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109
BA1 - Analyse I/BA1 - Analyse I.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,109 @@
\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl}
\input{../Base.tex}
\title{Formulaire d'Analyse I}
\begin{document}
\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\hline
\textbf{Polynômes de Taylor} \newline
$ \begin{aligned}
\e^x & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!}, &&x \in \symbb{R} \\
\sinh \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{\left( 2k+1 \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\
\cosh \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{x^{2k}}{\left( 2k \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\
\sin \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^k \cdot \frac{x^{2k+1}}{\left( 2k+1 \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\
\cos \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^k \cdot \frac{x^{2k}}{\left( 2k \right)!}, &&x \in \symbb{R} \\
\ln \left( 1+x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^{k+1} \cdot \frac{x^k}{k}, &&x \in \left] -1, 1 \right[ \\
\frac{1}{1+x} & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^{k} \cdot x^k, &&x \in \left] -1, 1 \right[ \\
\arctan \left( x \right) & = \sum\limits_{k = 0}^\infty \left( -1 \right)^k \cdot \frac{x^{2k+1}}{2k+1}, &&x \in \left] -1, 1 \right[ \\
\end{aligned} $
&
\textbf{Intégrales} \newline
$ \begin{aligned}
&\int \frac{f' \left( x \right)}{f \left( x \right)} \cdot \dif x && = \ln \abs{f \left( x \right)} + C \\
&\int \frac{f' \left( x \right)}{1+f^2 \left( x \right)} \cdot \dif x && = \arctan \left[ f \left( x \right) \right] + C \\
&\int \left[ f \left( x \right) \right]^\alpha \cdot f' \left( x \right) \cdot \dif x && = \frac{\left[ f \left( x \right) \right]^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C, &\forall \alpha \neq -1 \\
&\int \e^{f \left( x \right)} \cdot f' \left( x \right) \cdot \dif x && = \e^{f \left( x \right)} + C \\
&\int \frac{f' \left( x \right)}{\sqrt{1-f^2 \left( x \right)}} \cdot \dif x && = \arcsin \left[ f \left( x \right) \right] + C \\
\end{aligned} $
\\
\end{tabu}
\nointerlineskip
\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| }
\hline
\textbf{Racine carrée complexe} \newline
$ \begin{aligned}
w = u + v \cdot \im, z = a + b \cdot \im, z^2 = w \\
\begin{cases}
a^2 - b^2 & = u \\
2 \cdot a \cdot b & = v \\
a^2 + b^2 & = \sqrt{u^2 + v^2} \\
\end{cases}
\end{aligned} $
&
\textbf{Somme géométrique} \newline
$ \begin{aligned}
\sum\limits_{k = 0}^n q^k & = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\
\sum\limits_{k = 0}^\infty q^k & = \frac{1}{1-q} \\
\end{aligned} $
&
\\\hline
\textbf{Exponentielle} \newline
$ \begin{aligned}
\cos \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\im \cdot \theta} + \e^{-\im \cdot \theta}}{2} \\
\sin \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\im \cdot \theta} - \e^{-\im \cdot \theta}}{2 \cdot \im} \\
\cosh \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\theta} + \e^{-\theta}}{2} \\
\sinh \left( \theta \right) & = \frac{\e^{\theta} - \e^{-\theta}}{2} \\
\end{aligned} $
&
\textbf{Exponentielle} \newline
$ \begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{L}{n} \right)^n & = \e^L \\
\text{De manière\ générale~:} \\
\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) & = +\infty \\
\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) \cdot h \left( x \right) & = L \\
\lim_{x \to \infty} \left[ 1 + h \left( x \right) \right]^{f \left( x \right)} & = \e^L \\
\end{aligned} $
&
\textbf{Trigonométrie} \newline
$ \begin{aligned}
\cosh^2 \left( x \right) - \sinh^2 \left( x \right) = 1 \\
\cos^2 \left( x \right) + \sin^2 \left( x \right) = 1 \\
\sin \left( x+y \right) = \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( y \right) + \cos \left( x \right) \cdot \sin \left( y \right) \\
\cos \left( x+y \right) = \cos \left( x \right) \cdot \cos \left( y \right) + \sin \left( x \right) \cdot \sin \left( y \right) \\
\sin \left( x \right) + \sin \left( y \right) = 2 \cdot \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \\
\sin \left( x \right) - \sin \left( y \right) = 2 \cdot \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \\
\cos \left( x \right) + \cos \left( y \right) = 2 \cdot \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \\
\cos \left( x \right) - \cos \left( y \right) = -2 \cdot \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\
\end{aligned} $
\\\hline
\end{tabu}
\nointerlineskip
\begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
\textbf{Angles particuliers} \newline
$ \begin{aligned}
\cos \left( 0 \right) = 1 \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \qquad &\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \\
\sin \left( 0 \right) = 0 \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \qquad &\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \\
\end{aligned} $
\\\hline
\textbf{Convergence} \newline
$ \begin{aligned}
&\int_M^\infty x^a \cdot \e^{-bx} \cdot \dif x &\text{ converge pour tout } a \in \symbb{R} \text{ et tout } b > 0 \\
&\int_a^\infty \frac{1}{x^p} \cdot \dif x &\text{ converge si et seulement si } p > 1 \quad \left( a > 0 \right) \\
&\int_0^b \frac{1}{x^p} \cdot \dif x &\text{ converge si et seulement si } p < 1 \\
\end{aligned} $
\\\hline
\end{tabu}
\end{document}

107
BA1 - Analyse/BA1 - Analyse I.tex
View File

@@ -1,107 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
\input{../Common.tex}
\begin{document}
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| }
\hline
\textbf{Polynômes de Taylor} \newline
$\begin{aligned}
e^x &= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}, &x \in \mathbb{R} \\
\sinh(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, &x \in \mathbb{R} \\
\cosh(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}, &x \in \mathbb{R} \\
\sin(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, &x \in \mathbb{R} \\
\cos(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}, &x \in \mathbb{R} \\
\ln(1+x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}, &x \in {]-1,1[} \\
\frac{1}{1+x} &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k} x^k, &x \in {]-1,1[} \\
\arctan(x) &= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}, &x \in {]-1,1[} \\
\end{aligned}$ \newline
&
\textbf{Intégrales} \newline
$\begin{aligned}
&\int \frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x &&= \ln \left|f(x)\right| + C \\
&\int \frac{f'(x)}{1+f^2(x)}\mathrm{d}x &&= \arctan \left[f(x)\right] + C \\
&\int \left[f(x)\right]^\alpha f'(x) \mathrm{d}x &&= \frac{\left[f(x)\right]^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C, &\forall \alpha \neq -1 \\
&\int e^{f(x)} f'(x) \mathrm{d}x &&= e^{f(x)} + C \\
&\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}}\mathrm{d}x &&= \arcsin \left[f(x)\right] + C \\
\end{aligned}$ \newline
\\
\end{tabularx}
\offinterlineskip
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| }
\hline
\textbf{Racine carrée complexe} \newline
$\begin{aligned}
w = u + vi, z = a + bi, z^2 = w \\
\begin{cases}
a^2 - b^2 &= u \\
2ab &= v \\
a^2 + b^2 &= \sqrt{u^2 + v^2} \\
\end{cases}
\end{aligned}$
&
\textbf{Somme géométrique} \newline
$\begin{aligned}
\sum\limits_{k=0}^n q^k &= \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\
\sum\limits_{k=0}^\infty q^k &= \frac{1}{1-q} \\
\end{aligned}$ \newline
&
\\ \hline
\textbf{Exponentielle} \newline
$\begin{aligned}
\cos(\theta) &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\
\sin(\theta) &= \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\
\cosh(\theta) &= \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2} \\
\sinh(\theta) &= \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2} \\
\end{aligned}$ \newline
&
\textbf{Exponentielle} \newline
$\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{L}{n}\right)^n &= e^L \\
\text{De manière\ générale :} \\
\lim_{x \to \infty} f(x) &= +\infty \\
\lim_{x \to \infty} f(x)h(x) &= L \\
\lim_{x \to \infty} \left[1 + h(x)\right]^{f(x)} &= e^L \\
\end{aligned}$ \newline
&
\textbf{Trigonométrie} \newline
$\begin{aligned}
\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \\
\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \\
\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\
\cos(x+y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \\
\sin x + \sin y = 2 \sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \\
\sin x - \sin y = 2 \sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2}) \\
\cos x + \cos y = 2 \cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \\
\cos x - \cos y = -2 \sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) \\
\end{aligned}$ \newline
\\ \hline
\multicolumn{2}{|X|}{
\textbf{Angles particuliers} \newline
$\begin{aligned}
\cos(0) = 1 \quad &\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \quad &\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2} \quad &\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \quad &\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \\
\sin(0) = 0 \quad &\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \quad &\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2} \quad &\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \quad &\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \\
\end{aligned}$ \newline
}
&
\\ \hline
\multicolumn{2}{|X|}{
\textbf{Convergence} \newline
$\begin{aligned}
&\int_M^\infty x^a e^{-bx} \mathrm{d}x &\text{ converge pour tout } a \in \mathbb{R} \text{ et tout } b > 0 \\
&\int_a^\infty \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x &\text{ converge si et seulement si } p > 1 \quad (a > 0) \\
&\int_0^b \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x &\text{ converge si et seulement si } p < 1 \\
\end{aligned}$ \newline
}
&
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}

