    &P \cdot z^{(k)} = r^{(k)} \\
    &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{z}^{(k)})}{(A \cdot \vec{z}^{(k)},\vec{z}^{(k)})} \\
    &\vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} + \alpha_k \cdot \vec{z}^{(k)} \\
    &\vec{r}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{z}^{(k)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreur :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|_A \leq \left( \frac{K(P^{-1} \cdot A) - 1}{K(P^{-1} \cdot A) + 1} \right)^k \cdot \|\vec{x}^{(0)} - \vec{x}\|_A \text{, } &&k \geq 0
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } A \text{ et } P \text{ symétriques définies positives} \\
    &\text{Si } P = I \text{, on a la méthode du gradient}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Méthode du gradient conjugué} \newline
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\vec{r}^{(0)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(0)} \text{, } \vec{p}^{(0)} = \vec{r}^{(0)} \\
    &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{p}^{(k)})}{(A \cdot \vec{p}^{(k)},\vec{p}^{(k)})} \\
    &\vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} + \alpha_k \cdot \vec{p}^{(k)} \\
    &\vec{r}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{p}^{(k)} \\
    &\beta_k = \frac{(\vec{r}^{(k+1)},A \cdot \vec{p}^{(k)})}{(\vec{p}^{(k)},A \cdot \vec{p}^{(k)})} \\
    &\vec{p}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k+1)} - \beta_k \cdot \vec{p}^{(k)}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Méthode du gradient conjugué préconditionné} \newline
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\vec{r}^{(0)} = \vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(0)} \text{, } \vec{z}^{(0)} = P^{-1} \cdot \vec{r}^{(0)} \text{, } \vec{p}^{(0)} = \vec{z}^{(0)} \\
    &\alpha_k = \frac{(\vec{r}^{(k)},\vec{p}^{(k)})}{(A \cdot \vec{p}^{(k)},\vec{p}^{(k)})} \\
    &\vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} + \alpha_k \cdot \vec{p}^{(k)} \\
    &\vec{r}^{(k+1)} = \vec{r}^{(k)} - \alpha_k \cdot A \cdot \vec{p}^{(k)} \\
    &P \cdot z^{(k+1)} = r^{(k+1)} \\
    &\beta_k = \frac{(\vec{z}^{(k+1)},A \cdot \vec{p}^{(k)})}{(\vec{p}^{(k)},A \cdot \vec{p}^{(k)})} \\
    &\vec{p}^{(k+1)} = \vec{z}^{(k+1)} - \beta_k \cdot \vec{p}^{(k)}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreur :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|_A \leq \frac{2 \cdot c^k}{1 + c^{2 \cdot k}} \cdot \|\vec{x}^{(0)} - \vec{x}\|_A \text{, } &&k \geq 0 \\
    &c = \frac{\sqrt{K(P^{-1} \cdot A)} - 1}{\sqrt{K(P^{-1} \cdot A)} + 1}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Critère de convergence} \newline
  \underline{Convergence :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } P^{-1} \cdot A \text{ symétrique définie positive} \\
    &\frac{\|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\|}{\|\vec{x}\|} \leq K(P^{-1} \cdot A) \cdot \frac{\|P^{-1} \cdot \vec{r^{(k)}}\|}{\|P^{-1} \cdot \vec{b}\|}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes directes (suite)}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Inverse d'un matrice} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A^{-1} = (\vec{x}^{(1)},...,\vec{x}^{(n)}) \\
    &\vec{e}^{(k)} \text{ vecteur avec composantes nulle sauf la k\textsuperscript{ième} composante } \\ &\text{qui vaut } 1
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A \cdot \vec{x}^{(k)} = \vec{e}^{(k)}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| }
\hline

\textbf{Systèmes triangulaires} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Une matrice } U = (u_{ij}) \text{ est triangulaire supérieure si} \\
    &u_{ij} = 0 &&\hspace{-15em} \forall i,j : 1 \leq j < i \leq n \\
    &\text{Une matrice } L = (l_{ij}) \text{ est triangulaire inférieure si} \\
    &l_{ij} = 0  &&\hspace{-15em} \forall i,j : 1 \leq i < j \leq n
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes linéaires - Méthodes itératives (suite)}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Splitting de A} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &A = D - E - F \\
    &\left \{ \begin{array}{l l} d_{ij} =  a_{ij} &\text{si } i = j \\ d_{ij} = 0 & \text{si } i \neq j \\ \end{array} \right . && \text{Diagonale} \\
    &\left \{ \begin{array}{l l} e_{ij} = -a_{ij} & \text{si } i > j \\ e_{ij} = 0 & \text{si } i \leq j \\ \end{array} \right . && \text{Triangulaire inf.}\\
    &\left \{ \begin{array}{l l} f_{ij} = -a_{ij} & \text{si } i < j \\ f_{ij} = 0 & \text{si } i \geq j \\ \end{array} \right . && \text{Triangulaire sup.}\\
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| }
\hline