189
BA1 - Physique I/BA1 - Physique I.tex
View File

@@ -1,82 +1,83 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article} \documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl}
%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
\input{../Common.tex} \input{../Base.tex}
\title{Formulaire de Physique I}
\begin{document} \begin{document}
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| }
\hline \hline
\textbf{Produits vectoriels} \newline \textbf{Produits vectoriels} \newline
$ \vec{e}_x \times \vec{e}_y = -\vec{e}_y \times \vec{e}_x = \vec{e}_z $ \newline $ \vec{e}_x \times \vec{e}_y = -\vec{e}_y \times \vec{e}_x = \vec{e}_z $ \newline
$ \vec{e}_y \times \vec{e}_z = -\vec{e}_z \times \vec{e}_y = \vec{e}_x $ \newline $ \vec{e}_y \times \vec{e}_z = -\vec{e}_z \times \vec{e}_y = \vec{e}_x $ \newline
$ \vec{e}_z \times \vec{e}_x = -\vec{e}_x \times \vec{e}_z = \vec{e}_y $ \newline $ \vec{e}_z \times \vec{e}_x = -\vec{e}_x \times \vec{e}_z = \vec{e}_y $ \newline
$ \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{e}_y \times \vec{e}_y = \vec{e}_z \times \vec{e}_z = \vec{0} $ \newline $ \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{e}_y \times \vec{e}_y = \vec{e}_z \times \vec{e}_z = \vec{0} $
& &
\textbf{MRUA} \newline \textbf{MRUA} \newline
$ r = \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 + v_0 \cdot t + r_0 $ \newline $ r = \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 + v_0 \cdot t + r_0 $ \newline
$ v = a_0 \cdot t + v_0 $ \newline $ v = a_0 \cdot t + v_0 $ \newline
$ a = a_0 $ \newline $ a = a_0 $
& &
\textbf{MCU} \newline \textbf{MCU} \newline
$ a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$ \newline $ a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r $ \newline
$ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ \newline $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ \newline
$ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ \newline $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ \newline
$ \omega \cdot T = 2 \cdot \pi $ \newline $ \omega \cdot T = 2 \cdot \pi $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Moments / Centre de masse} \newline \textbf{Moments / Centre de masse} \newline
$ \vec{L}_O = \vec{r} \times \vec{p} = m \cdot \vec{r} \times \vec{v} $ \newline $ \vec{L}_O = \vec{r} \times \vec{p} = m \cdot \vec{r} \times \vec{v} $ \newline
$ \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} $ \newline $ \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{\dif\vec{L}_O}{\dif t} $ \newline
$ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_{M} \vec{r} \cdot \mathrm{d}m = \frac{1}{M} \int_{V} \vec{r} \cdot \rho(\vec{r}) \cdot \mathrm{d}V $ \newline $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_{M} \vec{r} \cdot \dif m = \frac{1}{M} \int_{V} \vec{r} \cdot \rho \left( \vec{r} \right) \cdot \dif V $ \newline
$ I_{cm,\Delta} = \int_{M} r_\bot^2 \cdot \mathrm{d}m $ \newline $ I_{cm, \Delta} = \int_{M} r_\bot^2 \cdot \dif m $ \newline
$ \vec{L}_{cm,\Delta} = I_{cm,\Delta} \cdot \vec{\omega} $ \newline $ \vec{L}_{cm, \Delta} = I_{cm, \Delta} \cdot \vec{\omega} $ \newline
$ \vec{M}_{cm,\Delta} = I_{cm,\Delta} \cdot \vec{\alpha} $ \newline $ \vec{M}_{cm, \Delta} = I_{cm, \Delta} \cdot \vec{\alpha} $ \newline
$ I = I_{cm} + M \cdot r^2 $ \newline $ I = I_{cm} + M \cdot r^2 $ \newline
$ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \sum m_i \cdot \vec{r}_i $ \newline $ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \sum m_i \cdot \vec{r}_i $
& &
\textbf{Forces} \newline \textbf{Forces} \newline
$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $ \newline $ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $ \newline
$ \vec{F} = m \cdot \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} $ \newline $ \vec{F} = m \cdot \vec{a} = \frac{\dif\vec{p}}{\dif t} $ \newline
$ \vec{F}_f = \mu \cdot \vec{N} $ \newline $ \vec{F}_f = \mu \cdot \vec{N} $ \newline
$ \vec{F}_f = -K \cdot \eta \cdot \vec{v} $ \newline $ \vec{F}_f = -K \cdot \eta \cdot \vec{v} $ \newline
$ W = \int \vec{F} \bullet \mathrm{d}\vec{r} $ \newline $ W = \int \vec{F} \bullet \dif\vec{r} $ \newline
$ P_{inst} = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \vec{F} \bullet \vec{v} $ \newline $ P_{inst} = \frac{\dif W}{\dif t} = \vec{F} \bullet \vec{v} $ \newline
$ P_{moy} = \frac{W}{\Delta t} $ \newline $ P_{moy} = \frac{W}{\Delta t} $
& &
\textbf{Énergie} \newline \textbf{Énergie} \newline
$ W = \Delta E $ \newline $ W = \Delta E $ \newline
$ E_{mec} = E_{cin} + E_{pot} $ \newline $ E_{mec} = E_{cin} + E_{pot} $ \newline
$ E_{mec,sat} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{2 \cdot r} $ \newline $ E_{mec, sat} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{2 \cdot r} $ \newline
$ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 $ \newline $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 $ \newline
$ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot (A^2 - x^2) $ \newline $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot \left( A^2 - x^2 \right) $ \newline
$ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot I_{cm,\Delta} \cdot \omega^2 $ \newline $ E_{cin} = \frac{1}{2} \cdot I_{cm, \Delta} \cdot \omega^2 $ \newline
$ E_{pot} = m \cdot g \cdot h $ \newline $ E_{pot} = m \cdot g \cdot h $ \newline
$ E_{pot} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot x^2 $ \newline $ E_{pot} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega_0^2 \cdot x^2 $ \newline
$ E_{pot} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r} $ \newline $ E_{pot} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Référentiel non-galiléen} \newline \textbf{Référentiel non-galiléen} \newline
$ m \cdot \vec{a}' = \sum \vec{F}_{ext} - m \cdot \vec{a}_e - m \cdot \vec{a}_{Cor} $ \newline $ m \cdot \vec{a}' = \sum \vec{F}_{ext} - m \cdot \vec{a}_e - m \cdot \vec{a}_{Cor} $ \newline
$ - m \cdot \vec{a}_e = - m \cdot \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$ \newline $ - m \cdot \vec{a}_e = - m \cdot \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r} \right) $ \newline
$ - m \cdot \vec{a}_{Cor} = - 2 \cdot m \cdot \vec{\omega} \times \vec{v}' $ \newline $ - m \cdot \vec{a}_{Cor} = - 2 \cdot m \cdot \vec{\omega} \times \vec{v}' $
& &
\textbf{Balistique} \newline \textbf{Balistique} \newline
$ h_{max} = \frac{(v_0 \cdot \sin(\alpha))^2}{2 \cdot g} $ \newline $ h_{max} = \frac{\left( v_0 \cdot \sin \left( \alpha \right) \right)^2}{2 \cdot g} $ \newline
$ p = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2 \cdot \alpha)}{g} $ \newline $ p = \frac{v_0^2 \cdot \sin \left( 2 \cdot \alpha \right)}{g} $
& &
\textbf{Intégrales volumiques} \newline \textbf{Intégrales volumiques} \newline
$ V = \iiint\limits_{cube} \mathrm{d}V = \iiint \mathrm{d}x \cdot \mathrm{d}y \cdot \mathrm{d}z $ \newline $ V = \iiint\limits_{cube} \dif V = \iiint \dif x \cdot \dif y \cdot \dif z $ \newline
$ V = \iiint\limits_{cylindre} \mathrm{d}V = \iiint \rho \cdot \mathrm{d}\rho \cdot \mathrm{d}\varphi \cdot \mathrm{d}z $ \newline $ V = \iiint\limits_{cylindre} \dif V = \iiint \rho \cdot \dif\rho \cdot \dif\varphi \cdot \dif z $ \newline
$ V = \iiint\limits_{boule} \mathrm{d}V = \iiint r^2 \cdot \sin(\theta) \cdot \mathrm{d}r \cdot \mathrm{d}\theta \cdot \mathrm{d}\varphi $ \newline $ V = \iiint\limits_{boule} \dif V = \iiint r^2 \cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \dif r \cdot \dif\theta \cdot \dif\varphi $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Kepler} \newline \textbf{Kepler} \newline
$ \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \cdot \pi^2} $ \hfill 1\textsuperscript{ère} loi \newline $ \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \cdot \pi^2} $ \hfill 1\textsuperscript{ère} loi \newline
$ \frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} \cdot \vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}_O}{2 \cdot m} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} loi \newline $ \frac{\dif\vec{A}}{\dif t} = \frac{1}{2} \cdot \vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}_O}{2 \cdot m} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} loi \newline
$ \vec{F} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \cdot \vec{u_r} $ \hfill 3\textsuperscript{ème} loi \newline $ \vec{F} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \cdot \vec{u_r} $ \hfill 3\textsuperscript{ème} loi \newline
$ T = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}} $ \newline $ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}} $
& &
\textbf{Dérivées usuelles} \newline \textbf{Dérivées usuelles} \newline
$ v = \dot{r} $ \newline $ v = \dot{r} $ \newline
@@ -85,99 +86,85 @@
$ \alpha = \dot{\omega} = \ddot{\varphi} $ \newline $ \alpha = \dot{\omega} = \ddot{\varphi} $ \newline
$ F = \dot{p} $ \newline $ F = \dot{p} $ \newline
$ P = \dot{W} $ \newline $ P = \dot{W} $ \newline
$ M = \dot{L} $ \newline $ M = \dot{L} $
& &
\textbf{} \newline \textbf{Systèmes de coordonnées} \newline
\includegraphics[width=0.25\textwidth,keepaspectratio=true]{./Systèmes de coordonnées.png} \newline \includegraphics[width=0.25\textwidth, keepaspectratio=true]{./Systèmes de coordonnées.png}
\\ \hline \\\hline
\textbf{Ressort / Pendule} \newline \textbf{Ressort / Pendule} \newline
$ \vec{F} = -k \cdot \vec{r} = -k \cdot (\vec{l} - \vec{l}_0) $ \hfill (ressort) \newline $ \vec{F} = -k \cdot \vec{r} = -k \cdot \left( \vec{l} - \vec{l}_0 \right) $ \hfill (ressort) \newline
$ T_0 = \frac{2 \cdot \pi}{\omega_0} $ \newline $ T_0 = \frac{2 \cdot \pi}{\omega_0} $ \newline
$ f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{\omega_0}{2 \cdot \pi} $ \newline $ f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{\omega_0}{2 \cdot \pi} $ \newline
$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ ou } \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} $ \newline $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ ou } \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} $ \newline
$ \ddot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 $ \newline $ \ddot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 $ \newline
$ x(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \Phi) $ \newline $ x \left( t \right) = A_1 \cdot \cos \left( \omega_0 \cdot t + \Phi \right) $
& &
\textbf{Oscillateurs} \newline \textbf{Oscillateurs} \newline
$ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 \mid x = C \cdot e^{\gamma \cdot t} $ \newline $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = 0 \mid x = C \cdot \e^{\gamma \cdot t} $ \newline
$ \gamma = - \lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} $ \newline $ \gamma = - \lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} $ \newline
$ \omega = \sqrt{| \omega_0^2 - \lambda^2 |} $ \newline $ \omega = \sqrt{\abs{\omega_0^2 - \lambda^2}} $ \newline
$ x(t) = A \cdot e^{- \lambda \cdot t} \cdot \cos(\omega \cdot t + \Phi), $ \hfill $ \lambda^2 < \omega_0^2 $ \newline $ x \left( t \right) = A \cdot \e^{- \lambda \cdot t} \cdot \cos \left( \omega \cdot t + \Phi \right), $ \hfill $ \lambda^2 < \omega_0^2 $ \newline
$ x(t) = e^{- \lambda \cdot t} \cdot (A_1 \cdot e^{\omega \cdot t} + A_2 \cdot e^{-\omega \cdot t}), $ \hfill $ \lambda^2 > \omega_0^2 $ \newline $ x \left( t \right) = \e^{- \lambda \cdot t} \cdot \left( A_1 \cdot \e^{\omega \cdot t} + A_2 \cdot \e^{-\omega \cdot t} \right), $ \hfill $ \lambda^2 > \omega_0^2 $ \newline
$ x(t) = (A + B \cdot t) \cdot e^{- \lambda \cdot t}, $ \hfill $ \lambda^2 = \omega_0^2 $ \newline $ x \left( t \right) = \left( A + B \cdot t \right) \cdot \e^{- \lambda \cdot t}, $ \hfill $ \lambda^2 = \omega_0^2 $
& &
\textbf{Oscillateurs forcés} \newline \textbf{Oscillateurs forcés} \newline
$ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = f \cdot \cos(\Omega \cdot t) $ \newline $ \ddot{x} + 2 \cdot \lambda \cdot \dot{x} + \omega_0^2 \cdot x = f \cdot \cos \left( \Omega \cdot t \right) $ \newline
$ x = A(\Omega) \cdot \cos(\Omega \cdot t + \psi) $ \newline $ x = A \left( \Omega \right) \cdot \cos \left( \Omega \cdot t + \psi \right) $ \newline
$ \underline{x} = A(\Omega) \cdot e^{i \cdot \psi(\Omega)} \cdot e^{i \cdot \Omega \cdot t} = x_0 \cdot e^{i \cdot \Omega \cdot t} $ \newline $ \underline{x} = A \left( \Omega \right) \cdot \e^{\im \cdot \psi \left( \Omega \right)} \cdot \e^{\im \cdot \Omega \cdot t} = x_0 \cdot \e^{\im \cdot \Omega \cdot t} $ \newline
$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \lambda = \frac{\chi}{2 \cdot m}, f = \frac{F_e}{m} $ \newline $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \lambda = \frac{\chi}{2 \cdot m}, f = \frac{F_e}{m} $ \newline
$ \omega = \sqrt{w_0^2 - \lambda^2}$ \newline $ \omega = \sqrt{w_0^2 - \lambda^2} $ \newline
$ x_0 = A(\Omega) \cdot e^{i \cdot \psi(\Omega)} = \frac{f}{\omega_0^2 - \Omega^2 + i \cdot 2 \cdot \lambda \cdot \Omega} $ \newline $ x_0 = A \left( \Omega \right) \cdot \e^{\im \cdot \psi \left( \Omega \right)} = \frac{f}{\omega_0^2 - \Omega^2 + \im \cdot 2 \cdot \lambda \cdot \Omega} $ \newline
$ A(\Omega) = \|x_0\| = \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2 \cdot \lambda \cdot \Omega)^2}} $ \newline $ A \left( \Omega \right) = \abs{x_0} = \frac{f}{\sqrt{\left( \omega_0^2 - \Omega^2 \right)^2 + \left( 2 \cdot \lambda \cdot \Omega \right)^2}} $ \newline
$ \psi(\Omega) = \arctan(\frac{\Im(x_0)}{\Re(x_0)}) = \arctan(\frac{-2 \cdot \lambda \cdot \Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}) $ \newline $ \psi \left( \Omega \right) = \arctan \left( \frac{\Im \left( x_0 \right)}{\Re \left( x_0 \right)} \right) = \arctan \left( \frac{-2 \cdot \lambda \cdot \Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2} \right) $ \newline
$ \Omega_r = \sqrt{w_0^2 - 2 \cdot \lambda^2} $ \hfill $ \frac{\mathrm{d}A(\Omega)}{\mathrm{d}\Omega} = 0 $ \newline $ \Omega_r = \sqrt{w_0^2 - 2 \cdot \lambda^2} $ \hfill $ \frac{\dif A \left( \Omega \right)}{\dif\Omega} = 0 $ \newline
$ Q = \frac{\Omega_r}{\Delta \Omega} = \frac{\Omega_r^2}{2 \cdot \lambda \cdot \omega} $ \newline $ Q = \frac{\Omega_r}{\Delta \Omega} = \frac{\Omega_r^2}{2 \cdot \lambda \cdot \omega} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Coordonnées polaires $ (O,\vec{e_r},\vec{e}_{\varphi}) $} \newline \textbf{Coordonnées polaires $ \symbf{\left( O, \vec{e_r}, \vec{e}_{\varphi} \right)} $} \newline
$ \vec{r} = r \cdotbis \vec{e_r} $ \newline $ \vec{r} = r \nocdot \vec{e_r} $ \newline
$ \vec{v} = \dot{r} \cdotbis \vec{e_r} + r \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \vec{v} = \dot{r} \nocdot \vec{e_r} + r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
$ \vec{a} = (\ddot{r} - r \cdotbis \dot{\varphi}^2) \cdotbis \vec{e_r} + (r \cdotbis \ddot{\varphi} + 2 \cdotbis \dot{r} \cdotbis \dot{\varphi}) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \vec{a} = \left( \ddot{r} - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \right) \nocdot \vec{e_r} + \left( r \nocdot \ddot{\varphi} + 2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\varphi} \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e_r} = \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e_r} = \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \cdotbis \vec{e_r} $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \vec{e_r} $
& &
\textbf{Coord. cylindriques $ (O,\vec{e}_{\rho},\vec{e}_{\varphi},\vec{e}_z) $} \newline \textbf{Coord. cylindriques $ \symbf{\left( O, \vec{e}_{\rho}, \vec{e}_{\varphi}, \vec{e}_z \right)} $} \newline
$ \vec{r} = \rho \cdotbis \vec{e}_{\rho} + z \cdotbis \vec{e}_z $ \newline $ \vec{r} = \rho \nocdot \vec{e}_{\rho} + z \nocdot \vec{e}_z $ \newline
$ \vec{v} = \dot{\rho} \cdotbis \vec{e}_{\rho} + \rho \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} + \dot{z} \cdotbis \vec{e}_z $ \newline $ \vec{v} = \dot{\rho} \nocdot \vec{e}_{\rho} + \rho \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} + \dot{z} \nocdot \vec{e}_z $ \newline
$ \vec{a} = (\ddot{\rho} - \rho \cdotbis \dot{\varphi}^2) \cdotbis \vec{e}_{\rho} + (\rho \cdotbis \ddot{\varphi} + 2 \cdotbis \dot{\rho} \cdotbis \dot{\varphi}) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z} \cdotbis \vec{e}_z $ \newline $ \vec{a} = \left( \ddot{\rho} - \rho \nocdot \dot{\varphi}^2 \right) \nocdot \vec{e}_{\rho} + \left( \rho \nocdot \ddot{\varphi} + 2 \nocdot \dot{\rho} \nocdot \dot{\varphi} \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z} \nocdot \vec{e}_z $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\rho} = \dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\rho} = \dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \cdotbis \vec{e}_{\rho} $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \vec{e}_{\rho} $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_z = 0 $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_z = 0 $
& &
\textbf{Coord. sphériques $ (O,\vec{e}_{r},\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\varphi}) $} \newline \textbf{Coord. sphériques $ \symbf{\left( O, \vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta}, \vec{e}_{\varphi} \right)} $} \newline
$ \vec{r} = r \cdotbis \vec{e_r}$ \newline $ \vec{r} = r \nocdot \vec{e_r} $ \newline
$ \vec{v} = \dot{r} \cdotbis \vec{e_r} + r \cdotbis \dot{\theta} \cdotbis \vec{e}_{\theta} + r \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \vec{v} = \dot{r} \nocdot \vec{e_r} + r \nocdot \dot{\theta} \nocdot \vec{e}_{\theta} + r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
$ \vec{a} = \begin{pmatrix} $ \vec{a} = \begin{pmatrix}
\ddot{r} - \dot{r} \cdotbis \dot{\theta}^2 - r \cdotbis \dot{\varphi}^2 \cdotbis \sin^2(\theta) \\ \ddot{r} - \dot{r} \nocdot \dot{\theta}^2 - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right) \\
2 \cdotbis \dot{r} \cdotbis \dot{\theta} + r \cdotbis \ddot{\theta} - r \cdotbis \dot{\varphi}^2 \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \cos(\theta) \\ 2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\theta} + r \nocdot \ddot{\theta} - r \nocdot \dot{\varphi}^2 \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \cos \left( \theta \right) \\
2 \cdotbis \dot{r} \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) + r \cdotbis \ddot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) + 2 \cdotbis r \cdotbis \dot{\varphi} \cdotbis \dot{\theta} \cdotbis \cos(\theta) \\ 2 \nocdot \dot{r} \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) + r \nocdot \ddot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) + 2 \nocdot r \nocdot \dot{\varphi} \nocdot \dot{\theta} \nocdot \cos \left( \theta \right) \\
\end{pmatrix} $ \newline \end{pmatrix} $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e_r} = \dot{\theta} \cdotbis \vec{e}_{\theta} + \dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e_r} = \dot{\theta} \nocdot \vec{e}_{\theta} + \dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\theta} = -\dot{\theta} \cdotbis \vec{e_r} + \dot{\varphi} \cdotbis \cos(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\varphi} $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\theta} = -\dot{\theta} \nocdot \vec{e_r} + \dot{\varphi} \nocdot \cos \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\varphi} $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \cdotbis \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \cdotbis \sin(\theta) \cdotbis \vec{e_r} - \dot{\varphi} \cdotbis \cos(\theta) \cdotbis \vec{e}_{\theta} $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \nocdot \vec{e}_{\varphi} = -\dot{\varphi} \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \vec{e_r} - \dot{\varphi} \nocdot \cos \left( \theta \right) \nocdot \vec{e}_{\theta} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Équations de base} \newline \textbf{Équations de base} \newline
$ \sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} $ \newline $ \sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} $ \newline
$ \sum \vec{M}_O = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{L}_O $ \newline $ \sum \vec{M}_O = \frac{\dif}{\dif t} \vec{L}_O $ \newline
$ \sum \vec{p} = cte $ \newline $ \sum \vec{p} = \cte $ \newline
$ E_i - E_f = 0 $ \newline $ E_i - E_f = 0 $
& &
\textbf{} \newline \textbf{} \newline
% \textbf{Signes} \newline % \textbf{Signes} \newline
% $ r, v, a, \omega, \alpha, F $ \hfill avec \newline % $ r, v, a, \omega, \alpha, F $ \hfill avec \newline
% $ M, L, p $ \hfill sans \newline % $ M, L, p $ \hfill sans
& &
\textbf{Angles} \newline \textbf{Angles} \newline
$ \cos(\pi \pm \alpha) = - \cos(\alpha) $ \newline $ \cos \left( \pi \pm \alpha \right) = - \cos \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \pi + \alpha \right) = - \sin \left( \alpha \right) $ \newline
$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = - \sin(\alpha) $ \newline $ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \left( \alpha \right) $ \newline
$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $ \newline $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \left( \alpha \right) $ \hfill $ \sin \left( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \right) = \cos \left( \alpha \right) $
\\\hline
$ \sin(\pi + \alpha) = - \sin(\alpha) $ \newline \end{tabu}
$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $ \newline
$ \sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \cos(\alpha) $ \newline
\\ \hline
% &
% \textbf{Configurabilité} \newline
% $ a \oldcdot b $ ou $ a b$ \newline
% $ \frac{a}{b} $ ou $ a/b$ \newline
% $ \vec{a} \oldbullet \vec{b} $ ou $ \vec{a} \circ \vec{b} $ \newline
% $ \oldvec{a} $ ou $ \overrightarrow{a} $ ou $ \mathbf{a} $ ou $ \oldvec{\mathbf{a}} $ \newline
% $ \dot{x} $ ou $ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} $ \newline
% $ \ddot{x} $ ou $ \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2} $ \newline
% &
% \\ \hline
\end{tabularx}
\end{document} \end{document}

172
BA2 - Chimie/BA2 - Chimie.tex
View File

@@ -1,18 +1,19 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article} \documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl}
%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
\input{../Common.tex} \input{../Base.tex}
\title{Formulaire de Chimie}
\begin{document} \begin{document}
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\hline \hline
\textbf{Bohr / Hydrogène} \newline \textbf{Bohr / Hydrogène} \newline
$ E_{photon} = h \cdot \nu $ \newline $ E_{photon} = h \cdot \nu $ \newline
$ E_{n} = \frac{-B}{n^2} $ \newline $ E_{n} = \frac{-B}{n^2} $ \newline
$ \Delta E = E_f - E_i = B \cdot \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right) $ \newline $ \Delta E = E_f - E_i = B \cdot \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right) $ \newline
$ \lambda = \frac{h}{m \cdot v} = \frac{c}{\nu} $ \newline $ \lambda = \frac{h}{m \cdot v} = \frac{c}{\nu} $
& &
\textbf{Thermodynamique} \newline \textbf{Thermodynamique} \newline
$ \Delta_r H^0 = \sum n_P \cdot \Delta_f H^0_P - \sum n_R \cdot \Delta_f H^0_R $ \newline $ \Delta_r H^0 = \sum n_P \cdot \Delta_f H^0_P - \sum n_R \cdot \Delta_f H^0_R $ \newline
@@ -20,69 +21,68 @@
$ \Delta_r G^0 = \sum n_P \cdot \Delta_f G^0_P - \sum n_R \cdot \Delta_f G^0_R $ \newline $ \Delta_r G^0 = \sum n_P \cdot \Delta_f G^0_P - \sum n_R \cdot \Delta_f G^0_R $ \newline
$ \Delta_r G^0 = \Delta_r H^0 - T \cdot \Delta_r S^0 $ \hfill Spont. si $ \Delta_r G^0 < 0 $ \newline $ \Delta_r G^0 = \Delta_r H^0 - T \cdot \Delta_r S^0 $ \hfill Spont. si $ \Delta_r G^0 < 0 $ \newline
$ \Delta S_{univers} = \Delta_r S^0 - \frac{\Delta_r H^0}{T} $ \newline $ \Delta S_{univers} = \Delta_r S^0 - \frac{\Delta_r H^0}{T} $ \newline
$ \Delta_r H^0 = \Delta_r U^0 + P \cdot \Delta V = \Delta_r U^0 + R \cdot T \cdot \Delta n $ \newline $ \Delta_r H^0 = \Delta_r U^0 + P \cdot \Delta V = \Delta_r U^0 + R \cdot T \cdot \Delta n $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Équilibres} \newline \textbf{Équilibres} \newline
$ K_c = \frac{\prod [P]^{n_P}}{\prod [R]^{n_R}} $ \newline $ K_c = \frac{\prod \left[ P \right]^{n_P}}{\prod \left[ R \right]^{n_R}} $ \newline
$ K_p = \frac{\prod P_P^{n_P}}{\prod P_R^{n_R}} $ \newline $ K_p = \frac{\prod P_P^{n_P}}{\prod P_R^{n_R}} $ \newline
$ K_c = K_p \cdot ( R \cdot T)^{-\Delta n} $ \newline $ K_c = K_p \cdot \left( R \cdot T \right)^{-\Delta n} $
& &
\textbf{Activités} \newline \textbf{Activités} \newline
$ a_i = \frac{P_i}{P_0} $ \hfill Gaz \newline $ a_i = \frac{P_i}{P_0} $ \hfill Gaz \newline
$ a_i = \frac{c_i}{c_0} $ \hfill Solutés \newline $ a_i = \frac{c_i}{c_0} $ \hfill Solutés \newline
$ a_i = 1 $ \hfill Liquides et solides \newline $ a_i = 1 $ \hfill Liquides et solides \newline
$ K = \frac{\prod a_P^{n_P}}{\prod a_R^{n_R}} $ \newline $ K = \frac{\prod a_P^{n_P}}{\prod a_R^{n_R}} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Équilibres II} \newline \textbf{Équilibres II} \newline
$ \Delta_r G = \Delta_r G^0 + R \cdot T \cdot \ln(Q) $ \newline $ \Delta_r G = \Delta_r G^0 + R \cdot T \cdot \ln \left( Q \right) $ \newline
$ \Delta_r G^0 = -R \cdot T \cdot \ln(K) $ \newline $ \Delta_r G^0 = -R \cdot T \cdot \ln \left( K \right) $ \newline
$ \ln\left(\frac{K_{T_2}}{K_{T_1}}\right) = \frac{\Delta_r H^0}{R} \cdot \frac{T_2 - T_1}{T_2 \cdot T_1} $ \newline $ \ln \left( \frac{K_{T_2}}{K_{T_1}} \right) = \frac{\Delta_r H^0}{R} \cdot \frac{T_2 - T_1}{T_2 \cdot T_1} $ \newline
$ \Delta n = \sum n_P - \sum n_R $ \newline $ \Delta n = \sum n_P - \sum n_R $
& &
\textbf{Acide-Base} \newline \textbf{Acide-Base} \newline
$ K_a = \frac{[A^-][H_3O^+]}{[HA]} $ \newline $ K_a = \frac{\left[ A^- \right] \left[ H_3O^+ \right]}{\left[ HA \right]} $ \newline
$ K_b = \frac{[HA][OH^-]}{[A^-]} $ \newline $ K_b = \frac{\left[ HA \right] \left[ OH^- \right]}{\left[ A^- \right]} $ \newline
$ pX = -\log([X]) $ \newline $ pX = -\log \left( \left[ X \right] \right) $ \newline
$ pK_e = pK_a + pK_b = pH + pOH = 14 $ \hfill Eau \newline $ pK_e = pK_a + pK_b = pH + pOH = 14 $ \hfill Eau \newline
$ \alpha = \sqrt{\frac{K_a}{M}} $ \hfill $ \alpha \leqslant 0.05 $ si faiblement dissocié \newline $ \alpha = \sqrt{\frac{K_a}{M}} $ \hfill $ \alpha \leqslant 0.05 $ si faiblement dissocié \newline
$ pH = pK_a + \log\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right) $ \hfill Solution tampon \newline $ pH = pK_a + \log \left( \frac{\left[ A^- \right]}{\left[ HA \right]} \right) $ \hfill Solution tampon
\\ \hline \\\hline
\textbf{Électrochimie} \newline \textbf{Électrochimie} \newline
$ n = \frac{I \cdot t}{z \cdot F} $ \newline $ n = \frac{I \cdot t}{z \cdot F} $ \newline
$ \eta = \frac{\Delta_r G^0}{\Delta_r H^0} $ \newline $ \eta = \frac{\Delta_r G^0}{\Delta_r H^0} $ \newline
$ \Delta E^0 = E^0_+ - E^0_- $ \hfill Spont. si $ \Delta E^0 > 0 $ \newline $ \Delta E^0 = E^0_+ - E^0_- $ \hfill Spont. si $ \Delta E^0 > 0 $ \newline
$ \Delta_r G^0 = -z \cdot F \cdot \Delta E^0 $ \newline $ \Delta_r G^0 = -z \cdot F \cdot \Delta E^0 $ \newline
$ \ln(K) = -\frac{\Delta_r G^0}{R \cdot T} = \frac{z \cdot F \cdot \Delta E^0}{R \cdot T} $ \newline $ \ln \left( K \right) = -\frac{\Delta_r G^0}{R \cdot T} = \frac{z \cdot F \cdot \Delta E^0}{R \cdot T} $ \newline
$ E_{Ox/Red} = E^0_{Ox/Red} + 2.3 \cdot \frac{R \cdot T}{z \cdot F} \cdot \log\left(\frac{[Ox]^{n_{Ox}}}{[Red]^{n_{Red}}}\right) $ \newline $ E_{Ox/Red} = E^0_{Ox/Red} + 2.3 \cdot \frac{R \cdot T}{z \cdot F} \cdot \log \left( \frac{\left[ Ox \right]^{n_{Ox}}}{\left[ Red \right]^{n_{Red}}} \right) $
& &
\textbf{Cinétique} \newline \textbf{Cinétique} \newline
$ v = -\frac{1}{n_R} \cdot \frac{\mathrm{d}[R]}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{n_P} \cdot \frac{\mathrm{d}[P]}{\mathrm{d}t} $ \newline $ v = -\frac{1}{n_R} \cdot \frac{\dif \left[ R \right]}{\dif t} = \frac{1}{n_P} \cdot \frac{\dif \left[ P \right]}{\dif t} $ \newline
$ \tau_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} $ \hfill Ordre 1 \newline $ \tau_{1/2} = \frac{\ln \left( 2 \right)}{k} $ \hfill Ordre 1 \newline
$ \tau_{1/2} = \frac{1}{k \cdot [A]_0} $ \hfill Ordre 2 \newline $ \tau_{1/2} = \frac{1}{k \cdot \left[ A \right]_0} $ \hfill Ordre 2 \newline
$ k = A_f \cdot e^{-\frac{E_a}{R \cdot T}} $ \newline $ k = A_f \cdot \e^{-\frac{E_a}{R \cdot T}} $ \newline
$ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \cdot \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) $ \newline $ \ln \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{R} \cdot \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) $ \newline
$ \Delta_r H^0 = E_a^\rightarrow - E_a^\leftarrow $ \newline $ \Delta_r H^0 = E_a^ \rightarrow - E_a^ \leftarrow $
\\ \hline \\\hline
\end{tabularx} \end{tabu}
\offinterlineskip \nointerlineskip
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| }
\textbf{Loi de vitesse} & \textbf{Loi intégrée} & \textbf{Forme linéaire} \\ \textbf{Loi de vitesse} & \textbf{Loi intégrée} & \textbf{Forme linéaire} \\
$ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t} = k $ \hfill Ordre 0 & $ [A]_t = [A]_0 - k \cdot t $ & $ [A]_t = [A]_0 - k \cdot t $ \\ $ -\frac{\dif \left[ A \right]}{\dif t} = k $ \hfill Ordre 0 & $ \left[ A \right]_t = \left[ A \right]_0 - k \cdot t $ & $ \left[ A \right]_t = \left[ A \right]_0 - k \cdot t $ \\
$ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t} = k \cdot [A] $ \hfill Ordre 1 & $ [A]_t = [A]_0 \cdot e^{-k \cdot t} $ & $ \ln([A]_t) = \ln([A]_0) - k \cdot t $ \\ $ -\frac{\dif \left[ A \right]}{\dif t} = k \cdot \left[ A \right] $ \hfill Ordre 1 & $ \left[ A \right]_t = \left[ A \right]_0 \cdot \e^{-k \cdot t} $ & $ \ln \left( \left[ A \right]_t \right) = \ln \left( \left[ A \right]_0 \right) - k \cdot t $ \\
$ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t} = k \cdot [A]^2 $ \hfill Ordre 2 & $ [A]_t = \frac{[A]_0}{1 + k \cdot t \cdot [A]_0} $ & $ \frac{1}{[A]_t} = \frac{1}{[A]_0} + k \cdot t $ \newline \\ $ -\frac{\dif \left[ A \right]}{\dif t} = k \cdot \left[ A \right]^2 $ \hfill Ordre 2 & $ \left[ A \right]_t = \frac{\left[ A \right]_0}{1 + k \cdot t \cdot \left[ A \right]_0} $ & $ \frac{1}{\left[ A \right]_t} = \frac{1}{\left[ A \right]_0} + k \cdot t $ \newline \\
\hline \hline
\end{tabularx} \end{tabu}
\nointerlineskip
\offinterlineskip \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| }
\textbf{Constantes} \newline \textbf{Constantes} \newline
$ N_A = \SI{6.02e23}{mol^{-1}} $ \newline $ N_A = \SI{6.02e23}{mol^{-1}} $ \newline
@@ -90,18 +90,19 @@
$ B = \SI{2.179e-18}{J} $ \newline $ B = \SI{2.179e-18}{J} $ \newline
$ F = \SI{96487}{C.mol^{-1}} $ \newline $ F = \SI{96487}{C.mol^{-1}} $ \newline
$ R = \SI{0.0821}{L.atm.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline $ R = \SI{0.0821}{L.atm.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline
$ R = \SI{0.0831}{L.bar.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline $ R = \SI{0.0831}{L.bar.K^{-1}.mol^{-1}} $
& &
\textbf{Conditions} \newline \textbf{Conditions} \newline
Conditions normales : \SI{101.3}{kPa} et \SI{0}{°C} \newline Conditions normales~: \SI{101.3}{kPa} et \SI{0}{°C} \newline
Conditions standards : \SI{1}{bar} et \SI{25}{°C} \newline \newline Conditions standards~: \SI{1}{bar} et \SI{25}{°C} \newline
$ R = \SI{8.314}{L.kPa.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline $ R = \SI{8.314}{L.kPa.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline
$ R = \SI{8.314}{J.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline $ R = \SI{8.314}{J.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline
$ R = \SI{8.314}{m^3.Pa.K^{-1}.mol^{-1}} $ \newline $ R = \SI{8.314}{m^3.Pa.K^{-1}.mol^{-1}} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Construction d'une molécule} \newline \textbf{Construction d'une molécule} \newline
\begin{itemize} \vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt]
\item Dénombrer les électrons de valence de tous les atomes de la molécule ou de l’ion. \item Dénombrer les électrons de valence de tous les atomes de la molécule ou de l’ion.
\item Dessiner le squelette de la molécule en reliant les atomes les un aux autres par une pair d’électrons; l’atome le moins électronégatif occupe la place centrale. \item Dessiner le squelette de la molécule en reliant les atomes les un aux autres par une pair d’électrons; l’atome le moins électronégatif occupe la place centrale.
\item Compléter les octets des atomes liés à l’atome central. \item Compléter les octets des atomes liés à l’atome central.
@@ -110,16 +111,18 @@
\end{itemize} \end{itemize}
& &
\textbf{Équilibrage d'une réaction} \newline \textbf{Équilibrage d'une réaction} \newline
\begin{itemize} \vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt]
\item Repérer les éléments dont le degré d’oxydation (DO) change au cours de la réaction. \item Repérer les éléments dont le degré d’oxydation (DO) change au cours de la réaction.
\item Le nombre d’électrons cédés par le réducteur doit être égal au nombre d’électrons acquis par l’oxydant. Ceci permet de trouver quatre coefficients. \item Le nombre d’électrons cédés par le réducteur doit être égal au nombre d’électrons acquis par l’oxydant. Ceci permet de trouver quatre coefficients.
\item S’il figure dans l’équation d’autres substances dont le DO n’est pas modifié, le coefficient de ces substances est déterminé par un bilan de masse. \item S’il figure dans l’équation d’autres substances dont le DO n’est pas modifié, le coefficient de ces substances est déterminé par un bilan de masse.
\item Si des réactifs et/ou des produits sont des ions, il faut vérifier le calcul par un bilan de charges. \item Si des réactifs et/ou des produits sont des ions, il faut vérifier le calcul par un bilan de charges.
\end{itemize} \end{itemize}
\\ \hline \\\hline
\textbf{Formes} \newline \textbf{Formes} \newline
\begin{itemize} \vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt]
\item Linéaire (sp). \item Linéaire (sp).
\item Coudée (sp²). \item Coudée (sp²).
\item Trigonale plane (sp²). \item Trigonale plane (sp²).
@@ -128,57 +131,58 @@
\end{itemize} \end{itemize}
& &
\textbf{Nombres quantiques} \newline \textbf{Nombres quantiques} \newline
\begin{itemize} \vspace{-\baselineskip}
\item Principal : $ n \geqslant 1 $ \hfill Couche \begin{itemize}[noitemsep, topsep=0pt]
\item Secondaire : $ 0 \leqslant l \leqslant n-1 $ \hfill Forme \item Principal~: $ n \geqslant 1 $ \hfill Couche
\item Magnétique : $ -l \leqslant m_l \leqslant l $ \hfill Orientation \item Secondaire~: $ 0 \leqslant l \leqslant n-1 $ \hfill Forme
\item Spin : $ m_s = \pm 1/2 $ \hfill Sens de rotation sur lui-même \item Magnétique~: $ -l \leqslant m_l \leqslant l $ \hfill Orientation
\item Spin~: $ m_s = \pm 1/2 $ \hfill Sens de rotation sur lui-même
\end{itemize} \end{itemize}
\\ \hline \\\hline
\end{tabularx} \end{tabu}
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\hline \hline
\textbf{Rayon atomique} \newline\newline \textbf{Rayon atomique} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Rayon atomique.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Rayon atomique.png}
& &
\textbf{Électronégativité} \newline\newline \textbf{Électronégativité} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Électronégativité.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Électronégativité.png}
\\ \hline \\\hline
\textbf{Pouvoir oxydant} \newline\newline \textbf{Pouvoir oxydant} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Pouvoir oxydant.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Pouvoir oxydant.png}
& &
\textbf{Énergie de ionisation} \newline\newline \textbf{Énergie de ionisation} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Énergie de ionisation.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Énergie de ionisation.png}
\\ \hline \\\hline
\textbf{Caractère métallique} \newline\newline \textbf{Caractère métallique} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Caractère métallique.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Caractère métallique.png}
& &
\textbf{Résumé} \newline\newline \textbf{Résumé} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Résumé.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Résumé.png}
\\ \hline \\\hline
\textbf{Géométrie} \newline\newline \textbf{Géométrie} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Géométrie.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Géométrie.png}
& &
\textbf{Titrage} \newline\newline \textbf{Titrage} \newline
{ {
\begin{tabularx}{\textwidth}{cc} \begin{tabu}to \textwidth{cc}
\includegraphics[width=0.2\textwidth,keepaspectratio=true]{./Titrage acide fort.png} \newline & \includegraphics[width=0.2\textwidth, keepaspectratio=true]{./Titrage acide fort.png} \newline &
\includegraphics[width=0.2\textwidth,keepaspectratio=true]{./Titrage acide faible.png} \newline \includegraphics[width=0.2\textwidth, keepaspectratio=true]{./Titrage acide faible.png} \newline
\end{tabularx} \end{tabu}
} }
\\ \hline \\\hline
\textbf{Remplissage} \newline\newline \textbf{Remplissage} \newline
\includegraphics[width=0.45\textwidth,keepaspectratio=true]{./Remplissage.png} \newline \includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio=true]{./Remplissage.png}
& &
\textbf{} \newline\newline \textbf{}
\\ \hline \\\hline
\end{tabularx} \end{tabu}
\end{document} \end{document}