\textbf{Produit scalaire et normes} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}^T \cdot \vec{v}} \\
    &\|\vec{v}\|_A = \sqrt{\vec{v}^T \cdot A \cdot \vec{v}} \\
    &(\vec{v},\vec{w}) = \vec{w}^T \cdot \vec{v} \\
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline
\end{tabularx}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Équations différentielles ordinaires (suite)}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Stabilité absolue} \newline
  \underline{Problème modèle :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\left \{ \begin{array}{l}
      y'(t) = \lambda \cdot y(t)), \hspace{2em} \lambda < 0 \\
      y(t_0) = y_0 \\
    \end{array} \right . \\
    &0 = t_0 < t_1 < ... < t_n < t_{n+1} ... \text{ tels que } t_n = n \cdot h &&(h > 0) \\
    &\text{dont la solution est } y(t) = e^{\lambda \cdot t} \text{ et } \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Un schéma de résolution est absolument stable si} \\
    &\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Stablilité :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{EP : si } 0 < h < 2/\lambda \\
    &\text{ER : inconditionnellement stable }\\
    &\text{PM : inconditionnellement instable }\\
    &\text{CN : inconditionnellement stable }\\
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ X| }
\hline

\textbf{Stabilité} \newline
  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Une méthode numérique absolument stable pour le problème} \\ &\text{modèle est stable pour un problème de Cauchy quelconque.} \\
    &\text{Il existe } 0 < \lambda_{min} < \lambda_{max} < \infty \text{ tel que} \\
    &-\lambda_{max} < \frac{\partial f(t,y)}{\partial y} < - \lambda_{min} &&\hspace{-10em} \forall t \geq 0, \forall y \in D_y \\
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Stablilité :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{EP : si } 0 < h < 2/\lambda_{max} \\
    &\text{ER : inconditionnellement stable }\\
    &\text{PM : inconditionnellement instable }\\
    &\text{CN : inconditionnellement stable }\\
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline
\end{tabularx}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{Systèmes non linéaires}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Méthode de Newton} \newline
  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\vec{f}(\vec{x}) = 0
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Méthode :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &[J_f(\vec{x}^{(k)})] \cdot (\vec{x}^{(k+1)} - \vec{x}^{(k)}) = -\vec{f}(\vec{x}^{(k)})  \text{, } &&k = 0,1,2,... \\
    &\Leftrightarrow \vec{x}^{(k+1)} = \vec{x}^{(k)} -[J_f(\vec{x}^{(k)})]^{-1} \cdot \vec{f}(\vec{x}^{(k)})  \text{, } &&k = 0,1,2,...
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}
\newpage
\begin{multicols}{2}[\centering{\large\textbf{{Équations différentielles ordinaires}}}]

\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X }
\hline

\textbf{Énoncé du problème} \newline
  \underline{Problème de Cauchy:} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\left \{ \begin{array}{l}
      y'(t) = f(t, y(t)) \\
      y(t_0) = y_0 \\
    \end{array} \right .
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Solution :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si la fonction } f(t,y) \text{ est continue par rapport à ses deux} \\ & \text{variables et lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable,} \\ &\text{alors la solution existe, est unique et appartient à } C^1(I)
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Dérivée numérique} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Soient } t_0, t_1, ..., t_{N_h} N_h + 1 \text{ noeuds équirépartis dans } [t_0;t_{N_h}] \\
    &h = \frac{t_{N_h} - t_0}{N_h} \\
    &(Dy)_n \approx y'(t_n)
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthodes :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &(Dy)_n^P = \frac{y(t_{n+1}) - y(t_n)}{h} \text{, } &&n = 0,...,N_h-1 \\
    &(Dy)_n^R = \frac{y(t_n) - y(t_{n-1})}{h} \text{, } &&n = 1,...,N_h \\
    &(Dy)_n^C = \frac{y(t_{n+1}) - y(t_{n-1})}{2 \cdot h} \text{, } &&n = 1,...,N_h-1
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Erreurs :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &|y'(t_n) - (Dy)_n^P| \leq \frac{h}{2} \cdot \max_{t \in [t_n;t_{n+1}]} |y''(t)| \\
    &|y'(t_n) - (Dy)_n^R| \leq \frac{h}{2} \cdot \max_{t \in [t_{n-1};t_n]} |y''(t)| \\
    &|y'(t_n) - (Dy)_n^C| \leq \frac{h^2}{6} \cdot \max_{t \in [t_{n-1};t_{n+1}]} |y'''(t)|
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Résolution} \newline
  \underline{Définition :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &u_n \text{ une approximation de } y(t_n)
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthodes :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &u_{n+1} = u_n + h \cdot f(t_n, u_n) &\hspace{-0.5em} \text{EP} \\
    &u_{n+1} = u_n + h \cdot f(t_{n+1}, u_{n+1}) &\hspace{-0.5em} \text{ER} \\
    &u_{n+1} = u_{n-1} + 2 \cdot h \cdot f(t_n, u_n) &\hspace{-0.5em} \text{PM} \\
    &u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_n, u_n) + f(t_{n+1}, u_{n+1})] &\hspace{-0.5em} \text{CN} \\
    &u_{n+1} = u_n + \frac{h}{2} \cdot [f(t_n, u_n) + f(t_{n+1}, u_n + h \cdot f(t_n, u_n))] &\hspace{-0.5em} \text{H} \\
    &u_{n+1} = u_n + h \cdot f\left(t_{n+\frac{1}{2}}, u_n + \frac{h}{2} \cdot f(t_n, u_n)\right) &\hspace{-0.5em} \text{EM} \\
    &\left \{ \begin{array}{l}
      u_{n+1} = u_n + \frac{h}{6} \cdot (K_1 + 2 \cdot K_2 + 2 \cdot K_3 + K_4) \\
      K_1 = f(t_n, u_n) \\
      K_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, u_n + \frac{h}{2} \cdot K_1) \\
      K_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, u_n + \frac{h}{2} \cdot K_2) \\
      K_4 = f(t_{n+1}, u_n + h \cdot K_3) \\
    \end{array} \right .  &\hspace{-0.5em} \text{RK} \\
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{ |X| }
\hline