189
BA2 - Physique II/BA2 - Physique II.tex
View File

@@ -1,236 +1,237 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article} \documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl}
%\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
\input{../Common.tex} \input{../Base.tex}
\title{Formulaire de Physique II}
\begin{document} \begin{document}
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\hline \hline
\textbf{Potentiels} \newline \textbf{Potentiels} \newline
$ F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} $ \newline $ F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} $ \newline
$ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} $ \newline $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} $
& &
\textbf{Lagrange} \newline \textbf{Lagrange} \newline
$ U = \sum m \cdot g \cdot h + \sum \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 $ \newline $ U = \sum m \cdot g \cdot h + \sum \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 $ \newline
$ T = \sum \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \sum \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 $ \newline $ T = \sum \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \sum \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 $ \newline
$ L = T -U $ \newline $ L = T -U $ \newline
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{q_j}} L \right) - \frac{\partial}{\partial q_j} L = 0 $ \newline $ \frac{\dif}{\dif t} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{q_j}} L \right) - \frac{\partial}{\partial q_j} L = 0 $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Gaz} \newline \textbf{Gaz} \newline
$ P \cdot V = n \cdot R \cdot T = N \cdot k_B \cdot T $ \hfill Parfait \newline $ P \cdot V = n \cdot R \cdot T = N \cdot k_B \cdot T $ \hfill Parfait \newline
$ \left( p + \frac{n^2 \cdot a}{V^2} \right) (V -n \cdot b) = n \cdot R \cdot T $ \hfill Van der Waals \newline $ \left( p + \frac{n^2 \cdot a}{V^2} \right) \left( V -n \cdot b \right) = n \cdot R \cdot T $ \hfill Van der Waals
& &
\textbf{Maxwell-Boltzmann} \newline \textbf{Maxwell-Boltzmann} \newline
$ P_i = Cst \cdot e^{-\frac{E_i}{k_B \cdot T}} $ \newline $ P_i = \cte \cdot \e^{-\frac{E_i}{k_B \cdot T}} $ \newline
$ \sum P_i = 1 $ \newline $ \sum P_i = 1 $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Lois thermodynamiques} \newline \textbf{Lois thermodynamiques} \newline
$ \mathrm{d} U = \delta W + \delta Q $ \hfill 1\textsuperscript{ère} \newline $ \dif U = \delta W + \delta Q $ \hfill 1\textsuperscript{ère} \newline
$ \mathrm{d} S = \delta S_{ext} + \delta S_{int} = \frac{\delta Q}{T} + \delta S_{int} $ \hfill 2\textsuperscript{ème} \newline $ \dif S = \delta S_{ext} + \delta S_{int} = \frac{\delta Q}{T} + \delta S_{int} $ \hfill 2\textsuperscript{ème}
& &
\textbf{Énergies} \newline \textbf{Énergies} \newline
$ U = \frac{f}{2} \cdot n \cdot R \cdot T $ \newline $ U = \frac{f}{2} \cdot n \cdot R \cdot T $ \newline
$ H = U + P \cdot V = \frac{f}{2} \cdot n \cdot R \cdot T + n \cdot R \cdot T $ \newline $ H = U + P \cdot V = \frac{f}{2} \cdot n \cdot R \cdot T + n \cdot R \cdot T $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Isentropie} \newline \textbf{Isentropie} \newline
$ P \cdot V^\gamma = cte $ \newline $ P \cdot V^\gamma = \cte $ \newline
$ T \cdot V^{\gamma - 1} = cte $ \newline $ T \cdot V^{\gamma - 1} = \cte $
& &
\textbf{Énergies II} \newline \textbf{Énergies II} \newline
$ U = C_v \cdot \Delta T $ \newline $ U = C_v \cdot \Delta T $ \newline
$ Q = C_v \cdot \Delta T $ \hfill Isochore \newline $ Q = C_v \cdot \Delta T $ \hfill Isochore \newline
$ Q = C_p \cdot \Delta T $ \hfill Isobare \newline $ Q = C_p \cdot \Delta T $ \hfill Isobare \newline
$ W = - \int p_{ext} \cdot \mathrm{d}V = -W_{ext}$ \newline $ W = - \int p_{ext} \cdot \dif V = -W_{ext} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Chaleurs} \newline \textbf{Chaleurs} \newline
$ C_p = C_v \cdot \gamma $ \newline $ C_p = C_v \cdot \gamma $ \newline
$ C_p = C_v + n \cdot R $ \newline $ C_p = C_v + n \cdot R $ \newline
$ C_v = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{n \cdot R}{\gamma -1} $ \newline $ C_v = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{n \cdot R}{\gamma -1} $ \newline
$ C_p = \frac{\partial H}{\partial T} = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma -1} $ \newline $ C_p = \frac{\partial H}{\partial T} = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma -1} $
& &
\textbf{Rendements} \newline \textbf{Rendements} \newline
$ \eta_{Carnot} = \frac{T_c - T_f}{T_c} $ \newline $ \eta_{Carnot} = \frac{T_c - T_f}{T_c} $ \newline
$ \eta = -\frac{W}{Q_c} $ \hfill Moteur \newline $ \eta = -\frac{W}{Q_c} $ \hfill Moteur \newline
$ \eta = -\frac{Q_c}{W} $ \hfill Récepteur chauffant \newline $ \eta = -\frac{Q_c}{W} $ \hfill Récepteur chauffant \newline
$ \eta = \frac{Q_f}{W} $ \hfill Récepteur refroidissant \newline $ \eta = \frac{Q_f}{W} $ \hfill Récepteur refroidissant
\\ \hline \\\hline
\textbf{Cycle} \newline \textbf{Cycle} \newline
$ \circlearrowright $ Cycle moteur \newline $ \circlearrowright $ Cycle moteur \newline
$ \circlearrowleft $ Cycle récepteur \newline $ \circlearrowleft $ Cycle récepteur
& &
\textbf{Cycle II} \newline \textbf{Cycle II} \newline
$ \Delta U = 0 = W + Q_c + Q_f $ \newline $ \Delta U = 0 = W + Q_c + Q_f $ \newline
$ \Delta S = 0 = \int \frac{\delta Q_c}{T} + \int \frac{\delta Q_f}{T} + S_{int}$ \newline $ \Delta S = 0 = \int \frac{\delta Q_c}{T} + \int \frac{\delta Q_f}{T} + S_{int} $ \newline
$ W = - (Q_c + Q_f) $ \newline $ W = - \left( Q_c + Q_f \right) $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Conductibilité} \newline \textbf{Conductibilité} \newline
$ \lambda = \frac{1}{\rho \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \pi \cdot R^2} $ \newline $ \lambda = \frac{1}{\rho \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \pi \cdot R^2} $ \newline
$ \rho = \frac{p}{k_B \cdot T} $ \newline $ \rho = \frac{p}{k_B \cdot T} $ \newline
$ J_Q = -k \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \newline $ J_Q = -k \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \newline
$ \frac{\partial Q}{\partial T} = A \cdot \alpha \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \hfill $ \lambda \ll d $ \newline $ \frac{\partial Q}{\partial T} = A \cdot \alpha \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \hfill $ \lambda \ll d $ \newline
$ \frac{\partial Q}{\partial T} = \mathrm{d}A \cdot \kappa \cdot \Delta T $ \hfill $ \lambda \gg d $ \newline $ \frac{\partial Q}{\partial T} = \dif A \cdot \kappa \cdot \Delta T $ \hfill $ \lambda \gg d $
& &
\textbf{Diffusion} \newline \textbf{Diffusion} \newline
$ \frac{\partial \rho \cdot u}{\partial t} + \frac{\partial J_U}{\partial x} = \sigma_U $ \newline $ \frac{\partial \rho \cdot u}{\partial t} + \frac{\partial J_U}{\partial x} = \sigma_U $ \newline
$ J_U = -\lambda \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \newline $ J_U = -\lambda \cdot \frac{\partial T}{\partial x} $ \newline
$ \frac{\partial \rho \cdot u}{\partial t} - \lambda \cdot \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \sigma_U $ \newline $ \frac{\partial \rho \cdot u}{\partial t} - \lambda \cdot \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \sigma_U $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Lennard-Jones} \newline \textbf{Lennard-Jones} \newline
$ E = 4 \cdot \varepsilon_0 \cdot \left( \left( \frac{r_1}{r} \right)^{12} - \left( \frac{r_1}{r} \right)^6 \right) $ \newline $ E = 4 \cdot \varepsilon_0 \cdot \left( \left( \frac{r_1}{r} \right)^{12} - \left( \frac{r_1}{r} \right)^6 \right) $ \newline
$ E = \varepsilon_0 \cdot \left( \left( \frac{r_0}{r} \right)^{12} - 2 \cdot \left( \frac{r_0}{r} \right)^6 \right) $ \newline $ E = \varepsilon_0 \cdot \left( \left( \frac{r_0}{r} \right)^{12} - 2 \cdot \left( \frac{r_0}{r} \right)^6 \right) $
& &
\textbf{Lennard-Jones II} \newline \textbf{Lennard-Jones II} \newline
\includegraphics[width=0.2\textwidth,keepaspectratio=true]{./Potentiel de Lennard-Jones.png} \newline \includegraphics[width=0.2\textwidth, keepaspectratio=true]{./Potentiel de Lennard-Jones.png}
\\ \hline
\end{tabularx}
\offinterlineskip
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X| }
\textbf{Diagramme de phase} \newline\newline
\includegraphics[width=0.3\textwidth,keepaspectratio=true]{./Diagramme de phase.png} \newline
&
\textbf{Diagramme P-V} \newline\newline
\includegraphics[width=0.3\textwidth,keepaspectratio=true]{./Diagramme P-V.png} \newline
&
\textbf{Diagramme P-T} \newline\newline
\includegraphics[width=0.3\textwidth,keepaspectratio=true]{./Diagramme P-T.png} \newline
\\\hline \\\hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X|X|X|X| } \end{tabu}
\nointerlineskip
\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X| }
\textbf{Diagramme de phase} \newline
\includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Diagramme de phase.png}
&
\textbf{Diagramme P-V} \newline
\includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Diagramme P-V.png}
&
\textbf{Diagramme P-T} \newline
\includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Diagramme P-T.png}
\\\hline
\end{tabu}
\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X|X|X|X| }
\hline \hline
\textit{Résultats uniquement pour le cas réversible} & Isotherme & Isobare & Isochore & Adiabatique \textit{Résultats uniquement pour le cas réversible} & Isotherme & Isobare & Isochore & Adiabatique
\\\hline \\\hline
Constantes & Constantes &
$\begin{aligned} P \cdot V = cte \end{aligned}$ & $ \begin{aligned} P \cdot V = \cte \end{aligned} $ &
$\begin{aligned} \frac{V}{T} = cte \end{aligned}$ & $ \begin{aligned} \frac{V}{T} = \cte \end{aligned} $ &
$\begin{aligned} \frac{P}{T} = cte \end{aligned}$ & $ \begin{aligned} \frac{P}{T} = \cte \end{aligned} $ &
$\begin{aligned} P \cdot V^\gamma = cte \\ T \cdot V^{\gamma - 1} = cte \end{aligned}$ $ \begin{aligned} P \cdot V^\gamma = \cte \\ T \cdot V^{\gamma - 1} = \cte \end{aligned} $
\\\hline \\\hline
Énergie interne & Énergie interne &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta U &= 0 \Delta U & = 0
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta U &= C_v \cdot \Delta T \\ \Delta U & = C_v \cdot \Delta T \\
&= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\
&= \frac{p_0}{\gamma - 1} \Delta V \\ & = \frac{p_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta V \\
&= C_v \cdot \frac{T_0}{V_0} \cdot \Delta V & = C_v \cdot \frac{T_0}{V_0} \cdot \Delta V
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta U &= C_v \cdot \Delta T \\ \Delta U & = C_v \cdot \Delta T \\
&= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\
&= \frac{V_0}{\gamma - 1} \Delta p \\ & = \frac{V_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta p \\
&= C_v \cdot \frac{T_0}{p_0} \cdot \Delta p & = C_v \cdot \frac{T_0}{p_0} \cdot \Delta p
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta U &= C_v \cdot \Delta T \\ \Delta U & = C_v \cdot \Delta T \\
&= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\
&= \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \Delta (V^{1-\gamma}) & = \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \cdot \Delta \left( V^{1-\gamma} \right)
\end{aligned} \end{aligned}
$ $
\\\hline \\\hline
Chaleur & Chaleur &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
Q &= n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ Q & = n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\
&= n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ & = n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
Q &= C_p \cdot \Delta T \\ Q & = C_p \cdot \Delta T \\
&= \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ & = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\
&= \frac{\gamma \cdot p_0}{\gamma - 1} \Delta V \\ & = \frac{\gamma \cdot p_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta V \\
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
Q &= C_v \cdot \Delta T \\ Q & = C_v \cdot \Delta T \\
&= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\
&= \frac{V_0}{\gamma - 1} \Delta p \\ & = \frac{V_0}{\gamma - 1} \cdot \Delta p \\
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
Q &= 0 Q & = 0
\end{aligned} \end{aligned}
$ $
\\\hline \\\hline
Travail & Travail &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
W &= -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ W & = -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\
&= -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ & = -n \cdot R \cdot T_0 \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
W &= -p_0 \cdot \Delta V \\ W & = -p_0 \cdot \Delta V \\
&= -n \cdot R \cdot \Delta T \\ & = -n \cdot R \cdot \Delta T \\
&= -p_0 \cdot \frac{V_0}{T_0} \cdot \Delta V \\ & = -p_0 \cdot \frac{V_0}{T_0} \cdot \Delta V \\
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
W &= 0 \\ W & = 0 \\
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
W &= C_v \cdot \Delta T \\ W & = C_v \cdot \Delta T \\
&= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \Delta T \\ & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \Delta T \\
&= \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \Delta (V^{1-\gamma}) & = \frac{p_0 \cdot V_0^\gamma}{\gamma - 1} \cdot \Delta \left( V^{1-\gamma} \right)
\end{aligned} \end{aligned}
$ $
\\\hline \\\hline
Entropie & Entropie &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta S &= n \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ \Delta S & = n \cdot R \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\
&= n \cdot R \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ & = n \cdot R \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta S &= C_p \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ \Delta S & = C_p \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\
&= \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{V_1}{V_0} \\ & = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{V_1}{V_0} \right) \\
&= C_p \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} \\ & = C_p \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right) \\
&= \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} & = \frac{\gamma \cdot n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right)
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta S &= C_v \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ \Delta S & = C_v \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\
&= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{p_1}{p_0} \\ & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{p_1}{p_0} \right) \\
&= C_v \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} \\ & = C_v \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right) \\
&= \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \frac{T_1}{T_0} & = \frac{n \cdot R}{\gamma - 1} \cdot \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right)
\end{aligned} \end{aligned}
$ & $ &
$ $
\begin{aligned} \begin{aligned}
\Delta S &= 0 \Delta S & = 0
\end{aligned} \end{aligned}
$ $
\\\hline \\\hline
\end{tabularx} \end{tabu}
\end{document} \end{document}

12
BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - 2 pages.tex
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\title{Formulaire d'Analyse numérique}
\begin{document} \begin{document}
% \pagestyle{plain} \includepdf[width=0.5\textwidth, pages={-}, nup=2x2, pagecommand={\thispagestyle{scrheadings}}]{BA3 - Analyse numérique - Pour inclusion.pdf}
\includepdf[width=0.5\textwidth,pages={-},nup=2x2]{BA3 - Analyse numérique.pdf}
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1046
BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique - Contenu.tex Normal file
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\title{Formulaire d'Analyse numérique}
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1058
BA3 - Analyse numérique/BA3 - Analyse numérique.tex
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410
BA3 - Physique III/BA3 - Physique III.tex
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\title{Formulaire de Physique III}
\begin{document} \begin{document}
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\hline \hline
\textbf{Fluides} \newline
$ \dif\vec{F} = - P \cdot \dif\vec{\sigma} $ \newline
$ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \bullet \left( \rho \cdot \vec{v} \right) = 0 $ \hfill Éq. de continuité \newline
$ \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot z + P = const $ \hfill Éq. de Bernoulli \newline
$ - \nabla P + \rho \cdot \vec{g} + \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} = \rho \cdot \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \bullet \nabla \right) \vec{v} \right) $ \hfill Éq. d'Euler \newline
$ \dif \vec{x} \parallel \vec{v} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\dif x}{\dif y} = \frac{v_x}{v_y} $ \hfill Lignes de courant
&
\textbf{Fluides II} \newline
$ \Delta P = \frac{8 \cdot \eta \cdot L \cdot D}{\pi \cdot R^4} $ \hfill Loi de Poiseuille \newline
$ v \left( r \right) = \frac{\Delta P}{4 \cdot \eta \cdot L} \cdot \left( R^2 - r^2 \right) $ \hfill Profil de vitesse de Poiseuille \newline
$ \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \frac{S \cdot \left( \vec{v}_{sup} - \vec{v}_{inf} \right)}{d} $ \newline
$ \dif \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} \cdot \dif V $ \newline
$ \frac{\dif E}{\dif t} = -\Phi_{en} + \frac{\dif W}{\dif t} $
\\\hline
\textbf{Équations de Maxwell} \newline \textbf{Équations de Maxwell} \newline
$ \nabla \bullet \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \hspace{15mm} \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $ \newline $ \begin{array}{@{}l@{\qquad\qquad}l} \nabla \bullet \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} & \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} \\ \nabla \bullet \vec{B} = 0 & \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \cdot \vec{j} + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \end{array} $
$ \nabla \bullet \vec{B} = 0 \hspace{17mm} \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \cdot \vec{j} + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $ \newline
& &
\textbf{Formes intégrales} \newline \textbf{Formes intégrales} \newline
$ \oiint_\Sigma \vec{E} \bullet \dif\vec{\sigma} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} \hspace{21mm} = \Phi_E $ \hfill Th. de Gauss \newline $ \oiint_\Sigma \vec{E} \bullet \dif\vec{\sigma} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} = \Phi_E $ \hfill Th. de Gauss \newline
$ \oint_\Gamma \vec{B} \bullet \dif\vec{l} = \mu_0 \cdot I + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\dif \Phi_E}{\dif t} \hspace{8mm} I_d = \varepsilon_0 \cdot \frac{\dif \Phi_E}{\dif t} $ \hfill Th. d'Ampère \newline $ \oint_\Gamma \vec{B} \bullet \dif\vec{l} = \mu_0 \cdot I + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\dif \Phi_E}{\dif t} \hspace{8mm} I_d = \varepsilon_0 \cdot \frac{\dif \Phi_E}{\dif t} $ \hfill Th. d'Ampère \newline
$ V = \oint_\Gamma \vec{E} \bullet \dif\vec{l} = - \frac{\dif \Phi_M}{\dif t} $ \hfill Induction \newline $ V = \oint_\Gamma \vec{E} \bullet \dif\vec{l} = - \frac{\dif \Phi_M}{\dif t} $ \hfill Induction
\\ \hline \\\hline
\end{tabularx} \end{tabu}
\offinterlineskip \nointerlineskip
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
\textbf{Électrostatique} \newline \textbf{Électrostatique} \newline
$ \vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \left( \sum q_i \cdot \frac{\vec{r}-\vec{r_i}}{|\vec{r}-\vec{r_i}|^3} + \int_\Gamma \frac{\lambda(\vec{r}') \cdot (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma(\vec{r}') \cdot (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho(\vec{r}') \cdot (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \cdot \dif V \right) $ \newline $ \vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \sum q_i \cdot \frac{\vec{r}-\vec{r_i}}{\abs{\vec{r}-\vec{r_i}}^3} + \int_\Gamma \frac{\lambda \left( \vec{r}' \right) \cdot \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}^3} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma \left( \vec{r}' \right) \cdot \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}^3} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho \left( \vec{r}' \right) \cdot \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}^3} \cdot \dif V \right) $ \newline
$ V = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \left( \sum q_i \cdot \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_i}|} + \int_\Gamma \frac{\lambda(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \cdot \dif V \right) $ \newline $ V = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left( \sum q_i \cdot \frac{1}{\abs{\vec{r}-\vec{r_i}}} + \int_\Gamma \frac{\lambda \left( \vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}} \cdot \dif l + \iint_\Sigma \frac{\sigma \left( \vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}} \cdot \dif\sigma + \iiint_V \frac{\rho \left( \vec{r}' \right)}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}} \cdot \dif V \right) $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Magnétostatique} \newline \textbf{Magnétostatique} \newline
$ \vec{B} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4 \cdot \pi} \oint_\Gamma \frac{\vec{u}_t \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif l = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \iiint_V \frac{\vec{j}(\vec{x}') \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif^3 x' $ \hfill Loi de Biot-Savart \newline $ \vec{B} = \frac{\mu_0 \cdot I}{4 \cdot \pi} \cdot \oint_\Gamma \frac{\vec{u}_t \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif l = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \cdot \iiint_V \frac{\vec{j} \left( \vec{x}' \right) \times \vec{u}_r}{r^2} \cdot \dif^3 x' $ \hfill Loi de Biot-Savart
\\ \hline \\\hline
\end{tabularx} \end{tabu}
\offinterlineskip \nointerlineskip
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| } \begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\textbf{Dipôle électrique} \newline \textbf{Dipôle électrique} \newline
$ \vec{p} = q \cdot \vec{r}_+ - q \cdot \vec{r}_- = q \cdot \vec{a} $ \newline $ \vec{p} = q \cdot \vec{r}_+ - q \cdot \vec{r}_- = q \cdot \vec{a} $ \newline
$ \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{ext} $ \newline $ \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{ext} $ \newline
$ U_{\acute el} = - \vec{p} \bullet \vec{E}_{ext} $ \newline $ U_{\acute el} = - \vec{p} \bullet \vec{E}_{ext} $ \newline
$ E_r = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2 \cdot p \cdot \cos \theta}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $ \newline $ E_r = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2 \cdot p \cdot \cos \left( \theta \right)}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $ \newline
$ E_\theta = - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{p \cdot \sin \theta}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $ \newline $ E_\theta = - \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{p \cdot \sin \left( \theta \right)}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r^3} $
& &
\textbf{Dipôle magnétique} \newline \textbf{Dipôle magnétique} \newline
$ \vec{M} = I \cdot \vec{S} $ \newline $ \vec{M} = I \cdot \vec{S} $ \newline
$ \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}_{ext} $ \newline $ \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}_{ext} $ \newline
$ U_{mag} = - \vec{M} \bullet \vec{B}_{ext} $ \newline $ U_{mag} = - \vec{M} \bullet \vec{B}_{ext} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Polarisation} \newline \textbf{Polarisation} \newline
$ \sigma_P = \vec{P} \bullet \vec{e}_n $ \newline $ \sigma_P = \vec{P} \bullet \vec{e}_n $ \newline
$ <\vec{E}> = \frac{E_{ext}}{\varepsilon_r} $ \newline $ \vec{\left\langle E \right\rangle} = \frac{E_{ext}}{\varepsilon_r} $ \newline
$ \vec{P} = n \cdot <\vec{p}> $ \newline $ \vec{P} = n \cdot \vec{\left\langle p \right\rangle} $
& &
\textbf{Aimantation} \newline \textbf{Aimantation} \newline
$ j_{lie} = \vec{M} \bullet \vec{e}_n $ \newline $ j_{li\acute e} = \vec{M} \bullet \vec{e}_n $ \newline
$ <\vec{B}> = \mu_r \cdot B_{ext} $ \newline $ \vec{\left\langle B \right\rangle} = \mu_r \cdot B_{ext} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Champ électrique D} \newline \textbf{Champ électrique D} \newline
$ \vec{D} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P} $ \newline $ \vec{D} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P} $ \newline
$ \nabla \bullet \vec{D} = \rho_{libre} $ \newline $ \nabla \bullet \vec{D} = \rho_{libre} $ \newline
$ \vec{D} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_0 \cdot (1 + \chi) \cdot \vec{E} = \varepsilon \cdot \vec{E}$ \newline $ \vec{D} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_0 \cdot \left( 1 + \chi \right) \cdot \vec{E} = \varepsilon \cdot \vec{E} $
& &
\textbf{Champ magnétisant H} \newline \textbf{Champ magnétisant H} \newline
$ \vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \cdot \vec{B} - \vec{M} $ \newline $ \vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \cdot \vec{B} - \vec{M} $ \newline
$ \nabla \times \vec{H} = \vec{j}_{libre} $ \newline $ \nabla \times \vec{H} = \vec{j}_{libre} $ \newline
$ \vec{B} = \mu_0 \cdot (\vec{H} + \vec{M}) = \mu_0 \cdot (1 + \chi) \cdot \vec{H} = \mu \cdot \vec{H}$ \newline $ \vec{B} = \mu_0 \cdot \left( \vec{H} + \vec{M} \right) = \mu_0 \cdot \left( 1 + \chi \right) \cdot \vec{H} = \mu \cdot \vec{H} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Conditions au bord} \newline \textbf{Conditions au bord} \newline
$ E_{1t} = E_{2t} $ \newline $ E_{1t} = E_{2t} $ \newline
$ D_{1n} = D_{2n} \Rightarrow \varepsilon_{r1} \cdot E_{1n} = \varepsilon_{r2} \cdot E_{2n} $ \hfill Isolant-Isolant \newline $ D_{1n} = D_{2n} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon_{r1} \cdot E_{1n} = \varepsilon_{r2} \cdot E_{2n} $ \hfill Isolant-Isolant \newline
$ D_{1n} = \sigma_{libre} \Rightarrow E_{1n} = \frac{\sigma_{libre}}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{r1}} $ \hfill Isolant-Métal \newline $ D_{1n} = \sigma_{libre} \quad \Rightarrow \quad E_{1n} = \frac{\sigma_{libre}}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{r1}} $ \hfill Isolant-Métal
& &
\textbf{Conditions au bord} \newline \textbf{Conditions au bord} \newline
$ H_{1t} = H_{2t} \Rightarrow \frac{B_{1t}}{\mu_{r1}} = \frac{B_{2t}}{\mu_{r2}} $ \newline $ H_{1t} = H_{2t} \quad \Rightarrow \quad \frac{B_{1t}}{\mu_{r1}} = \frac{B_{2t}}{\mu_{r2}} $ \newline
$ B_{1n} = B_{2n} $ \newline $ B_{1n} = B_{2n} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Électrostatique} \newline \textbf{Électrostatique} \newline
$ \vec{F} = q \cdot (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) $ \hfill Force de Lorentz \newline $ \vec{F} = q \cdot \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right) $ \hfill Force de Lorentz \newline
$ \vec{E} = - \nabla V $ \newline $ \vec{E} = - \nabla V $ \newline
$ V(\vec{r}) = V(\vec{r_0}) - \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}} \vec{E} \bullet \dif\vec{l} $ \newline $ V \left( \vec{r} \right) = V \left( \vec{r_0} \right) - \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}} \vec{E} \bullet \dif\vec{l} $ \newline
$ \nabla^2 V(\vec{r})= - \frac{\rho}{\varepsilon_0} $ \hfill Équation de Poisson \newline $ \nabla^2 V \left( \vec{r} \right) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} $ \hfill Équation de Poisson \newline
$ W_{AB} = \int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B} q \cdot \vec{E} \cdot \dif \vec{l} = q \cdot V(\vec{r}_A) - q \cdot V(\vec{r}_B) $ \newline $ W_{AB} = \int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B} q \cdot \vec{E} \cdot \dif \vec{l} = q \cdot V \left( \vec{r}_A \right) - q \cdot V \left( \vec{r}_B \right) $ \newline
$ U_E = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=1}^N \sum_{j=1,j \neq i}^N \frac{q_i \cdot q_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} $ \hfill Distribution discrète \newline $ U_E = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1, j \neq i}^N \frac{q_i \cdot q_j}{\abs{\vec{r}_i - \vec{r}_j}} $ \hfill Distribution discrète \newline
$ U_E = \frac{1}{2} \cdot \iiint_V \rho(\vec{r}) \cdot V(\vec{r}) \cdot \dif V $ \hfill Distribution continue \newline $ U_E = \frac{1}{2} \cdot \iiint_V \rho \left( \vec{r} \right) \cdot V \left( \vec{r} \right) \cdot \dif V $ \hfill Distribution continue \newline
$ \vec{j} = n \cdot q \cdot \vec{v} = \rho \cdot \vec{v} $ \hfill Densité de courant \newline $ \vec{j} = n \cdot q \cdot \vec{v} = \rho \cdot \vec{v} = \sigma \cdot \vec{E} $ \hfill Densité de courant, $ \sigma $ conductivité \newline
$ \vec{j} = \sigma \cdot \vec{E} $ \hfill $ \sigma $ conductivité \newline $ \vec{E} = 0 \comma V = \cte $ \hfill Dans un conducteur
$ \vec{E} = 0 \text{, } V = cte $ \hfill Dans un conducteur \newline
& &
\textbf{Magnétostatique} \newline \textbf{Magnétostatique} \newline
$ r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B_0} $ \hfill Rayon de Larmor \newline $ r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B_0} $ \hfill Rayon de Larmor \newline
@@ -102,226 +116,208 @@
$ \vec{F} = I \cdot \int_\Gamma \dif\vec{l} \times \vec{B} $ \hfill Force de Laplace \newline $ \vec{F} = I \cdot \int_\Gamma \dif\vec{l} \times \vec{B} $ \hfill Force de Laplace \newline
$ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 \cdot I_1 \cdot I_2}{2 \cdot \pi \cdot d} $ \hfill Force entre deux conducteurs \newline $ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 \cdot I_1 \cdot I_2}{2 \cdot \pi \cdot d} $ \hfill Force entre deux conducteurs \newline
$ B = \mu_0 \cdot I \cdot n $ \hfill Champ dans une bobine \newline $ B = \mu_0 \cdot I \cdot n $ \hfill Champ dans une bobine \newline
$ \vec{B}(\vec{x}) = \frac{1}{c^2} \cdot \vec{v} \times \vec{E}(\vec{x}) $ \hfill Charge en mouvement \newline $ \vec{B} \left( \vec{x} \right) = \frac{1}{c^2} \cdot \vec{v} \times \vec{E} \left( \vec{x} \right) $ \hfill Charge en mouvement \newline
$ F_{\acute el} = \gamma \cdot F_{Lorentz} $ \hfill Effet relatif \newline $ F_{\acute el} = \gamma \cdot F_{Lorentz} $ \hfill Effet relatif \newline
$ \nabla^2 \vec{A} = - \mu_0 \cdot \vec{j} $ \hfill Potentiel Vecteur \newline $ \nabla^2 \vec{A} = - \mu_0 \cdot \vec{j} $ \hfill Potentiel Vecteur
\\ \hline \\\hline
\textbf{Condensateur} \newline \textbf{Condensateur} \newline
$ Q = C \cdot \Delta V $ \newline $ Q = C \cdot \Delta V $ \newline
$ U = \frac{1}{2} \cdot C \cdot V^2 = \frac{Q^2}{2 \cdot C} $ \newline $ U = \frac{1}{2} \cdot C \cdot V^2 = \frac{Q^2}{2 \cdot C} $ \newline
$ V = \frac{1}{C} \cdot \int I \cdot \dif t $ \newline $ V = \frac{1}{C} \cdot \int I \cdot \dif t $ \newline
$ C = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d} $ \hfill Pour un condensateur plan \newline $ C = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d} $ \hfill Pour un condensateur plan \newline
$ C = 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{R_b \cdot R_a}{R_b - R_a} $ \hfill Pour un condensateur sphère \newline $ C = 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{R_b \cdot R_a}{R_b - R_a} $ \hfill Pour un condensateur sphère
& &
\textbf{Inductance} \newline \textbf{Inductance} \newline
$ \Phi_M = L \cdot I $ \newline $ \Phi_M = L \cdot I $ \newline
$ U = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 $ \newline $ U = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 $ \newline
$ V = L \cdot \frac{\dif I}{\dif t} $ \newline $ V = L \cdot \frac{\dif I}{\dif t} $
\\ \hline \\\hline
\end{tabu}
\nointerlineskip
\begin{tabu}to \textwidth{ |X|X| }
\hline
\textbf{Ondes} \newline \textbf{Ondes} \newline
$ \xi(x,t) = f(x - v \cdot t) + g(x + v \cdot t) $ \newline $ \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = v^2 \cdot \nabla^2 \xi $ \hfill Équation d'Alembert \newline
$ \xi(x,t) = \xi_0 \cdot \sin(k \cdot x - \omega \cdot t) $ \newline $ \xi \left( x, t \right) = f \left( x - v \cdot t \right) + g \left( x + v \cdot t \right) $ \newline
$ \xi \left( x, t \right) = \xi_0 \cdot \sin \left( k \cdot x - \omega \cdot t \right) $ \newline
$ v = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot \nu $ \newline $ v = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot \nu $ \newline
$ v_g = v + k \cdot \frac{\dif v}{\dif t} $ \newline $ v_g = v + k \cdot \frac{\dif v}{\dif t} $ \newline
$ v_{tr} = - \omega \cdot \xi_0 \cdot \cos(k \cdot x - \omega \cdot t) $ \newline $ v_{tr} = - \omega \cdot \xi_0 \cdot \cos \left( k \cdot x - \omega \cdot t \right) $ \newline
$ k \cdot \lambda = 2 \cdot \pi $ \newline $ k \cdot \lambda = 2 \cdot \pi $ \newline
$ \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = v^2 \cdot \nabla^2 \xi $ \hfill Équation d'Alembert \newline
$ \nu' = \left( \frac{v - v_O}{v - v_S} \right) \cdot \nu $ \hfill Effet Doppler \newline $ \nu' = \left( \frac{v - v_O}{v - v_S} \right) \cdot \nu $ \hfill Effet Doppler \newline
$ \nu' = \left( \frac{\sqrt{1 - v_R/c}}{\sqrt{1 + v_R/c}} \right) \cdot \nu $ \hfill Effet Doppler (lumière) \newline $ \nu' = \left( \frac{\sqrt{1 - v_R/c}}{\sqrt{1 + v_R/c}} \right) \cdot \nu $ \hfill Effet Doppler (lumière) \newline
$ I = \frac{P}{A} = \frac{1}{A} \cdot \frac{\dif W}{\dif t} \propto \xi^2 $ \newline $ I = \frac{P}{A} = \frac{1}{A} \cdot \frac{\dif W}{\dif t} \propto \xi^2 $ \newline
$ n = 10 \cdot \log_{10} \frac{I}{I_0} $ \newline $ n = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) $
& &
\textbf{Électromagnétisme} \newline \textbf{Électromagnétisme} \newline
$ E = c \cdot B $ \newline $ E = c \cdot B $ \newline
$ c^2 = \frac{1}{\mu_0 \cdot \varepsilon_0} $ \newline $ c^2 = \frac{1}{\mu_0 \cdot \varepsilon_0} $ \newline
$ I = S = c \cdot u_{EM} $ \newline $ I = S = c \cdot u_{EM} $ \newline
$ u_E = \frac{1}{2} \cdot \vec{E} \bullet \vec{D} = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot |\vec{E}|^2 $ \newline $ u_E = \frac{1}{2} \cdot \vec{E} \bullet \vec{D} = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot \abs{\vec{E}}^2 $ \newline