\textbf{Convergence} \newline
  \underline{Définitions :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Une méthode est dite convergente si} \\
    &\forall n = 0,..,N_h : |u_n - y(t_n)| \leq C(h) \\
    &\text{Où } C(h) \rightarrow 0 \text{ lorsque }  h \rightarrow 0 \\
    &\text{Si en plus, il existe } p > 0  \text{ tel que }  C(h) = \mathcal{O}(h^p) \text{ on dit que la} \\ &\text{méthode est convergente d'ordre } p
  \end{aligned} $ \newline

  \underline{Convergence de EP :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } y \in C^2([0;T]) \text{, } f \text{ est lipschitzienne et en plus} \\
    &-\lambda_{max} < \frac{\partial f(t,y)}{\partial y} < 0 &&\hspace{-6em} \forall t \in [0;T], \forall y \in [-\infty;\infty] \\
    &\text{Alors } |y(t_n) - u_n| \leq t_n \cdot \frac{h}{2} \cdot \max_t |y''(t)| \\
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence de EP (2) :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Si } y \in C^2([0;T]) \text{ et } f \text{ est lipschitzienne avec sa constante } L \\
    &\text{Alors } |y(t_n) - u_n| \leq h \cdot \frac{e^{L \cdot t_n} - 1}{2 \cdot L} \cdot \max_t |y''(t)| \\
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Convergence de ER :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\text{Le même type de résultat peut être établi pour ER}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Nb. pas/Ordre/Stabilité/Explicite-Implicite} \newline
   $ \begin{aligned}
    &\text{Euler progressif} &&\text{1} &&\text{1} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\
    &\text{Euler rétrograde} &&\text{1} &&\text{1} &\text{Incond.} &&\text{Impl.} \\
    &\text{Point millieu} &&\text{2} &&\text{1} &\text{Instable} &&\text{Expl.} \\
    &\text{Crank-Nicolson} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Incond.} &&\text{Impl.} \\
    &\text{Heun} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\
    &\text{Euler modifiée} &&\text{1} &&\text{2} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} \\
    &\text{Runge-Kutta} &&\text{1} &&\text{4} &\text{Cond.} &&\text{Expl.} 
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Systèmes d'équations} \newline
  \underline{Problème :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\left \{ \begin{array}{l}
      \vec{y}'(t) = A \cdot \vec{y}(t)) + \vec{b}(t) \\
      \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \\
    \end{array} \right .
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthodes :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\vec{u}_{n+1} = (I + h \cdot A) \cdot \vec{u}_n + h \cdot \vec{b}_n &\text{EP} \\
    &(I - h \cdot A) \cdot \vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{b}_n &\text{ER} \\
    &(I - \frac{h}{2} \cdot A) \cdot \vec{u}_{n+1} = (I + \frac{h}{2} \cdot A) \cdot \vec{u}_n + \frac{h}{2} \cdot (\vec{b}_n + \vec{b}_{n+1}) &\text{CN}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Stabilité :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\lambda_i(A) < 0 &&\forall i\\
    &h < 2/\rho(A) &&\text{pour EP, ER et CN incond. stables}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\textbf{Système d'équations non linéaires} \newline
  \underline{Problème :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\left \{ \begin{array}{l}
      \vec{y}'(t) = \vec{F}(t,\vec{y}(t)) \\
      \vec{y}(t_0) = \vec{y}_0 \\
    \end{array} \right . \\
    & J = \frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{y}}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Méthodes :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{F}(t_n, \vec{u}_n) &\text{EP} \\
    &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + h \cdot \vec{F}(t_{n+1}, \vec{u}_{n+1}) &\text{ER} \\
    &\vec{u}_{n+1} = \vec{u}_n + \frac{h}{2} \cdot [\vec{F}(t_n, \vec{u}_n) + \vec{F}(t_{n+1}, \vec{u}_{n+1})] &\text{CN}
  \end{aligned} $ \newline
  
  \underline{Stabilité :} \newline
  $ \begin{aligned}
    &\lambda_i(J) < 0 &&\forall i\\
    &h < 2/\rho(J) &&\text{pour EP, ER et CN incond. stables}
  \end{aligned} $ \newline
\\ \hline

\end{tabularx}

\end{multicols}

\end{document}