$ u_M = \frac{1}{2} \cdot \vec{B} \bullet \vec{H} = \frac{1}{2 \cdot \mu_0} \cdot |\vec{B}|^2 $ \newline $ u_M = \frac{1}{2} \cdot \vec{B} \bullet \vec{H} = \frac{1}{2 \cdot \mu_0} \cdot \abs{\vec{B}}^2 $ \newline
$ u_E = u_M = \frac{1}{2} \cdot u_{EM} $ \newline $ u_E = u_M = \frac{1}{2} \cdot u_{EM} $ \newline
$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \cdot \vec{E} \times \vec{B} $ \newline $ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \cdot \vec{E} \times \vec{B} $ \newline
$ \frac{\partial u_{EM}}{\partial t} + \nabla \bullet \vec{S} = 0 $ \hfill Théorème de Poynting \newline $ \frac{\partial u_{EM}}{\partial t} + \nabla \bullet \vec{S} = 0 $ \hfill Théorème de Poynting \newline
$ P = \frac{I}{c} $ \hfill Pression de radiation (absorbtion) \newline $ P = \frac{I}{c} $ \hfill Pression de radiation (absorbtion) \newline
$ P = \frac{2 \cdot I}{c} $ \hfill Pression de radiation (réflexion) \newline $ P = \frac{2 \cdot I}{c} $ \hfill Pression de radiation (réflexion) \newline
$ \vec{p} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} \times \vec{B} = \frac{\vec{S}}{c} $ \newline $ \vec{p} = \varepsilon_0 \cdot \vec{E} \times \vec{B} = \frac{\vec{S}}{c} $
\\ \hline \\\hline
\end{tabularx}
\offinterlineskip
\begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|X| }
\hline
\textbf{Onde stationnaire} \newline \textbf{Onde stationnaire} \newline
$ \xi = 2 \cdot \xi_0 \cdot \sin(k \cdot x) \cdot \cos(\omega \cdot t) $ \newline $ \xi = 2 \cdot \xi_0 \cdot \sin \left( k \cdot x \right) \cdot \cos \left( \omega \cdot t \right) $ \newline
$ L = m \cdot \frac{\lambda}{2} $ \hfill Corde fixée aux 2 ext. / Tuyeau ouvert \newline $ L = m \cdot \frac{\lambda}{2} $ \hfill Corde fixée aux 2 ext. / Tuyeau ouvert \newline
$ L = (2 \cdot m + 1) \cdot \frac{\lambda}{4} $ \hfill Corde fixée à 1 ext. / Tuyeau fermé \newline $ L = \left( 2 \cdot m + 1 \right) \cdot \frac{\lambda}{4} $ \hfill Corde fixée à 1 ext. / Tuyeau fermé \newline
$ k \cdot x = m \cdot \pi $ \hfill Noeud ou Ventre \newline $ k \cdot x = m \cdot \pi $ \hfill Noeud ou Ventre \newline
$ k \cdot x = (m + \frac{1}{2}) \cdot \pi $ \hfill Ventre ou Noeud \newline $ k \cdot x = \left( m + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi $ \hfill Ventre ou Noeud
& &
\textbf{Interférences} \newline \textbf{Interférences} \newline
$ \xi_0^2 = \xi_{01}^2 + \xi_{02}^2 + 2 \cdot \xi_{01} \cdot \xi_{02} \cdot \cos \delta $ \newline $ \xi_0^2 = \xi_{01}^2 + \xi_{02}^2 + 2 \cdot \xi_{01} \cdot \xi_{02} \cdot \cos \left( \delta \right) $ \newline
$ \xi_0^2 = 4 \cdot \xi_{01}^2 \cdot \cos^2 \frac{\delta}{2} $ \hfill Même amplitude \newline $ \xi_0^2 = 4 \cdot \xi_{01}^2 \cdot \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right) $ \hfill Même amplitude \newline
$ \xi(t) = \xi_0 \cdot \cos(\omega \cdot t - k\cdot r_1 + \delta/2) $ \hfill Même amplitude \newline $ \xi \left( t \right) = \xi_0 \cdot \cos \left( \omega \cdot t - k \cdot r_1 + \delta/2 \right) $ \hfill Même amplitude \newline
$ I = I_0 \cdot \cos^2 \frac{\delta}{2} $ \hfill Même amplitude \newline $ I = I_0 \cdot \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right) $ \hfill Même amplitude \newline
$ \delta = k \cdot \Delta r = k \cdot a \cdot \sin \theta $ \newline $ \delta = k \cdot \Delta r = k \cdot a \cdot \sin \left( \theta \right) $ \newline
$ \delta = 2 \cdot m \cdot \pi $ \hfill Max \newline $ \delta = 2 \cdot m \cdot \pi $ \hfill Max \newline
$ \delta = (2 \cdot m + 1) \cdot \pi $ \hfill Min \newline $ \delta = \left( 2 \cdot m + 1 \right) \cdot \pi $ \hfill Min
\\ \hline \\\hline
\textbf{Diffraction} \newline \textbf{Diffraction} \newline
$ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin(\pi \cdot b \cdot \sin \theta / \lambda)}{\pi \cdot b \cdot \sin \theta / \lambda} \right)^2 $ \newline $ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin \left( \pi \cdot b \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right) \right)}{\pi \cdot b \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right)} \right)^2 $ \newline
$ b \cdot \sin \theta = \pm m \cdot \lambda \hspace{15mm} (m \neq 0) $ \hfill Zéro \newline $ b \cdot \sin \left( \theta \right) = \pm m \cdot \lambda \hspace{15mm} \left( m \neq 0 \right) $ \hfill Zéro \newline
$ b \cdot \sin \theta = \pm (m + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \hspace{5mm} (m \neq 0) $ \hfill Max \newline $ b \cdot \sin \left( \theta \right) = \pm \left( m + \frac{1}{2} \right) \cdot \lambda \hspace{5mm} \left( m \neq 0 \right) $ \hfill Max \newline
$ \theta \geqslant \frac{\lambda}{b} $ \hfill Critère de Rayleigh (fente) \newline $ \theta \geqslant \frac{\lambda}{b} $ \hfill Critère de Rayleigh (fente) \newline
$ \theta \geqslant 1.22 \cdot \frac{\lambda}{D} $ \hfill Critère de Rayleigh (ouv. circ.) \newline $ \theta \geqslant 1.22 \cdot \frac{\lambda}{D} $ \hfill Critère de Rayleigh (ouv. circ.) \newline
$ 2 \cdot d \cdot \sin \theta = m \cdot \lambda $ \hfill Condition de Bragg \newline $ 2 \cdot d \cdot \sin \left( \theta \right) = m \cdot \lambda $ \hfill Condition de Bragg
& &
\textbf{Optique} \newline \textbf{Optique} \newline
$ n_i \cdot \sin \theta_i = n_r \cdot \sin \theta_r $ \hfill Loi de Snell-Descartes \newline $ n_i \cdot \sin \left( \theta_i \right) = n_r \cdot \sin \left( \theta_r \right) $ \hfill Loi de Snell-Descartes \newline
$ \sin \theta_i > \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Réflexion totale \newline $ \sin \left( \theta_i \right) > \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Réflexion totale \newline
$ v = \frac{c}{n} $ \newline $ v = \frac{c}{n} $ \newline
$ \lambda_n = \frac{\lambda}{n} $ \newline $ \lambda_n = \frac{\lambda}{n} $ \newline
$ k_n = n \cdot k $ \newline $ k_n = n \cdot k $ \newline
$ n = \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} \sim \sqrt{\varepsilon_r} $ \newline $ n = \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} \sim \sqrt{\varepsilon_r} $
\\ \hline \\\hline
\textbf{Polarisation} \newline \textbf{Polarisation} \newline
$ \tan(\theta) = \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Angle de Brewster \newline $ \tan \left( \theta \right) = \frac{n_r}{n_i} $ \hfill Angle de Brewster \newline
Angle de Brewster \hfill $ \Rightarrow $ \hfill $ \pi $ 100\% transmis et 0\% réfléchi \newline Angle de Brewster \hfill $ \quad \Rightarrow \quad $ \hfill Polarisation $ \pi $ 100\% transmise et 0\% réfléchie \newline
$ I = I_m \cdot \cos^2 \theta $ \hfill Loi de Malus \newline $ I = I_m \cdot \cos^2 \left( \theta \right) $ \hfill Loi de Malus
\includegraphics[width=0.48\textwidth,keepaspectratio=true]{./Polarisation.png} \newline
Polarisation $ \sigma $ \hfill Polarisation $ \pi $ \newline
& &
\textbf{Interférences à N sources} \newline \textbf{Interférences à N sources} \newline
$ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin(N \cdot \pi \cdot a \cdot \sin \theta / \lambda)}{\sin(\pi \cdot a \cdot \sin \theta / \lambda)} \right) $ \newline $ I = I_0 \cdot \left( \frac{\sin \left( N \cdot \pi \cdot a \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right) \right)}{\sin \left( \pi \cdot a \cdot \sin \left( \theta / \lambda \right) \right)} \right) $ \newline
$ a \cdot \sin \theta = m \cdot \lambda, \hspace{1em} I = N^2 \cdot I_0 $ \hfill Max \newline $ a \cdot \sin \left( \theta \right) = m \cdot \lambda, \qquad I = N^2 \cdot I_0 $ \hfill Max \newline
$ a \cdot \sin \theta = \frac{m'}{N} \cdot \lambda, \hspace{1em} \frac{m'}{N} \neq m $ \hfill Min \newline $ a \cdot \sin \left( \theta \right) = \frac{m'}{N} \cdot \lambda, \qquad \frac{m'}{N} \neq m $ \hfill Min
\\ \hline \\\hline
\textbf{Fluides} \newline \textbf{Polarisation $ \boldsymbol{\sigma} $ et polarisation $ \boldsymbol{\pi} $} \newline
$ \dif\vec{F} = - P \cdot \dif\vec{\sigma} $ \newline \includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio=true]{./Polarisation.png}
$ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \bullet (\rho \cdot \vec{v}) = 0 $ \hfill Éq. de continuité \newline
$ \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot z + P = const $ \hfill Éq. de Bernoulli \newline
$ - \nabla P + \rho \cdot \vec{g} + \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} = \rho \cdot (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \bullet \nabla)\vec{v}) $ \hfill Éq. d'Euler \newline
$ \dif \vec{x} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \frac{\dif x}{\dif y} = \frac{v_x}{v_y} $ \hfill Lignes de courant \newline
& &
\textbf{Fluides II} \newline
$ \Delta P = \frac{8 \cdot \eta \cdot L \cdot D}{\pi \cdot R^4} $ \hfill Loi de Poiseuille \newline
$ v(r) = \frac{\Delta P}{4 \cdot \eta \cdot L} \cdot (R^2 - r^2) $ \hfill Profil de vitesse de Poiseuille \newline
$ \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \frac{S \cdot (\vec{v}_{sup} - \vec{v}_{inf})}{d} $ \newline
$ \dif \vec{F}_{visc} = \eta \cdot \nabla^2 \vec{v} \cdot \dif V $ \newline
$ \frac{\dif E}{\dif t} = -\Phi_{en} + \frac{\dif W}{\dif t} $ \newline
\\ \hline
\textbf{Opérateurs en coordonées cylindriques} \newline
$ \nabla U =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial U}{\partial \rho} \\
\frac{1}{\rho} \frac{\partial U}{\partial \phi} \\
\frac{\partial U}{\partial z} \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla \bullet \vec{A}
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho A_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
+ \frac{\partial A_z}{\partial z}
$ \newline
$ \nabla \times \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho} \frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z} \\
\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho} \\
\frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho A_\phi)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla^2 U
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial U}{\partial \rho} \right)
+ \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
+ \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}
= \frac{\partial^2 U}{\partial \rho^2}
+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial U}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
+ \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}
$ \newline
$ \vec{\nabla}^2 \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\nabla^2 A_\rho - \frac{A_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \\
\nabla^2 A_\phi - \frac{A_\phi}{\rho^2} + \frac{2}{\rho^2} \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\
\nabla^2 A_z \\
\end{pmatrix}
$ \newline
&
\textbf{Opérateurs en coordonées sphériques} \newline
$ \nabla U =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial U}{\partial r} \\
\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} \\
\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial U}{\partial \phi} \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla \bullet \vec{A}
= \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r}
+ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial (\sin \theta A_\theta)}{\partial \theta}
+ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
$ \newline
$ \nabla \times \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial (\sin \theta A_\phi)}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right] \\
\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r} \frac{\partial (r A_\phi)}{\partial r} \\
\frac{1}{r} \left[ \frac{\partial (r A_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right] \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla^2 U
= \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \sin \theta \frac{\partial U}{\partial r} \right)
+ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial U}{\partial \theta} \right)
+ \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial U}{\partial \phi} \right) \right]
$ \newline
$ \nabla^2 U
= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial U}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial U}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
$ \newline
$ \nabla^2 U
= \frac{\partial^2 U}{\partial r^2}
+ \frac{2}{r} \frac{\partial U}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \theta^2}
+ \frac{1}{r^2} \cot \theta \frac{\partial U}{\partial \theta}
+ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
$ \newline
$ \vec{\nabla}^2 \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\nabla^2 A_r - \frac{2}{r^2} \left( A_r + \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta A_\theta) + \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\
\nabla^2 A_\theta + \frac{2}{r^2} \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{2 \sin^2 \theta} - \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\
\nabla^2 A_\phi + \frac{2}{r^2 \sin \theta} \left( \frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \cot \theta \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} - \frac{A_\phi}{2 \sin \theta} \right) \\
\end{pmatrix}
$ \newline
\\ \hline
\textbf{Théorèmes} \newline \textbf{Théorèmes} \newline
$ \iiint_V \nabla f \cdot \dif V = \oiint_\Sigma f \cdot \dif\vec{\sigma} $ \hfill Th. du Gradient \newline $ \iiint_V \nabla f \cdot \dif V = \oiint_\Sigma f \cdot \dif\vec{\sigma} $ \hfill Th. du Gradient \newline
$ \iiint_V \nabla \bullet \vec{F} \cdot \dif V = \oiint_\Sigma \vec{F} \bullet \dif\vec{\sigma} $ \hfill Th. de la Divergence \newline $ \iiint_V \nabla \bullet \vec{F} \cdot \dif V = \oiint_\Sigma \vec{F} \bullet \dif\vec{\sigma} $ \hfill Th. de la Divergence \newline
$ \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \bullet \dif\vec{\sigma} = \oint_\Gamma \vec{F} \bullet \dif\vec{l} $ \hfill Th. de Stokes \newline $ \iint_\Sigma \left( \nabla \times \vec{F} \right) \bullet \dif\vec{\sigma} = \oint_\Gamma \vec{F} \bullet \dif\vec{l} $ \hfill Th. de Stokes \newline
$ \frac{\dif F}{\dif t} $ \frac{\dif F}{\dif t}
= \frac{\partial F}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial t}
+ \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\dif x}{\dif t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\dif x}{\dif t}
+ \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\dif y}{\dif t} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\dif y}{\dif t}
+ \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\dif z}{\dif t} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\dif z}{\dif t}
= \frac{\partial F}{\partial t} + (\vec{v} \bullet \nabla) F $ \newline = \frac{\partial F}{\partial t} + \left( \vec{v} \bullet \nabla \right) F $
& \\\hline
\textbf{} \newline
\\ \hline
\end{tabularx} \textbf{Opérateurs en coordonées cylindriques} \newline
\footnotesize{
$ \nabla U =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial U}{\partial \rho} \\
\frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \phi} \\
\frac{\partial U}{\partial z} \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla \bullet \vec{A}
= \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial \left( \rho \nocdot A_\rho \right)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
+ \frac{\partial A_z}{\partial z}
$ \newline
$ \nabla \times \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z} \\
\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho} \\
\frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial \left( \rho \nocdot A_\phi \right)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla^2 U
= \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \nocdot \frac{\partial U}{\partial \rho} \right)
+ \frac{1}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
+ \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}
$ \newline
$ \hphantom{\nabla^2 U}
= \frac{\partial^2 U}{\partial \rho^2}
+ \frac{1}{\rho} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
+ \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}
$ \newline
$ \vec{\nabla}^2 \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\nabla^2 A_\rho - \frac{A_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \\
\nabla^2 A_\phi - \frac{A_\phi}{\rho^2} + \frac{2}{\rho^2} \nocdot \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi} \\
\nabla^2 A_z \\
\end{pmatrix}
$
}
&
\textbf{Opérateurs en coordonées sphériques} \newline
\footnotesize{
$ \nabla U =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial U}{\partial r} \\
\frac{1}{r} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta} \\
\frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \phi} \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla \bullet \vec{A}
= \frac{1}{r^2} \nocdot \frac{\partial \left( r^2 \nocdot A_r \right)}{\partial r}
+ \frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot A_\theta \right)}{\partial \theta}
+ \frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
$ \newline
$ \nabla \times \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \left[ \frac{\partial \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot A_\phi \right)}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right] \\
\frac{1}{r \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r} \nocdot \frac{\partial \left( r \nocdot A_\phi \right)}{\partial r} \\
\frac{1}{r} \nocdot \left[ \frac{\partial \left( r \nocdot A_\theta \right)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right] \\
\end{pmatrix}
$ \newline
$ \nabla^2 U
= \frac{1}{r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right) \nocdot \frac{\partial U}{\partial r} \right)
+ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta} \right)
+ \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \frac{1}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial U}{\partial \phi} \right) \right]
$ \newline
$ \hphantom{\nabla^2 U}
= \frac{1}{r^2} \nocdot \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \nocdot \frac{\partial U}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
$ \newline
$ \hphantom{\nabla^2 U}
= \frac{\partial^2 U}{\partial r^2}
+ \frac{2}{r} \nocdot \frac{\partial U}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \theta^2}
+ \frac{1}{r^2} \nocdot \cot \theta \nocdot \frac{\partial U}{\partial \theta}
+ \frac{1}{r^2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial^2 U}{\partial \phi^2}
$ \newline
$ \vec{\nabla}^2 \vec{A} =
\begin{pmatrix}
\nabla^2 A_r - \frac{2}{r^2} \nocdot \left( A_r + \frac{1}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \left( \theta \right) \nocdot A_\theta \right) + \frac{1}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\
\nabla^2 A_\theta + \frac{2}{r^2} \nocdot \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{2 \nocdot \sin^2 \left( \theta \right)} - \frac{\cot \theta}{\sin \left( \theta \right)} \nocdot \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \right) \\
\nabla^2 A_\phi + \frac{2}{r^2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \nocdot \left( \frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \cot \theta \nocdot \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} - \frac{A_\phi}{2 \nocdot \sin \left( \theta \right)} \right) \\
\end{pmatrix}
$
}
\\\hline
\end{tabu}
\end{document} \end{document}

174
BA4 - Analyse IV/BA4 - Analyse IV.tex Normal file
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\documentclass[fontsize=8pt, paper=a4, pagesize, DIV=calc]{scrartcl}
\input{../Base.tex}
\title{Formulaire d'Analyse IV}
\begin{document}
\begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
\hline
\textbf{Quelques propriétés} \newline
$ \int_0^T \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = \int_0^T \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &\text{ si } n \neq m \\ T/2 &\text{ si } n = m \\ \end{array} \right. $ \newline
$ \int_0^T \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x = 0 $ \newline
$ \int_a^{a+T} f \left( x \right) \cdot \dif x = \int_0^T f \left( x \right) \cdot \dif x $ \hspace{5em} $ f \left( x \right) \quad T \text{-périodique} $
\\\hline
\textbf{Série de Fourier d'une fonction $ \symbf{T} \text{-périodique} $} \newline
$ \symsf{F} f \left( x \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) + b_n \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \right] $ \newline
$ a_n = \frac{2}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x \hspace{5em} b_n = \frac{2}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \cdot \dif x $ \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Dirichlet~: & si $ f $ et $ f' $ continues par morceaux, $ \symsf{F}f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( f \left( x_- \right) + f \left( x_+ \right) \right) $ \\
Not. complexe~: & $ \symsf{F} f \left( x \right) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n \cdot \e^{\im \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x} \hspace{5em} c_n = \frac{1}{T} \cdot \int_0^T f \left( x \right) \cdot \e^{-\im \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x} \cdot \dif x \in \symbb{C} $ \\
Id. de Parseval~: & $ \frac{2}{T} \cdot \int_0^T \left( f \left( x \right) \right)^2 \cdot \dif x = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n^2 + b_n^2 \right] $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m. \\
Dérivée~: & $ \symsf{F} f' \left( x \right) = \sum_{n = 1}^\infty \left[ -a_n \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) + b_n \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot x \right) \right] = \frac{1}{2} \left( f' \left( x_- \right) + f' \left( x_+ \right) \right) $ \hfill $ f $ c., $ f' $ et $ f'' $ c.p.m. \\
Intégrale~: & $ \int_{x_0}^x f \left( t \right) \cdot \dif t = \int_{x_0}^x \frac{a_0}{2} \cdot \dif t + \sum_{n = 1}^\infty \left[ a_n \cdot \int_{x_0}^x \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot t \right) \cdot \dif t + b_n \cdot \int_{x_0}^x \sin \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot n}{T} \cdot t \right) \cdot \dif t \right] $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m.
\end{tabu}}
\\\hline
\textbf{Série de Fourier sur un intervalle $ \symbf{\left[ 0;L \right]} $} \newline
{\setlength{\tabcolsep}{10pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}lXl@{}}
$ \symsf{F_c} f \left( x \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cdot \cos \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) = f \left( x \right) $ & $ a_n = \frac{2}{L} \cdot \int_0^L f \left( x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) \cdot \dif x $ & $ f $ c., $ f' $ c.p.m. \\
$ \symsf{F_s} f \left( x \right) = \sum_{n = 1}^\infty b_n \cdot \sin \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) = f \left( x \right) $ & $ b_n = \frac{2}{L} \cdot \int_0^L f \left( x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi \cdot n}{L} \cdot x \right) \cdot \dif x $ & $ f $ c., $ f' $ c.p.m., $ f \left( 0 \right) = f \left( L \right) = 0 $
\end{tabu}}
\\\hline
\textbf{Transformée de Fourier} \newline
$ f: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} $ continue par morceaux et telle que $ \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{f \left( x \right)} \cdot \dif x < +\infty $ \newline
$ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = \hat{f} \left( \alpha \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \e^{-\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif x \hspace{5em} \symcal{F}^{-1}f \left( \alpha \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \e^{\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif \alpha $ \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Réciprocité~: & $ \symcal{F}^{-1} \left( \symcal{F}f \right) \left( x \right) = \symcal{F}^{-1} \left( \hat{f} \right) \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( f \left( x_- \right) + f \left( x_+ \right) \right) $ \hfill $ f $ et $ f' $ c.p.m., $ f $ et $ \hat{f} $ intégrables sur $ \left[ -\infty;+\infty \right] $ \\
Continuité~: & $ \hat{f}: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} $ est continue et $ \lim_{\alpha \rightarrow \pm\infty} \hat{f} \left( \alpha \right) = 0 $ \\
Linéarité~: & $ \symcal{F} \left( a \cdot f + b \cdot g \right) = a \cdot \symcal{F}f + b \cdot \symcal{F}g $ \\
Dérivée~: & $ \symcal{F} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( \alpha \right) = \left( \im \cdot \alpha \right)^k \cdot \symcal{F} \left( f \right) \left( \alpha \right) $ \\
Décalage et \newline ch. d'échelle~: & $ g \left( x \right) = f \left( a \cdot \left( x + b \right) \right) \quad \Rightarrow \quad \symcal{F} \left( g \right) \left( \alpha \right) = \e^{\im \cdot \alpha \cdot b} \cdot \frac{1}{\abs{a}} \cdot \symcal{F} \left( f \right) \left( \frac{\alpha}{a} \right) \hspace{1em} a \in \symbb{R}^*, b \in \symbb{R} $ \\
Identité de Plancherel~: & $ \int_{-\infty}^{+\infty} \left( f \left( x \right) \right)^2 \cdot \dif x = \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{\symcal{F}f \left( \alpha \right)}^2 \cdot \dif \alpha $ \\
T. de F. en sinus/cosinus~: & $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \cos \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ f $ paire \\
& $ \hphantom{\symcal{F}}f \left( x \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} \hat{f} \left( x \right) \cdot \cos \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif \alpha $ \hfill $ f $ paire \\
& $ \symcal{F}f \left( \alpha \right) = -\im \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \sin \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ f $ impaire \\
& $ \hphantom{\symcal{F}}f \left( x \right) = \hphantom{-}\im \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \int_0^{+\infty} \hat{f} \left( x \right) \cdot \sin \left( \alpha \cdot x \right) \cdot \dif \alpha $ \hfill $ f $ impaire
\end{tabu}}
\\\hline
\textbf{Produit de convolution} \newline
$ \left( f \ast g \right) \left( x \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x-t \right) \cdot g \left( t \right) \cdot \dif t $ \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Commutativité~: & $ \left( g \ast f \right) \left( x \right) = \left( f \ast g \right) \left( x \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} g \left( x-t \right) \cdot f \left( t \right) \cdot \dif t $ \\
Associativité~: & $ \left( f \ast g \right) \ast h = f \ast \left( g \ast h \right) $ \\
Distributivité~: & $ f \ast \left( g + h \right) = f \ast g + f \ast h $ \\
T. de F.~: & $ \symcal{F} \left( f \ast g \right) \left( \alpha \right) = \sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \symcal{F}g \left( \alpha \right) $ \\
Dérivée~: & $ \left( f \ast g \right) ' \left( x \right) = \left( f' \ast g \right) \left( x \right) = \left( f \ast g' \right) \left( x \right) $
\end{tabu}}
\\\hline
\end{tabu}
\begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
\hline
\textbf{Transformée de Laplace} \newline
$ f: \symbb{R}_+ \rightarrow \symbb{R} $ continue par morceaux et $ \gamma_0 $ tel que $ \int_{0}^{+\infty} \abs{f \left( t \right)} \cdot \e^{-\gamma_0 \cdot t} \cdot \dif t < +\infty $ \newline
$ \symcal{L}f \left( z \right) = F \left( z \right) = \int_{0}^{+\infty} f \left( t \right) \cdot \e^{-z \cdot t} \cdot \dif t \hspace{5em} \forall z \in \symbb{C} \tq \Re \left( z \right) \geq \gamma_0 $ \hspace{5em} ($ \gamma_0 $ abscisse de convergence) \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Linéarité~: & $ \symcal{L} \left( a \cdot f + b \cdot g \right) = a \cdot \symcal{L}f + b \cdot \symcal{L}g $ \\
Décalage~: & $ a > 0 \comma g \left( t \right) = \left\{ \begin{array}{ll} f \left( t-a \right) &\text{ si } t \geq a \\ 0 &\text{ sinon }\\ \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}g \left( z \right) = \e^{-z \cdot a} \cdot \symcal{L}f \left( z \right) $ \\
Ch. d'échelle~: & $ a > 0 \comma g \left( t \right) = f \left( a \cdot t \right) \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}g \left( z \right) = \frac{1}{a} \cdot \symcal{L}f \left( \frac{z}{a} \right) $ \\
Holomorphie \hphantom{~:} & $ F = \symcal{L}f $ est holomorphe dans $ D = \left\{ z \in \symbb{C} : \Re \left( z \right) > \gamma_0 \right\} $ \\
et dérivée~: & $ F' \left( z \right) = -\int_{0}^{+\infty} t \cdot f \left( t \right) \cdot \e^{-z \cdot t} \cdot \dif t = \symcal{L}h \left( z \right) $ où $ h \left( t \right) = -t \cdot f \left( t \right) $ \\
Dérivée~: & $ \symcal{L} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( z \right) = z^k \cdot \symcal{L} \left( f \right) \left( z \right) - \sum_{j = 0}^{k-1} z^j \cdot f^{\left( k-1-j \right)} \left( 0 \right) $ \\
& $ \hphantom{\symcal{L} \left( f^{\left( k \right)} \right) \left( z \right)} = z^k \cdot \symcal{L} \left( f \right) \left( z \right) - f^{\left( k-1 \right)} \left( 0 \right) - z \cdot f^{\left( k-2 \right)} \left( 0 \right) - \dots - z^{k-1} \cdot f \left( 0 \right) $ \\
Intégrale~: & $ \varphi \left( t \right) = \int_0^t f \left( s \right) \cdot \dif s \quad \Rightarrow \quad \symcal{L}\varphi \left( z \right) = \frac{1}{z} \cdot \symcal{L}f \left( z \right) $ \\
Convolution~: & $ \left( f \ast g \right) \left( t \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( t-s \right) \cdot g \left( s \right) \cdot \dif s = \int_{0}^{t} f \left( t-s \right) \cdot g \left( s \right) \cdot \dif s \quad \Rightarrow \quad \symcal{L} \left( f \ast g \right) \left( z \right) = \symcal{L}f \left( z \right) \cdot \symcal{L}g \left( z \right) $ \\
Inversion~: & Si $ f $ et $ f' $ c.p.m et si $ \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{F \left( \gamma + \im \cdot s \right)} \cdot \dif s < +\infty $ \\
& $ \symcal{L}^{-1}f \left( t \right) = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} F \left( \gamma + \im \cdot s \right) \cdot \e^{\left( \gamma + \im \cdot s \right) \cdot t} \cdot \dif t = \frac{1}{2} \left( f \left( t_- \right) + f \left( t_+ \right) \right) $ \\
& Si $ F \left( z \right) = \frac{p \left( z \right)}{q \left( z \right)} $ et $ \deg \left( q \right) \geq \deg \left( p \right) + 2 \comma \symcal{L}^{-1}f \left( t \right) = \sum_{R \acute e s_{z_k}} \left( F \left( z \right) \cdot \e^{z \cdot t} \right) $
\end{tabu}}
\\\hline
\textbf{Distribution tempérées} \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Espace de Schwartz~: & Espace vectoriel des fonctions $ \varphi \in C^\infty: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} \tq \forall n, m \in \symbb{N} \comma \lim_{x \rightarrow \pm\infty} x^m \cdot \varphi^{m} \left( x \right) = 0 $ \\
Fonction CCL~: & Fonction $ f: \symbb{R} \rightarrow \symbb{C} \tq \exists n \in \symbb{N} \tq \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{f \left( x \right)}{x^n} = 0 $ \\
Fonctionelle~: & Application linéaire $ T: \symcal{S} \rightarrow \symbb{C} $ définie par $ \left\langle T_f, \varphi \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right) \cdot \dif x \in \symcal{S}' $ \\
Distribution tempérée~: & $ T_f^{\left( n \right)}: \symcal{S} \rightarrow \symbb{C} $ définie par $ \left\langle T^{\left( n \right)}_f, \varphi \right\rangle = \left( -1 \right)^n \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right)^{\left( n \right)} \cdot \dif x \in \symcal{S}' $ \\
Linéarité~: & $ \left\langle a \cdot S + b \cdot T, \varphi \right\rangle = a \cdot \left\langle S, \varphi \right\rangle + b \cdot \left\langle T, \varphi \right\rangle $; $ \left\langle T_f, a \cdot \varphi_1 + b \cdot \varphi_2 \right\rangle = a \cdot \left\langle T_f, \varphi_1 \right\rangle + b \cdot \left\langle T_f, \varphi_2 \right\rangle $ \\
Dérivée~: & $ \left\langle T^{\left( k \right)}, \varphi \right\rangle = \left( -1 \right)^k \cdot \left\langle T, \varphi^{\left( k \right)} \right\rangle $ \\
T. de F.~: & $ \left\langle \symcal{F}T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \symcal{F}\varphi \right\rangle $ \\
Réflexion~: & $ \left\langle T^{\vee}, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \varphi^{\vee} \right\rangle $ \\
Translation~: & $ \left\langle \symcal{T}_a T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \symcal{T}_{-a} \varphi \right\rangle $ \\
Changement d'échelle~: & $ \left\langle \symcal{S}_a T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, \frac{1}{\abs{a}} \cdot \symcal{S}_{1/a} \varphi \right\rangle $ \\
Mult. par C\textsuperscript{\infty}CL~: & $ \left\langle g \cdot T, \varphi \right\rangle = \left\langle T, g \cdot \varphi \right\rangle $ \\
Distribution $ \delta $~: & $ \delta_a: \symcal{S} \rightarrow \symbb{R} $ définie par $ \left\langle \delta_a, \varphi \right\rangle = \varphi \left( a \right) $ \hspace{5em} $ \symcal{F}\delta_a \left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \e^{-\im \cdot a \cdot x} $ \hspace{5em} $ \delta = \delta_0 $ \\
Convolution~: & $ \left( f \ast \varphi \right) \left( x \right) = \left\langle f, \symcal{T}_{-x} \left( \varphi^{\vee} \right) \right\rangle $ \hfill $ \int_{-\infty}^{+\infty} \left( f \ast g \right) \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right) \cdot \dif x = \int_{-\infty}^{+\infty} f \left( x \right) \cdot \left( g^{\vee} \ast \varphi \right) \left( x \right) \cdot \dif x $ \hfill $ \delta \ast \varphi = \varphi $ \\
& $ \left( T \ast \varphi \right) \left( x \right) = \left\langle T, \symcal{T}_{-x} \left( \varphi^{\vee} \right) \right\rangle $ \hfill $ \left\langle T_1 \ast T_2, \varphi \right\rangle = \left\langle T_1, T_2^{\vee} \ast \varphi \right\rangle $ \hfill $ T \ast \delta = T $ \\
Cohérence~: & $ T_f^{\left( 1 \right)} = T_{f'} \comma \symcal{F}T_f = T_{\symcal{F}f} \comma T_f^{\vee} = T_{f^{\vee}} \comma \symcal{T}_a T_f = T_{\symcal{T}_a f} \comma \symcal{S}_a T_f = T_{\symcal{S}_a f} \comma g \cdot T_f = T_{g \cdot f} $
\end{tabu}}
Les propriétés de la transformée de Fourier et du produit de convolution restent valables.
%TODO~: tableaux transformées de fourier de Distribution ?
\\\hline
\end{tabu}
\begin{tabu}to \textwidth{ |X| }
\hline
\textbf{Équations différentielles} \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Problème de Cauchy~: & $ a_2 \cdot y'' \left( t \right) + a_1 \cdot y' \left( t \right) + a_0 \cdot y \left( t \right) = f \left( t \right) \comma t > 0 \comma y \left( 0 \right) = y_0 \comma y' \left( 0 \right) = y_1 $ \\
Résolution~: & $ \symcal{L} \left( a_2 \cdot y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y \right) \left( z \right) = \symcal{L}f \left( z \right) \quad \Leftrightarrow \quad \dots \quad \Leftrightarrow \quad Y \left( z \right) = \frac{F \left( z \right) + a_2 \cdot y_0 \cdot z + a_1 \cdot y_0 + a_2 \cdot y_1}{a_2 \cdot z^2 + a_1 \cdot z + a_0} $ \hspace{5em} $ y \left( t \right) = \symcal{L}^{-1} \left( Y \right) \left( t \right) $ \\
Cas particulier~: & $ y'' \left( t \right) + \lambda \cdot y \left( t \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \lambda = 0: y \left( t \right) = y_0 + y_1 \cdot t \\
\lambda < 0: y \left( t \right) = y_0 \cdot \cosh \left( \sqrt{-\lambda} \cdot t \right) + \frac{y_1}{\sqrt{-\lambda}} \cdot \sinh \left( \sqrt{-\lambda} \cdot t \right) \\
\lambda > 0: y \left( t \right) = y_0 \cdot \cos \left( \sqrt{\lambda} \cdot t \right) + \frac{y_1}{\sqrt{\lambda}} \cdot \sin \left( \sqrt{\lambda} \cdot t \right) \end{array} \right. $ \\
Sturm-Liouville~: & $ y'' \left( t \right) + \lambda \cdot y \left( t \right) = 0 \comma t \in \left] 0;L \right[ \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{ll} \text{Si } y \left( 0 \right) = y \left( L \right) = 0 \comma & \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \comma y \left( t \right) = \alpha_n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \comma n \in \symbb{N} \\
\text{Si } y' \left( 0 \right) = y' \left( L \right) = 0 \text{, }& \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \text{, } y \left( t \right) = \beta_n \cdot \cos \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \text{, } n \in \symbb{N} \end{array} \right. $
\end{tabu}}
Équations sur $ \symbb{R}_+ $~: utiliser la transformée de Laplace. \newline
Équations sur $ \symbb{R} $~: utiliser la transformée de Fourier. \newline
Équations périodiques~: utiliser les séries de Fourier.
\\\hline
\textbf{Équations aux dérivées partielles} \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Dans $ \symbb{R} $~: & On fixe une variable et on prend la transformée de Fourier en l'autre. On utilise les propriétés de la transformée pour obtenir une EDO en la variable fixée. On résout cette EDO et finalement, on prend la transformée inverse. \\
Dans un intervalle~: & On sépare les variables. On obtient deux EDO qu'on résout pour obtenir une solution. On superpose ces solutions puis on impose les conditions initiales pour obtenir la solution.\\
Dans un rectangle~: & Même démarche que pour un intervalle, mais faite deux fois (une fois dans chaque direction).
\end{tabu}}
\\\hline
\textbf{Équations différentielles avec des distributions} \newline
{\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabu}to \linewidth{@{}rX@{}}
Solution fondamentale~: & $ y $ est solution de $ a_2 \cdot y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f \quad \Leftrightarrow \quad y = G \ast f \quad $ avec $ \quad G \quad $ solution de $ \quad a_2 \cdot G'' + a_1 \cdot G' + a_0 \cdot G = \delta $
\end{tabu}}
\\\hline
\textbf{Équation de la chaleur dans $ \symbf{\symbb{R}} $} \newline
$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, t \right) = a^2 \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} u \left( x, t \right) \quad &\forall x \in \symbb{R} \text{, } t > 0 \\ u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \quad &\forall x \in \symbb{R} \end{array} \right. $ \newline
$ \symcal{F} \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \left( \alpha, t \right) = a^2 \cdot \symcal{F} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right) \left( \alpha, t \right) $ avec $ \symcal{F}u \left( \alpha, 0 \right) = \symcal{F}f \left( \alpha \right) $ \hspace{5em} On pose $ \symcal{F}u \left( \alpha, t \right) = v \left( \alpha, t \right) $ . \newline
$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} v \left( \alpha, t \right) = -a^2 \cdot \alpha^2 \cdot v \left( \alpha, t \right) \\ v \left( \alpha, 0 \right) = \symcal{F}f \left( \alpha \right) \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad v \left( \alpha, t \right) = v \left( \alpha, 0 \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} = \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} $ \newline
$ u \left( x, t \right) = \symcal{F}^{-1}v \left( x, t \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \symcal{F}f \left( \alpha \right) \cdot \e^{-\alpha^2 \cdot a^2 \cdot t} \cdot \e^{\im \cdot \alpha \cdot x} \cdot \dif \alpha $
\\\hline
\textbf{Équation des ondes sur un intervalle} \newline
$ \frac{\partial^2}{\partial t^2} u \left( x, t \right) = c^2 \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} u \left( x, t \right) \quad x \in \left] 0;L \right[ \text{, } t > 0 \quad \text{ avec } \quad u \left( 0, t \right) = u \left( L, t \right) = 0 \text{, } u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \text{, } \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, 0 \right) = g \left( x \right) $ \newline
$ u \left( x, t \right) = v \left( x \right) \cdot w \left( t \right) \quad \Leftrightarrow \quad v \left( x \right) \cdot w'' \left( t \right) = c^2 \cdot v'' \left( x \right) \cdot w \left( t \right) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{c^2} \cdot \frac{w'' \left( t \right)}{w \left( t \right)} = \frac{v'' \left( x \right)}{v \left( x \right)} = -\lambda $ \newline
$ \left\{ \begin{array}{lll} v'' \left( x \right) + \lambda \cdot v \left( x \right) = 0 &x \in \left[ 0;L \right] \text{, } v \left( 0 \right) = v \left( L \right) = 0 &\text{Sturm-Liouville} \\ w'' \left( t \right) + \lambda \cdot c^2 \cdot w \left( t \right) = 0 &t > 0 &\text{Problème de Cauchy} \end{array} \right. $ \newline
$ \lambda = \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \right)^2 \qquad v_n \left( x \right) = \alpha_n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \qquad w_n \left( t \right) = a_n \cdot \cos \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) + b_n \cdot \sin \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) $ \newline
$ u_n \left( x, t \right) = v_n \left( x \right) \cdot w_n \left( t \right) = \sin \left( \frac{n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \cdot \left[ A_n \cdot \cos \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) + B_n \cdot \sin \left( \frac{c \cdot n \cdot \pi}{L} \cdot t \right) \right] \qquad u \left( x, t \right) = \sum_{n = 1}^\infty u_n \left( x, t \right) $ \newline
$ u \left( x, 0 \right) = f \left( x \right) \quad \text{ et } \quad \frac{\partial}{\partial t} u \left( x, 0 \right) = g \left( x \right) \quad \text{ donnent } \quad A_n \quad \text{ et } \quad B_n $
\\\hline
%TODO copier crayon ?
%TODO arctan style
\end{tabu}
\end{document}

94
Base.tex Normal file
View File

@@ -0,0 +1,94 @@
% Base packages
\usepackage{fontspec}
\usepackage{lmodern}
% Math packages
\usepackage{mathtools}
\usepackage[bold-style=ISO]{unicode-math}
\usepackage{siunitx}
% Tables
\usepackage{tabu}
% Include PDFs
\usepackage[space]{grffile}
\usepackage{pdfpages}
% Multiple columns on one page
\usepackage{multicol}
% Customise enumerations/lists
\usepackage{enumitem}
% Draw electrical circuits
% \usepackage[european, siunitx, betterproportions]{circuitikz}
% Modify margins
\usepackage[top=24pt, bottom=24pt, left=12pt, right=12pt, headsep=3pt, headheight=12pt, footskip=11pt]{geometry}
% Custom headers
\usepackage{scrlayer-scrpage}
% \usepackage{background}
% \SetBgScale{1}
% \SetBgAngle{0}
% \SetBgColor{blue!30}
% \SetBgContents{\tikz{\draw[step=1pt, gray, line width=0.05pt] (0, 0) grid (\paperwidth, \paperheight);}}
\author{Nathanaël Restori}
\date{\today}
\makeatletter
\ihead{}
\chead{\textbf{\@title}}
\ohead{}
\ifoot{}
\cfoot{Par \@author~---~\texttt{nathanael.restori@epfl.ch}}
\ofoot{}
\makeatother
\setmainfont{XITS}
\setmathfont{XITS Math}
\renewcommand{\bullet}{\circ}
\newcommand{\nocdot}{ }
\newcommand{\dif}{\symrm{d}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\newcommand{\comma}{, \quad}
\newcommand{\cte}{\mathrm{cte}}
\newcommand{\tq}{\quad \text{ t.q. } \quad}
% t.q. si ?
\belowtabulinesep=0.15em
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\columnsep}{0pt}
% \setlength{\delimitershortfall}{-1.0pt}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\delimiterfactor}{1200}
\everymath{\displaystyle}
% \let\oldcdot\cdot
% \let\oldbullet\bullet
% \let\oldvec\vec
% \let\olddot\dot
% \let\oldddot\ddot
% \renewcommand{\vec}{\symbf}
% \renewcommand{\dot}[1]{\frac{\dif #1}{\dif t}}
% \renewcommand{\ddot}[1]{\frac{\symrm{d^2}#1}{\dif t^2}}
% \renewcommand{\frac}[2]{#1 / #2}
% \textbf{Configurabilité} \newline
% $ a \oldcdot b $ ou $ a b $ \newline
% $ \frac{a}{b} $ ou $ a/b $ \newline
% $ \vec{a} \oldbullet \vec{b} $ ou $ \vec{a} \circ \vec{b} $ \newline
% $ \oldvec{a} $ ou $ \overrightarrow{a} $ ou $ \symbf{a} $ ou $ \oldvec{\symbf{a}} $ \newline
% $ \dot{x} $ ou $ \frac{\dif x}{\dif t} $ \newline
% $ \ddot{x} $ ou $ \frac{\symrm{d^2}x}{\dif t^2} $ \newline

43
Common.tex
View File

@@ -1,43 +0,0 @@
\usepackage{xltxtra}
\usepackage{pbox}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[space]{grffile}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{multicol}
\usepackage[european,siunitx,betterproportions]{circuitikz}
\usepackage[top=13pt, bottom=12pt, left=13pt, right=12pt]{geometry}
% \setromanfont[Mapping=tex-text]{Linux Libertine O}
% \setsansfont[Mapping=tex-text]{DejaVu Sans}
% \setmonofont[Mapping=tex-text]{DejaVu Sans Mono}
\title{}
\author{}
\date{}
\let\oldcdot\cdot
\let\oldbullet\bullet
\let\oldvec\vec
\let\olddot\dot
\let\oldddot\ddot
% \renewcommand{\cdot}{ }
\renewcommand{\bullet}{\circ}
% \renewcommand{\vec}{\mathbf}
% \renewcommand{\dot}[1]{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}t}}
% \renewcommand{\ddot}[1]{\frac{\mathrm{d^2}#1}{\mathrm{d}t^2}}
% \renewcommand{\frac}[2]{#1 / #2}
\newcommand{\cdotbis}{ }
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}
\newcommand{\ul}{\underline}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\columnsep}{0pt}
% \everymath{\displaystyle}

211
Rules.py Executable file
View File

@@ -0,0 +1,211 @@
#!/usr/bin/env python3
# MIT License
#
# Copyright (c) 2016 Nathanaël Restori
#
# Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
# of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal
# in the Software without restriction, including without limitation the rights
# to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell
# copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
# furnished to do so, subject to the following conditions:
#
# The above copyright notice and this permission notice shall be included in all
# copies or substantial portions of the Software.
#
# THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
# IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
# FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE
# AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
# LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM,
# OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE
# SOFTWARE.
import argparse
import re
parser = argparse.ArgumentParser()
parser.add_argument('infile', nargs='+', type=argparse.FileType('r'))
args = parser.parse_args()
#TODO: list forbidden characters (|)
# \\\!|\\\;|\\\:|\\\,
# hphantom ?, hspace ?
# e^
# cte, text{, }, t.q.
rules_bef = [
# Add space before and after $ unless at the beginning or the end of a line, after a { or a ( and before a } or a )
{'symbol': r'(?<!^)\$', '+<': ' ' },
{'symbol': r'\$(?!$)', '+>': ' ' },
{'symbol': r'(?<=\( |{ )\$', '-<': r' ', },
{'symbol': r'\$(?= \)| })', '->': r' ', },
# No space after \text
{'symbol': r'\\text', '->': r' ' },
]
rules_math = [
# Add space around
{'symbol': r'=', '+<': ' ', '+>': ' ', },
{'symbol': r'\\cdot', '+<': ' ', '+>': ' ', },
{'symbol': r'\\quad', '+<': ' ', '+>': ' ', },
{'symbol': r'\\leftrightarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', },
{'symbol': r'\\Leftrightarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', },
{'symbol': r'\\Leftarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', },
{'symbol': r'\\Rightarrow', '+<': '\\quad ', '+>': ' \\quad', },
# Standard functions
{'symbol': '(arc)?sinh?', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r'h? ?(?:\^(?:{.*}|.))? \\left',},
{'symbol': '(arc)?cosh?', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r'h? ?(?:\^(?:{.*}|.))? \\left',},
{'symbol': '(arc)?tanh?', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r'h? ?(?:\^(?:{.*}|.))? \\left',},
{'symbol': '(?<!{)min(?!})', '+<': '\\', '+>': ' ', },
{'symbol': '(?<!{)max(?!})', '+<': '\\', '+>': ' ', },
{'symbol': 'ln', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r' ?(?:_(?:{.*}|.))? \\left| \\abs',},
{'symbol': 'log', '+<': '\\', '+>': ' ', 'w!>': r' ?(?:_(?:{.*}|.))? \\left| \\abs',},
{'symbol': 'lim(?!its)', '+<': '\\', '+>': ' ', },
# \left or \right before delimiter and space after
{'symbol': r'\(', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\[', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\\{', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\\langle', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\)', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\]', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\\}', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\\rangle', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'\\\|', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
{'symbol': r'(?<!\\)\|', '+>': ' ', 'w!<': r'\\left|right', },
# Space before \left or \right but not after
{'symbol': r'\\left', '+<': ' ', '->': r' ', },
{'symbol': r'\\right', '+<': ' ', '->': r' ', },
# No space before ^, _ and !
{'symbol': r'\^', '-<': r' ', },
{'symbol': r'_', '-<': r' ', },
{'symbol': r'!', '-<': r' ', },
# No space after { and before } (but keep after \{ and after \}
{'symbol': r'(?<!\\){', '->': r' ', },
{'symbol': r'(?<!\\)}', '-<': r' ', },
]
rules_text = [
# Use non-breaking space before :
{'symbol': r':', '+<': '~', }, # Add space ?
{'symbol': r'~', '-<': r' ', '->': r' ', },
]
rules_end = [
# Correct spacing around punctuation.
{'symbol': r',', '+>': ' ', '-<': r' ', },
{'symbol': r';', '-<': r' ', }, # Do not add space, cause problems in [a;b]
# Remove trailing whitespaces
{'symbol': r'$', '-<': r'[ \t]*', },
]
# {} after ^ and _ ?
# \text{, } vs something else ?
# Ensure no cdot after partial frac ( frac{\partial U}{\partial \phi} \cdot)
def apply_rules(text, rules):
for s in rules:
if s.get('+<'):
regex = r'(?:' + re.escape(s.get('+<')) + r')?(' + s.get('symbol') + r')'
subst = s.get('+<').replace('\\', '\\\\') + r'\1'
text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE)
if s.get('+>'):
regex = r'(' + s.get('symbol') + r')(?:' + re.escape(s.get('+>')) + r')?'
subst = r'\1' + s.get('+>').replace('\\', '\\\\')
text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE)
if s.get('-<'):
regex = r'(?:' + s.get('-<') + r')(' + s.get('symbol') + r')'
subst = r'\1'
text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE)
if s.get('->'):
regex = r'(' + s.get('symbol') + r')(?:' + s.get('->') + r')'
subst = r'\1'
text = re.sub(regex, subst, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE)
if s.get('w!<'):
regex = r'(?<!' + s.get('w!<') + r')(' + s.get('symbol') + r')'
# use findall
result = re.search(regex, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE)
if result:
print("In file " + file_current.name + ": missing " + s.get('w!<') + " before " + s.get('symbol') + " (regex: " + regex + ")")
# Print what's around match
#print(text[result.start()-250:result.end()+250])
#print(text[result.start():result.end()])
#print(text[result.start()-1:result.end()+1])
# Print something like:
#(?<!\\left)\[(.*?)(?<!\\right)\]
#\left[\1\right]
if s.get('w!>'):
regex = r'(' + s.get('symbol') + r')(?!' + s.get('w!>') + r')'
# use findall
result = re.search(regex, text, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE)
if result:
print("In file " + file_current.name + ": missing " + s.get('w!>') + " after " + s.get('symbol') + " (regex: " + regex + ")")
# Print what's around match
print(text)
print(text[result.start()-250:result.end()+250])
print(text[result.start():result.end()])
print(text[result.start()-1:result.end()+1])
print(text[result.start()-10:result.end()+10])
return text
for file_current in args.infile:
file_content = file_current.read()
file_original = file_content
#TODO: add other cases (\$ for example)
## Check for $ in comments (we will have troubles if a comment contain an odd number of $)
#if re.search(r'%.*\$', file_content, flags=re.MULTILINE | re.UNICODE):
#print("Warning, file " + file_current.name + " contain $ in comments, ignoring file")
#continue
file_content = apply_rules(file_content, rules_bef)
splited = re.split(r'(\$.*?\$)', file_content, flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) # Split file content in math parts and normal parts
for i in range(1, len(splited), 2):
splited_b = re.split(r'(\\text{.*?})', splited[i], flags=re.MULTILINE | re.DOTALL | re.UNICODE) # Split file content in math parts and normal parts
for j in range(0, len(splited_b), 2):
splited_b[j] = apply_rules(splited_b[j], rules_math)
splited[i] = ''.join(splited_b)
for i in range(0, len(splited), 2):
splited[i] = apply_rules(splited[i], rules_text)
file_content = ''.join(splited)
file_content = apply_rules(file_content, rules_end)
file_content = re.sub(r'\\left\\\| (.*?) \\right\\\|', r'\\norm{\1}', file_content, flags=re.MULTILINE)
file_content = re.sub(r'\\left\| (.*?) \\right\|', r'\\abs{\1}', file_content, flags=re.MULTILINE)
file_content = re.sub(r'\\left< (.*?) \\right>', r'\\left\\langle \1 \\right\\rangle}', file_content, flags=re.MULTILINE)
file_content = re.sub(r'\.\.\.', r'\\dots', file_content, flags=re.MULTILINE)
file_content = re.sub(r' \\newline\n&', r'\n&', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell
file_content = re.sub(r' \\\\\n&', r'\n&', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell
file_content = re.sub(r' \\newline\n\\\\', r'\n\\\\', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell
file_content = re.sub(r' \\\\\n\\\\', r'\n\\\\', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell
file_content = re.sub(r' \\\\\n( *)\\end\{tabu\}', r'\n\1\\end{tabu}', file_content, flags=re.MULTILINE) # Ensure no newline at the end of a cell
file_content = re.sub(r'\\\\ +\\hline', r'\\\\\\hline', file_content, flags=re.MULTILINE) # Remove spaces between \\ and \hline
file_content = apply_rules(file_content, rules_end)
# Save only if needed
if file_original == file_content:
print("File untouched: " + file_current.name)
else:
print("File modified: " + file_current.name)
with open(file_current.name, "w") as f:
f.seek(0)
f.truncate()
f.write(file_content)